המתמטיקאי קרונקר הגה את הביטוי "אלוהים ברא את המספרים הטבעיים. היתר זו מלאכתו של האדם". בהתפתחות של החשיבה המתמטית אנחנו מצאנו את עצמנו בצורך להרחיב את עולם העצמים, עולם המספרים שיש לנו, על מנת למצוא פתרונות למשוואות שאולי קודם לא היו לנו. למשל, אם אנחנו נניח ש עובדים, מכירים את המספרים הטבעיים, אם נשאל את עצמנו האם יש פתרון למשוואה x ועוד 5 שווה ל-5? שימו לב שהבעיה הזו מנוסחת באמצעות מספרים טבעיים. בכל זאת זה הביא לאנושות למצוא או להמציא מספר אשר מספק פתרון למשוואה כזו, וזה הרי המספר 0. יש מי שכולל את ה-0 ויש מי שלא כולל את ה-0 בקרב המספרים הטבעיים, אבל זו אנקדוטה היסטורית. בעיה קצת יותר מסובכת היא הבעיה הבאה: האם אנחנו יכולים למצוא פתרון למשוואה x ועוד 5 שווה ל-3? שוב שימו לב שהשחקנים הם מספרים טבעיים, על כל פנים המספרים 3 ו-5. אבל הפעם לא נוכל למצוא מספר טבעי, אני מדגיש, מספר טבעי אשר אם נציב במקום x, הסכום הזה אכן יהיה 3. זו המחשה לצורך להרחיב את עולם המספרים הטבעיים בצורה כזו שתכלול את מה שאנחנו מכנים המספרים השלמים. המספרים השלמים הם כוללים את כל המספרים הטבעיים. גם את ה-0 והנגדיים של המספרים הטבעיים. בעולם של מספרים שלמים אנחנו יכולים לא רק לחבר, אלא לחשב הפרשים של מספרים באופן חופשי למדי. מה קורה אם נשאל את עצמנו האם אנחנו יכולים לפתור את המשוואה x כפול 5 שווה ל-1. שימו לב. שוב הבעיה הזו מנוסחת באמצעות שחקנים ביקום ידוע לנו מספרים שלמים. אבל הפעם שוב לא נוכל למצוא בקרב המספרים השלמים, פתרון למשוואה הזו. למעשה משוואה כזו ואחרות הביאו אותנו להרחיב את יקום המספרים השלמים ולהכלילם בקרב המספרים הרציונליים, המנות, שברים במספרים שלמים. בעולם של המספרים הרציונליים, כפי שנהוג לכנות אותם, אנחנו מסוגלים לעשות כל מה שהיינו יכולים לעשות בהקשר של פעולות אריתמטיות עם מספרים טבעיים ומספרים שלמים, אבל למעשה יש עוד פעולה שאנחנו יכולים לעשות באופן חופשי, שזה לחלק בין שני מספרים רציונליים כל שהם, כל עוד כמובן מה שנשים בתפקיד של מכנה יהיה שונה מ-0. אבל אפילו בעולם המספרים הרציונליים יש מצבים או יש משוואות שאנחנו לא יכולים לפתור. למעשה פתחנו את הקורס עם המשוואה x בריבוע שווה ל-2 ובהקשר של משפט פיתגורס הזכרנו את העובדה שאין מספר רציונלי, אני מדגיש, אין מספר רציונלי אשר מסוגל לתת פתרון למשוואה שלפנינו. זו למעשה המחשה של הכורח להרחיב את יקום המספרים הרציונליים ולהביאנו לעולם המספרים הממשיים. המספרים הממשיים הם מספרים שמשמשים אותנו כדי לתאר במלואן, נקודות על הישר. אבל יש עדיין משוואות שאנחנו יכולים לנסח בהקשר של מספרים ממשיים, כמו למשל המשוואה x בריבוע ועוד 1 שווה ל-0. בואו נכתוב אותה x בריבוע שווה למינוס 1. אנחנו יודעים שאין פתרון בעולם המספרים הממשיים למשוואה הזו. ומהי הסיבה? שאם ניקח ריבוע של מספר ממשי כל שהוא, או שיהיה 0 או שיהיה מספר שהוא ממש גדול מ-0, אבל מינוס 1 הוא מספר קטן מ-0. אז לא נוכל למצוא פתרון למשוואה הזו בקרב העולם של המספרים הממשיים. מה שהיינו רוצים, להרחיב את היקום שלנו, למצוא עולם של מספרים אשר מכיל את כל המספרים שידועים לנו עד כה כך שנוכל לשמור על כל הפעולות והתכונות שיש לנו אודות למספרים הממשיים יחד עם האפשרות למשל לפתור את המשוואה הריבועית הזאת. במובן מסוים, המלאכה הזו היא ללא מענה. לא נוכל להרחיב את עולם המספרים הממשיים אם נרצה לשמר את כל התכונות של המספרים הממשיים. למשל האפשרות לסדר אותם על הישר. אבל נראה שניתן להמציא, לגלות, לפתח יקום שהוא אכן היקום של המספרים המרוכבים ששם נוכל למצוא פתרון למשוואה הזו. הבה נצא לדרך. x בריבוע שווה למינוס-1. מהיכן יבוא הפתרון? אז הרבה פעמים מתמטיקאים נמצאים מול מצב כזה. אני מחפש פתרון לאיזו שהיא קושייה איזו שהיא בעיה. הבה נשחק אילו היה לנו פתרון ונראה לאן זה יוביל אותנו. אם היה לנו פתרון כזה, ניתן לו שם. נחשוב שיש לנו איזה שהוא מספר שבאופן היסטורי נקרא לו i .i על תקן של אימג'נרי, דמיוני או מדומה, ונסגל לו את התכונה שהריבוע שלו הוא אכן מינוס 1. ובואו נשחק כאילו המספר הזה חי באיזה שהוא יקום, ששם אנחנו יכולים לעשות את כל הפעולות האריתמטיות שאנחנו רגילים לעשות עם מספרים ממשיים. למשל, אם יש מספר כזה אז בוודאי נוכל לחשוב על פעמיים המספר הזה. או למשל, שורש 2 פעמים המספר הזה, או פאי פעמים המספר הזה. כמובן נרצה לעבוד עם 2 ועוד המספר הזה. או פאי מינוס שורש 2 פעמים המספר הזה וכו'. מה שאני נותן כאן ביטוי זה לאפשרות להכפיל בין מספרים ולחבר בין מספרים. אם כך, אנחנו נרצה להיות מסוגלים לעבוד עם מספרים שלובשים צורה כזו. לוקחים כפולות של המספר i, כפולות במובן הזה שאני רוצה להיות מסוגל להכפיל את i במספר ממשי כל שהוא וגם כן לחבר לו מספר שרירותי, גם הוא ממשי. אם כך, נגדיר יקום חדש נכנה את היקום הזה באות c אשר יכיל את כל הביטויים שנוכל לכתוב בצורה כזו. כפולות ממשיות של i יחד עם חיבור של מספר ממשי נוסף שרירותי. a ו- b יהיו מספרים ממשיים כלשהם. זה יהיה אוצר המספרים המרוכבים. בואו נציג איך היינו יכולים לבצע את הפעולות שאנחנו רגילים. אז אם נכנה מספר מרוכב בשם z ומספר מרוכב אחר בשם w, שהוא c ועוד d פעמים i. אנחנו נרצה להציג איך לחבר ואיך להכפיל את המספרים האלה ולהראות שאכן התכונות של הסכום וכפל נשמרות גם בהקשר של היקום שאנחנו מדברים. בואו נציג קודם כל את הסכום. אז בואו ניתן לנו, לעצמנו איזשהי דוגמה מיוחדת. מה קורה אם אני לוקח את המספר z שווה ל-1 ועוד פעם אחת i הידוע בציבור בקיצור כ-1 ועוד i. ולמשל המספר w שהוא 3 ועוד ארבע פעמים i. איך היינו מחברים מספרים כאלו? זה נראה מאוד טבעי שאם יש לנו 1 ועוד פעם אחת i ונרצה לחבר את המספרים z ועוד w נוכל לפעול באופן רגיל נחבר את ה-1 ו-3, נקבל את ה-4 נחבר את ה-1 עם ה-4, נקבל כאן 5. למעשה 1 ועוד 3 זה 4 פעם אחת i ועוד ארבע פעמים i פעם אחת i ועוד ארבע פעמים i הרי אילו אנחנו מעוניינים לשמור על כל התכונות של הפעולות של מספרים ממשיים, נוכל לחשוב על הביטוי הזה תוך שימוש בתכונה הדיסטריבוטיבית אילו היינו מכפלים את הסכום 1 ועוד 4 במספר אחר זה מה שהיינו מקבלים בעולם המספרים הממשיים. אז אכן אנחנו מסגלים לעצמנו בדיוק את אותה תכונה. בצורה כזו פעם אחת i ועוד ארבע פעמים i זה הרי יהיה 5 פעמים i. ואנחנו מצפים לתוצאה שאכן נראית כעצם שחי ביקום שאנחנו עוסקים בו. אז בואו נציג את זה באופן כללי תוך הכנסה של איזשהו כינוי וסימון. אם z הוא המספר שנתון על ידי a ועוד bi נהוג לכנות את a כחלק הממשי Re שתי האותיות הראשונות של Real, ממשי החלק הממשי של המספר z. נהוג לכנות בשם b או לכנות את b החלק ה-im. שתי האותיות הראשונות של Imaginary, החלק המדומה של המספר z. אנא לא נתבלבל, גם a וגם b הם מספרים ממשיים. אבל כאשר אנחנו מכנים את b בכינוי החלק המדומה מה שאנחנו רוצים להגיד שהוא, הוא, האחראי להיות צמוד להכפיל את היחידה המדומה i. אם אנחנו נתבונן בדוגמה שנתנו כאן בפועל מה שאנחנו עושים בבואנו לחבר מספרים מרוכבים פועלים כאילו מסתכלים על החלק הממשי לחוד ועל החלק המדומה לחוד. ונוכל להציג אם כך את הכלל ש-z ועוד w יהיה מספר מרוכב כך שהחלק הממשי שלו יהיה הסכום של החלק הממשי של z והחלק הממשי של w בהתאם. והחלק המדומה של הסכום יהיה הסכום של החלק המדומה של z עם החלק המדומה של w. שימו לב שבהקשר זה, מי משחק למשל את התפקיד של ה-0? ובכן המספר 0 נוכל להציג אותו כ-0 החלק הממשי שלו ועוד 0 פעמים i כאשר ה-0 בצד ימין הוא על תקן של החלק המדומה של המספר i. מי יהיה למשל הנגדי של המספר z? זה הרי צריך להיות מה? מספר מרוכב ביקום שלו עם התכונה שאם אני מחבר אותו עם z אז אנחנו נקבל את המספר המרוכב 0. לא כל כך קשה להשתכנע שאכן מי שיהיה z ניקח את החלק הממשי של z וניקח למעשה את הנגדי שלו, ניקח את החלק המדומה של z ניקח את הנגדי שלו ובצורה כזו נבנה את הנגדי של z. השומע לא יתקשה להראות או להשתכנע שבהצגה זו של פעולת הסכום אנחנו שומרים על התכונות שאנחנו מוכירים הודות לסכום בין מספרים ממשיים. איך אנחנו יכולים להכפיל מספרים מרוכבים? איך היינו יכולים להכפיל 1 ועוד i ב-3 ועוד 4 פעמים i? הבה נחשוב כאילו כל העצמים שמופיעים כאן הם מספרים ממשיים רגילים. היינו מפעילים את התכונה הדיסטריבוטיבית והיינו כופילים כך, היינו כופלים את ה-1 ב-3 היינו כופלים את ה-1 ב-ארבע פעמים i. היינו כופלים את ה-i ב-3 והיינו כופלים את ה-i בארבע פעמים i. עכשיו 1 פעמים 3, אנחנו יודעים שזה פשוט המספר 3. פעם אחת 4 פעמים i ו-i פעמים 3 שניהם שייכים לאותו יקום כי הרי אם אנחנו חושבים ששומרים על התכונה של היפוך הסדר של הגורמים במכפלה הרי i פעמים i ו-3 פעמים i זה יהיה אותו ביטוי לכן יש לנו ארבע פעמים i ועוד שלוש פעמים i אז מה שיהיה לנו כאן זה שבע פעמים i. מה לגבי הביטוי שמופיע כאן לפנינו? זה המקום לעשות שימוש בתכונה שאנחנו מסגלים למספר i שהרי הריבוע שלו צריך להיות מינוס 1. על כן הביטוי הזה ארבע פעמים i או במילים אחרות 4 כפול i בריבוע אם i בריבוע שווה למינוס 1 מה שנקבל זה את המספר הממשי מינוס 4. במילים אחרות נקבל 3 מינוס 4 זה החלק הממשי, קרי מינוס 1 ועוד 7 פעמים i. ובאופן כללי בבואנו להכפיל שני מספרים מרוכבים שנתונים בהצגה כזו אז מה שנקבל, אם נחקה את הביטוי שהצגנו כאן a ועוד b פעמים i כפול c ועוד b פעמים i אכן נקבל a מכפיל את c b פעמים i כפול c אז יהיה לנו b פעמים c מוכפל ב-i. ו-a פעמים d פעמים i. נכתוב את זה כאן, ad, bc הסכום כאן. וכשנכפיל את שני אלה b כפול d כפול i בריבוע. i בריבוע הרי הוא מינוס 1 אז מינוס b פעמים d. זו תהיה למעשה ההגדרה שלנו של המכפלה. האם אכן המכפלה שומרת על התכונה או התכונות של מכפלה של מספרים ממשיים. למשל בעולם המספרים הממשיים יש מספר מיוחד המספר 1. אם אנחנו נחשוב עליו בתוך העולם של המספרים המרוכבים. מה יותר טבעי מאשר לחשוב עליו כ-1 ועוד 0 פעמים i אנחנו נשאיר לכם להראות שבמקרה ש-w הוא אכן המספר הזה, אם נכפיל z ב-1 נקבל בדיוק את המספר הזה z. אז אכן למעשה לא כל כך קשה להשתכנע שלגבי המכפלה יש לנו את התכונות של מכפלה של מספרים ממשיים קודם כל הערה מהותית האם זה נכון, שאיך שהצגנו את הפעולות האלה האם האנחנו שומרים האם אנחנו מכילים בתוך היקום הזה, את המספרים הממשיים כידועים מראש? ושימו לב היו לנו כבר שני מקרים התבוננו על ה-0 בעולם הממשי, וגם איך הוא נראה בעולם המרוכב. על ה-0 התבוננו עליו כ-0 ועוד 0 פעמים i בצורה דומה התבוננו על המספרים, על המספר 1 שמקורו בעולם הממשי וראינו אותו כמספר מרוכב, למעשה מספר ממשי כל שהוא, אפשר להתבונן עליו כמספר המרוכב a ועוד 0 פעמים i לא התקשו להראות שאם אתם מזהים כל מספר ממשי בתוך העולם המרוכב היה ותקחו סכום של שני מספרים ממשיים ותבצעו את אותה פעולה ביקום המרוכב, תקבלו את אותה תוצאה בצורה דומה לגבי המכפלה, במובן זה המספרים המרוכבים, מכלילים את המספרים הממשיים שלנו. אבל בואו נזכור נקודה חשובה שביקום של המספרים הממשיים, לא רק שאנחנו יכולים לחבר, אלא גם כן אנחנו יכולים לחלק באופן חופשי. אז נשאלת השאלה, האם אנחנו יכולים להצביע על מנה של שני מספרים מרוכבים? ובפרט, האם אנחנו יכולים להצביע על ההופכי הכפלי של מספר מרוכב. הבה נגלה איך אנחנו יכולים ליצר עבור מספר מרוכב שונה מ-0 הופכי כפלי, הבה נתבונן בזהות הבאה מה קורה אם אנחנו לוקחים מספר מרוכב ומכפילים במספר מרוכב מאוד דומה לו שרק נבדל מהמקורי בסימן של החלק המדומה שלו? במקום לעבוד עם a ועוד b פעמים i אני עובד עם a מינוס b פעמים i, אם המספר הזה כינינו אותו בשם z, נהוג לכנות את המספר הזה הצמוד של z, ולהציג אותו באמצעות השם כאשר מעליו כותבים את הקו הזה. בואו נעשה את החישוב עכשיו, מבלי לעשות שימוש ישיר בנוסחה השומע המקפיד יפעל בהתאם לכלל, בואו בכל זאת נזכר במה צריך להיות. הרי יש לנו פה סכום מוכפל בהפרש של אותו ביטוי, משהו ועוד משהו כפול משהו מינוס אותו משהו שהיה לנו קודם אז אם נזכור מה הנוסחה הזו הייתה אומרת לנו בעולם של המספרים הממשיים, זה היה נותן לנו הריבוע של הראשון מינוס הריבוע של השני הריבוע של הראשון זה a בריבוע אבל מי זה הריבוע של השני? b כפול i בריבוע, זה b בריבוע כפול i בריבוע, אבל i בריבוע שווה למינוס 1 אז מה שנקבל זה a בריבוע מינוס מינוס b בריבוע. במילים אחרות a בריבוע ועוד b בריבוע. אז קודם כל הערה מעניינת: מדובר אמנם על שני מספרים מרוכבים כלשהם אבל, כשאני מכפיל את המספר בצמוד שלו המכפלה שאנחנו מקבלים היא למעשה מספר ממשי. לא מספר מרוכב כלשהו, למספר שהחלק המדומה שלו הוא 0. יתר על כן הוא מספר ממשי מאוד מיוחד הוא מספר שהוא מהצורה סכום של שני ריבועים מה אנחנו יודעים על סכום של שני ריבועים? הרי, ריבוע של מספר, הזכרנו את זה קודם יכול להיות רק מספר לא שלילי. הסכום של ריבועים גם הוא יכול להיות רק מספר לא שלילי. ומתי הוא יהיה שווה ל-0? הוא רק יכול להיות 0 כאשר בו-זמנית הריבוע של a והריבוע של b שווים ל-0 אבל הריבוע של a שווה ל-0 רק כאשר a שווה ל-0 והריבוע של b שווה ל-0 רק כאשר b שווה ל-0. במילים אחרות, המספר הזה יהיה 0 רק במקרה שהמספר המקורי, או אם אתם רוצים הצמוד שלו הם המספר 0, על כן הביטוי הזה הוא מנגנון שמאפשר לנו להכריע האם מספר שונה או לא מהמספר 0. מה קורה במקרה ש-a בריבוע ועוד b בריבוע שונה מ-0? אם ידענו ש-a בריבוע, ועוד b בריבוע שונה מ-0? הרי בעולם המספרים הממשיים, כשיש לנו מספר שהוא שונה מ-0 אנחנו יודעים שקיים עבורו הופכי כפלי. במצב זה נוכל לחלק בשני הצדדים באותו מספר, a בריבוע ועוד b בריבוע ואז נקבל את הביטוי הבא: a ועוד b פעמים i כאשר אני מכפיל בצמוד שלו מחולק בביטוי a בריבוע ועוד b בריבוע, כל זה צריך להיות שווה ל-1 ואם נתבונן היטב מה שכתוב כאן על הלוח, היא העובדה שבהינתן מספר מרוכב שונה מ-0 הביטוי שמופיע מיד לימינו הוא כזה שכאשר אנחנו מכפילים את שני המספרים האלה, מקבלים את היחידה הכפלית. זה בדיוק תפקידו של הופכי כפלי. על כן, נוכל להצביע מפורשות אם z שונה מ-0 נשמור על הטרמינולוגיה הקודמת, מי יהיה בתפקיד של ההופכי הכפלי? זה המספר הצמוד כאשר אני מחלק במי? אותו מספר שיתקבל כל על ידי הכפלה של המספר המרוכב עצמו בצמוד שלו. בנוסחה מפורשת, a מינוס b פעמים i, חלקי a בריבוע ועוד b בריבוע, במילים אחרות ההופכי הכפלי של מספר מרוכב שונה מ-0 החלק הממשי שלו זה a חלקי a בריבוע ועוד b בריבוע והחלק המדומה שלו, הוא הרי הנגדי של b חלקי a בריבוע ועוד b בריבוע. בואו נראה שאכן בצורה כזו אנחנו נוכל לחלק מספרים מרוכבים שני המספרים שהיו לנו קודם, שניהם שונים מ-0 בפרט w, אז נוכל לנסות לבצע את החישוב z חלקי w כמובן z חלקי w זה כמו להכפיל את z בהופכי הכפלי של w במילים אחרות, מי זה z? הוא 1 ועוד i ועכשיו לגבי החידוש שלנו, מי זה ההופכי הכפלי של w? לפי הנוסחה אנחנו נכתוב קודם כל את הצמוד שלו, במקום 3 ועוד ארבע פעמים, 3 מינוס ארבע פעמים I ואת הביטוי הזה נחלק בסכום ריבועי החלק הממשי והחלק המדומה במילים אחרות, נחלק את המספר הזה ב-3 בריבוע ועוד 4 בריבוע אז בואו נבצע את החישוב. 1 כפול 3 I כפול מינוס ארבע פעמים I במילים אחרות, מינוס 4 כפול I בריבוע, מינוס 4 כפול מינוס 1 כלומר, ועוד 4 ויש לנו שלוש פעמים I מינוס ארבע פעמים I מינוס פעם אחת I במילים אחרות, 7 מינוס I כל זה מחולק במה? 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע, זה ה-25 הידוע שלנו, במילים אחרות 7 חלקי 25, מינוס I חלקי 25 איך נדע שאכן זה נכון? כמובן הביטוי הזה על מנת שזה יהיה נכון זה אומר שאם נכפיל את המספר הזה 7 חלקי 25 מינוס I חלקי 25 ב-W, במילים אחרות ב-3 ועוד ארבע פעמים I ברור שמה שאנחנו מצפים שיצא זה 1 ועוד I. אנחנו נשאיר את המלאכה הזו לשומע הספקן אמרתי בהצגתנו את המספרים המרוכבים שאנחנו נרצה לשמר את כל התכונות של המספרים הממשיים והזכרתי שמלאכה זו היא בלתי אפשרית איפה הנקודה שאנחנו לא יכולים אכן לממש אותה עד הסוף לגבי הפעולות האריתמטיות המחשנו, הראנו שאכן המלאכה הזו היא בת ביצוע. מה לא נוכל לעשות? מה שמתברר זה שאת המספרים הממשיים אנחנו יכולים לסדר על ישר והסדר בין מספרים ממשיים הוא קונסיסטנטי עם פעולות אריתמטיות אם יש לנו שני מספרים ממשיים, אם נוסיף להם את אותו מספר ממשי, האי שוויון ישמר. אם יש לנו מספר שקטן ממספר אחר נוסיף להם, נחבר להם את אותו מספר, האי שוויון נשמר אם יש לנו מספר ממשי שהוא קטן ממספר ממשי אחר, ונכפיל את שניהם במספר חיובי אז האי שוויון נשמר האם אנחנו יכולים לעשות משהו דומה קרי, לסדר את המספרים המרוכבים בצורה כזו שהסדר יהיה קונסיסטנטי אם הפעולות אריתמטיות מתברר שלא. אבל לא נוכל לסדר את המספרים המרוכבים על ישר בצורה קונסיסטנטית עם הפעולות האריתמטיות. מדוע? בבואנו להתבונן על זוג של מספרים ממשיים מתקיימת אחת משלושת אלטרנטיבות או ש-A קטן מ-B או ש-B קטן מ-A או ששני המספרים האלה שווים זה מה שמכונה תכונת הטריכונומיה, טרי מ-3 חלוקה ל 3. ולא רק זה מה שאנחנו יודעים, זה שבהינתן זוג של מספרים ממשיים, זה ב-R אם יש לנו מספר ממשי שהוא גדול מ-0, כפי שהזכרנו לפני דקות ספורות, אם נכפיל את A ו-B באותו C, האי שוויון נשמר מה לגבי היקום של המספרים המרוכבים האם ייתכן ש I יהיה שווה ל-0? בוודאי שלא מדוע? כי הרי אנחנו מסגלים ל-I את התכונה שהריבוע שלו הוא מינוס 1 אילו I היה שווה ל-0 אז I בריבוע היה שווה ל-0 בריבוע שזה שווה ל-0. אז לא יתכן האםIi יכול להיות גדול מ-0? אז אילו I גדול מאפס I גדול מ-0, הבה נכפיל את שני הצדדים של האי שיוויון הזה במספר, במספר שהוא גדול מ-0 נוכל להשתמש ב-I בתפקיד של C כאן ולהכפיל את שני הצדדים ב-I. אילו כך היה 0 כפול I היה צריך להיות קטן מ I בריבוע אבל 0 כפול I הוא אפס, ו-I בריבוע הרי הוא מינוס 1 ולא יתכן מינוס 1 הרי הוא לא גדול מ-0 לכן המצב הזה גם כן, בלתי אפשרי, לא יתכן האם בכל זאת יכול להיות ש-I יהיה קטן מ-0 במצב זה הרי שהנגדי של I אם נעביר או נוסיף לשני הצדדים את הנגדי של I נקבל שהנגדי של I הוא בעצמו יהיה גדול מ-0 במצב זה נוכל לחזור על הפעולה שהיתה לנו קודם נכפיל את שני הצדדים הפעם בנגדי של I שהוא חיובי. על כן, 0 פעמים הנגדי של-I שנשאר 0 יהיה הפעם קטן ממה? הנגדי של I מוכפל בנגדי של I יהיה הפעם שוב מה? מינוס I בריבוע שוב יהיה מינוס 1. אז שוב המצב הזה לא יתכן. במילים אחרות נצטרך להתפשר, ולוותר על הניסיון לשמר לא רק את הסגולות האריתמטיות הפעולות והתכונות של הפעולות האריתמטיות יצטרך לוותר על היכולת לסדר את המספרים המרוכבים האם יש בזה קללה? אנחנו נראה בהמשך שלא בכך מדובר. נראה שנוכל להציג אם לא על ישר נוכל להציג את המספרים המרוכבים על מישור, מישור אשר ישמש לנו במה כדי לרקוד באמצעות העצמים המדומים האלה
