נעבור עתה להצגה הגיאומטרית של המספרים המרוכבים. אנחנו רגילים לעבוד עם הצגה גיאומטרית של המספרים הממשיים על ישר ואמנם אנחנו מדברים על הישר הממשי. הזכרנו שפעולה דומה בהקשר של המספרים המרוכבים תוציא אותנו מהישר לא נוכל לסדר את המספרים המרוכבים בצורה כזו שנכריע מי יותר גדול ממי, בצורה כזו שזה יהיה קונסיסטנטי למשל עם המכפלה של מספרים מרוכבים. אבל רמזנו שיש רעיון אחר, נוכל לייצג את המספרים הממשיים את המספרים המרוכבים, אם לא על ישר, על מישור. ומהי הסיבה? הרי מבחינתנו מספר מרוכב נתון בהסתמך על שני מספרים ממשיים. מספר מרוכב אחד זוג של מספרים ממשיים. לא רק זוג, אלא שיש לשני המספרים האלה תפקידים שונים. האחד הוא החלק הממשי והשני הוא החלק המדומה של המספר המרוכב. אז לזוג זה אנחנו נוכל לייחס נקודה במישור הקרטזי. אם נשרטט מערכת קואורדינטות במישור קרטזי אז נוכל לבנות את הנקודה עם קואורדינטות. קואורדינטה ראשונה, החלק הממשי של המספר המרוכב קואורדינטה שנייה, החלק המדומה של המספר המרוכב. במילים אחרות אנחנו נייחס לציר האופקי את התפקיד לייצג את החלק הממשי של המספרים המרוכבים. ולציר האנכי לייצג את החלק המדומה של המספרים המרוכבים. בואו ניתן מספר דוגמאות אם למשל נעבוד עם מערכת קצת יותר מרווחת, ניקח למשל את המספר z שיהיה 3 ועוד i. 3 ועוד i זה קיצור ל-3 ועוד פעם אחת i. החלק הממשי של המספר z הוא 3 והחלק המדומה של המספר z הוא 1. אז למספר הזה נוכל לייחס את הנקודה עם קואורדינטות: 3, 1. אם ניקח למשל את הנקודה, את המספר המרוכב מינוס 1 ועוד פעמיים i אז נוכל לייחס למספר הזה את הנקודה במישור עם קואורדינטות מינוס 1 ,2. כאן זה מינוס 1, כאן זה 2. זו נקודה שמשמשת כדי לייצג את המספר z זו נקודה המשמשת לייצג את המספר w כאן מיקומו של הציר הממשי, כאן מיקומו של הציר המדומה. ברור שבצורה כזו בהינתן מספר מרוכב, כך יצאנו, אנחנו מסתכלים על שני הנתונים: החלק הממשי והחלק המדומה. בונים בצורה כזו את הנקודה המתאימה במישור. אבל כמובן זה פועל לכיוון השני תהיה לנו כאן חתונה קתולית בין נקודות במישור לבין מספרים מרוכבים. לזוג של קואורדינטות, קרי בהינתן נקודה במישור על ידי שני הנתונים a, b נוכל לבנות את המספר המרוכב המתאים. בכל מספר מרוכב יש מספר מרוכב אחר הנגדי שלו עם קשר מאוד הדוק. מהו הנגדי של המספר המרוכב z. הרי זה המספר מינוס 3 ועוד מינוס 1 כפול i. מהי הנקודה שמתאימה לנגדי של z? זו תהיה הנקודה עם קואורדינטות מינוס 3 מינוס 1. אם נסתכל בהצגה הגיאומטרית, מינוס 3, כלומר, אנחנו הולכים שמאלה על הישר הממשי שלוש יחידות יורדים יחידה אחת על הציר המדומה. אז הנקודה הזו היא מייצגת את הנגדי של z. כמובן זו המחשה של תופעה כללית. שאם נסתכל על ההצגה הגאומטרית של מספר מרוכב במישור וההצגה הגאומטרית של הנגדי של אותו מספר במישור אז שני המספרים האלה, הצגתן או ההצגה של שני המספרים האלה הם באמצעות שתי נקודות שסימטריות ביחס למישור. הסימטריה המרכזית נקודה עוברת לסימטרית שלה ביחס למישור היא מעבירה מספר לנגדי שלה. לכל מספר מרוכב ייחסנו מספר מרוכב אחר הצמוד שלו. למשל, מהו הצמוד של המספר z? נזכיר שהמספר והצמוד שלו חולקים את החלק הממשי אבל נבדלים בסימן של החלק המדומה. אז אם המספר הוא 3 ועוד i אז הצמוד שלו הוא 3 ועוד מינוס 1 i. ולמספר המרוכב הזה אנחנו נייחס את הנקודה עם קואורדינטות 3 מינוס 1. איפה נשרטט את הנקודה הזו? שלוש יחידות נפנה ימינה על הציר הממשי נרד יחידה אחת על הציר המדומה ואז נמצא את הנקודה אשר תייצג את המספר z צמוד. שימו לב, זו אומנם המחשה של תופעה כללית אשר מצביעה על הקשר בין ההצגה של מספר לבין ההצגה של המספר הצמוד שלו. שני המספרים האלה הם סימטרים ביחס לישר הממשי. אם כך ההצגה הגאומטרית של המספרים המרוכבים במישור היא גם כן נותנת אפשרות לפענח את המשמעות הגאומטרית של הקשר בין המספר לבין הנגדי שלו. סימטריה מרכזית והקשר בין המספר לבין המספר המרוכב שלו, שתי הנקודות שמייצגות את המספר והצמוד הן סימטריות ביחס לציר הממשי. האם אנחנו נוכל לייחס משמעות גאומטרית גם לפעולות בין מספרים ממשיים? בואו נראה. בואו נחשוב תחילה על המשמעות הגיאומטרית של הסכום של מספרים ממשיים. נזכור לרגע שבבואנו להציג את המספרים הממשיים אנחנו בוחרים ישר בוחרים איזושהי נקודה שמשמשת בתפקיד של הראשית. למעשה אנחנו בוחרים עוד נקודה אשר תשמש בתפקיד של יחידה ואחר כך לכל מספר ממשי אנחנו נייחס נקודה אשר מודדת את המרחק מהראשית a פעמים במונחים של היחידה שקבענו. אם יש לנו שתי נקודות על הישר איך אנחנו יכולים לפרש את הסכום של שתי הנקודות? כמובן באופן נאיבי נוכל לומר כך: הרי a מרוחקת a יחידות מהראשית. b מרוחקת b יחידות מהראשית. אז אנחנו נחפש נקודה שמרוחקת a ועוד b יחידות מהראשית. אז איך אנחנו מממשים את זה? אם יש לנו כאן קטע באורך A אנחנו מוסיפים את אותו מרחק אחרי הנקודה שמייצגת את B על מנת שננחת על נקודה כך שמהרחק שלה מהראשית, שוב במונחים של אותן היחידות היא אמנם המרחק ש-A מרוחק מהראשית ועוד המרחק ש-B מרוחק מהראשית. כמובן שהיינו יכולים לפעול בצורה אנלוגית. אילו היינו מתמקדים בקטע באורך B והיינו מוסיפים את אותו אורך לקטע שמתחיל בראשית ופונה עד לנקודה שמרוחקת A יחידות. חשיבה זו גם כן מאפשרת להבין איך אנחנו יכולים לייצג את הנגדי של A. הרי מה שאנחנו יכולים לחשוב זו על הפעולה הבאה. אם זו הנקודה שמייצגת את A, אז הנקודה שתייצג את הנגדי של A, היא תהיה בצד השני של הראשית. בצורה כזו שאילו היינו פונים A יחידות בכיוון אחד והיינו מחסירים את אותו מרחק בכיוון השני, היינו חוזרים בחזרה לנקודה שמייצגת את הראשית, או את המספר 0. סכום הזזה על הישר. המספר הנגדי, שיקוף ביחס לראשית. כמובן שברגע שאנחנו יודעים לחבר בין מספרים, ברגע שאנחנו יודעים מהו הנגדי של מספר אנחנו, כמובן, יודעים מהו ההפרש בין שני מספרים. B מינוס A, הוא הרי מה? B שנוסיף לו את הנגדי של A. אז, נוכל לחשוב על B מינוס A בזו הצורה: נלך עד הנקודה שמייצגת את B ונזוז לפי התכתיב של מה? ההזזה שמתאימה למינוס A. מהי ההזזה שמתאימה למינוס A? זה להוריד בכיוון השני A יחידות. ואמנם אם נצייר את הפעולה B מינוס A אם נוריד ל B את גודלו של A אז הנקודה הזו מרוחקת מהראשית, בדיוק כמרחק בין הנקודה B לנקודה A. האם אנחנו יכולים לייחס משמעות אנלוגית למספרים המרוכבים, אבל במישור? נחזור עכשיו למישור המרוכב ונראה אם אנחנו יכולים להבין גאומטרית את פעולת הסכום. אז בואו ניקח את שתי הנקודות האלה, או שני המספרים Z ועוד Z, W ועוד W 3 ועוד מינוס 1 זה 2, זה החלק הממשי. אחד i ועוד פעמיים i זה שלוש פעמים i. אז Z ועוד W הוא 2 ועוד שלוש פעמים i ולמספר המרוכב הזה נוכל לייחס את הנקודה עם הקואורדינטות (2,3). אם נצייר את הנקודה עם הקואורדינטות (2,3), נפנה 2 יחידות ימינה על הישר הממשי, נטפס 3 יחידות על הישר המדומה, עד שנגיע לנקודה הזו. זו הנקודה אשר מייצגת את סכום שני המספרים המרוכבים. אם נסתכל על ההיטל של הנקודה הזו, ראשית על הציר הממשי, מהי הקואורדינטה הראשונה? הקואורדינטה הממשית כמובן. ה-2 הזה, הוא הרי 3 מינוס 1 וכמובן על הישר הממשי הזה אנחנו יכולים לחשוב במונחים של מה שחשבנו כשרק עסקנו בישר ממשי אחד. ה-2 הזה, הוא תולדה של הזזה 3 פעמים ימינה בכיוונו של ציר הממשי ויחידה אחת בכיוון השני. 3ימינה, יחידה, יחידה אחת בכיוון השני אז אנחנו נגיע לערך 2 שהוא אמנם הערך שמייצג את הקואורדינטה הממשית, הקואורדינטה הראשונה, למעשה של הנקודה שמייצגת את Z ועוד W. ומשהו אנלוגי לגבי הציר המדומה. הקואורדינטה הראשונה, הקואורדינטה השנייה של הנקודה שמייצגת את Z ועוד W, הרי היא 3. איך קיבלנו את ה 3? זה היה ה-1 ועוד ה-2, במילים אחרות, הקוארודינטה הראשונה, הקוארודינטה השנייה המדומה, של Z ועוד הקוארודינטה המדומה של W ה-3 הזה הוא, שוב, לפי התמונה של סכום של מספרים ממשים על ישר יכולים לחשוב על ה 3 כתולדה של הזזה של 1 שהוספנו עוד 2 יחידות, או של 2 הוספנו יחידה אחת. בגרסה זו הסכום של מספרים מרוכבים אם נתבונן על שתי ההטלות על הציר הממשי ועל הציר המדומה, אנחנו משחזרים תופעות דומות, כמו שהיו לנו כשפרשנו את הסכום של מספרים ממשים על ישר. אבל למעשה יש גם כן תובנה אחרת. למי מבניכם שבקיא בשפת הווקטורים יוכל לזהות את התופעה הבאה. הרי נוכל לחשוב על שתי הנקודות האלה, כנקודות קצה של וקטורים במישור אשר יש להם ראשית משותפת, בראשית הצירים. בלשון זו, הנקודה שמייצגת את Z ועוד W לא יהיה אחרת, אלא הווקטור שהינו הסכום של שני הווקטורים, Z ועוד W. אפשר יהיה לחשוב על הנקודה הזו במונחים של הזזה. אם כל מספר מרוכב מייצג או חושבים עליו כווקטור אפשר לחשוב עליו כתכתיב, למשל Z תנוע 3 יחידות ימינה ואחר כך יחידה אחת למעלה. פירוש דומה אנחנו נוכל לייחס ל W. W בהיותו בעל קואורדינטות (1,2-), אפשר לפענח, לחשוב, על המספר הזה כתכתיב, תנוע על המישור הקרטזי יחידה אחת שמאלה, שתי יחידות למעלה. בצורה זו אפשר יהיה לחשוב על איך אנחנו מגיעים לנקודה Z ועוד W בשתי צורות. או שנצא מ-W ונוסיף לה את התכתיב ש-Z מצביע,קרי נעמוד על הנקודה שמייצגת את W ונפעל, נזוז, נזיז אותה 3 יחידות ימינה ויחידה אחת למעלה. או כמובן, באופן דמוקרטי, אפשר היה להסתכל על הביטוי הזה בצורה הבאה: נעמוד על Z ונזיז את Z לפי התכתיב, ההזזה המוכתבת על ידי W. W אומרת תזוז יחידה שמאלה ושתי יחידות למעלה. יחידה אחת שמאלה שתי יחידות למעלה. בצורה זו גם כן נוכל להבין את המשמעות הגאומטרית של הנגדי של Z. הרי, הנגדי של Z הנקודה שמייצגת את הנגדי היא נקודה שהיא סימטרית ביחד לראשית. אז הווקטור שמייצג את Z, הוא הנגדי של הווקטור שמייצג את Z והוא מראה על היפוך הפעולות. אם Z אומר לנו לך שלוש יחידות ימינה, יחידה אחת למעלה אז הנגדי של Z, על מנת לנטרל ולחזור בחזרה לאותה נקודה מה הוא אומר? לך שלוש יחידות שמאלה, יחידה אחת למטה. שימו לב שההצגה הזו של, או החשיבה של, הסכום של מספרים מרוכבים באמצעות פעולות על המישור היא קונסיסטנטית עם פעולת הסכום. מה אני רוצה להגיד בזה? בואו ניקח את שני השחקנים שעומדים לרשותנו. אם אמנם אנחנו חושבים על Z כ-3 ועוד פעם אחת i ואנחנו מייחסים לו את הנקודה עם קואורדינטות (3,1) ואנחנו לוקחים את W עם מינוס 1 ועוד פעמיים i ומייחסים לו את הנקודה עם קוארדינטות (1,2-). כשחשבנו גאומטרית על הסכום של שני המספרים האלה התבוננו בציור ופירשנו את הסכום בזו הלשון. אם זו הזזה 3 יחידות ימינה ויחידה אחת למעלה וזו הזזה יחידה אחת שמאלה, 2 יחידות למעלה סך הפעולות האלה ביחד, תתן לנו את הפעולה הבאה 3 ימינה ועוד יחידה אחת בחזרה, זה סך הכל 2 יחידות ימינה יחידה אחת למעלה ועוד 2 יחידות למעלה, סך הכל, 2 יחידות למעלה. התלמיד שמכיר את שפת הווקטורים, יראה בכך את הסכום של ווקטורים במישור. מצד שני, אם נבצע את פעולת החיבור כפי שאנחנו רגילים לעשות, כפי שאנחנו הגדרנו אותה בין מספרים מרוכבים, הסכום של Z ועוד W יהיה מה? החלק הממשי של הסכום הוא הסכום של החלקים הממשים. הזכרנו, 3 ועוד מינוס 1 זה 2. החלק המדומה הוא הסכום של החלקים המדומים הוא הרי 3 פעמים i. והנה זה פלא, שאם נסתכל על הנקודה שאנחנו מייחסים למספר שהוא הסכום היא הרי הנקודה שמתקבלת כסכום הנקודות. הצגה זו של המספרים המרוכבים במישור נושאת את שמו של המתמטיקאי, ארגנט. וניפרד בנתיים מהצגה זו, מארגנט תוך הזמנה למחשבה האם יש לנו גם כן אפשרות לפרש גאומטרית, את המכפלה של מספרים מרוכבים? על כך, בהמשך.
