ישנן כמה פונקציות אה, מעניינות ששווה לתת עליהם את הדעת אם A היא איזשהי קבוצה של תחום של פונקצייה ו-B טווח. אנחנו בוחרים איבר מסוים ב-B. איבר נתון, קבוע במהלך הדיון. אנחנו יכולים להגדיר הגדרה: הפונקציה הקבועה B הינה הפונקציה המוגדרת על ידי GF אלה הם כל הזוגות A ו-B כאשר A רץ על פני A ו-B הוא אותו איבר נתון, אולי כדי להדגיש את העובדה שהוא איבר נתון שאינו משתנה נוסיף לו אינדקס אפס. ואז הפונקצייה הקבועה תיקרא B אפס. הגרף של הפונקצייה הזו אילו היה מדובר בקטעים או אולי נניח ש-A ו-B הם כל המספרים הממשיים הגרף הזה הוא כמובן ישר, מקביל לציר X בגובה B אפס. לכל נקודה A הנקודות היחידות במכפלה הקרטזית במקרה זה בכל המישור הקרטזי השייכות לגרף הנקודה היחידה זה הנקודה AB אפס. פונקציה אחרת שמגיעה לה מעמד של כבוד זה שם מיוחד, מתקבלת כאשר A שווה B הרבה פעמים אנחנו מתעניינים בפונקציות מקבוצה אל עצמה. כמובן פונקציות שמוגדרות על כל המספרים הממשיים מוגדרות מ-R אל R אבל אנחנו יכולים לדבר על פונקציות מקבוצה A לעצמה באופן כללי ובמקרה זה פונקציית הזהות על A הינה פונקציה שתסומן Id A או IDENTITY A שהגרף שלה הוא G של Id A או G של Id, אלה כל הזוגות A A כאשר A רץ על AA. שימו לב שהיות והנחנו ש-A שווה ל-B. אם A רץ על פני A, A גם שייך ל-B. לכל A יש ערך אחד ויחיד ב-B היא A שייך ל-GF זה הוא עצמו והגרף של הפונקציה הזאת הוא באלכסון. כך הוא מתואר במקרה ש-A ו-B הם המספרים הממשיים. אני רוצה לדבר על מושג הפונקציה ההופכי ששוב אולי מוכר לכם במידת מה מכמה דוגמאות בתיכון. אם אתם זוכרים את השיעור הראשון דיברנו על טמפרטורה כפונקצייה של השעה והבהרנו שהמשתנה התלוי והמשתנה הבלתי תלוי הם בעלי תפקידים שונים, הזמן קובע את הטמפרטורה אבל מן הטמפרטורה אי אפשר בדרך כלל לשחזר את הזמן. ישנם מצבים בו הדבר הזה הוא כן אפשרי בואו ננסה להבין מתי פונקציה מ-A ל-B ותרשו לי לשרטט אותם כקטעים סגורים לצורך ההמחשה החזותית, מתי פונקצייה מ-A ל-B ניתנת להיפוך, מתי בהינתן הגרף של הפונקצייה אני יכול מתוך ידיעת התוצר, הפלט, לשחזר את הקלט. בוא נעשה את זה בדוגמה הפשוטה שהיתה לנו ש-Y שווה X ועוד 2. כל אחד יודע איך לשחזר את ה-Y סליחה את ה-X מן ה-Y אלגברית, מעבירים את השתיים לאגף שמאל ומקבלים ש-X שווה Y פחות שתיים. וקיבלנו כאן פונקציה שנותנת לי את ה-X כפונקציית של Y ואכן לכל Y ישנו X אחד ויחיד שנותן אותו, כדי לדייק יותר בואו נזכור שבדוגמה הזאת התחום של ה-X היה הקטע מינוס 5 5 כמדומני ובתור טווח אני רוצה לקחת עכשיו רק את התמונה. הן הקבוצה הקטנה ביותר שאני יכול לקחת בתור הטווח היא התמונה, ובמקרה הזה זה יהיה הקטע הסגור מינוס שלוש שבע. דמיינו לכם, שוב הסקאלה לא נכונה אבל דמיינו לכם ש-A זה הקטע מינוס 5 5 ו-B זה הקטע מינוס 3 7 ובמצב כזה אני שם לב שלכל איבר ב-B יש מקור. ישנו איבר ב-A ממנו האיבר הזה מתקבל וטווח ערכים ש-Y מקבל. איך אני מחשב את המקור? אני מפחית מ-Y שתיים אם הייתי בקטע בין מינוס שלוש לשבע כשאני מפחית שתיים אני מקבל איבר בין מינוס חמש לחמש, אני יכול להפעיל עליו את הפונקציה ולקבל את הערך הזה. לא זו בלבד שיש מקור, המקור הוא יחיד. אנחנו נאמר הגדרה נאמר שפונקציה F מ-A ל-B הינה על אם התמונה שלה היא כל B. כלומר אם כל איבר של B מתקבל כ-F של משהו, בלי סימונים מתמטיים אם B שווה לקבוצת האיברים מהצורה F של A עבור A ו-A. אנחנו נאמר שפונקציה היא חד, חד ערכית אותה פונקצייה F תיקרא חד חד ערכית, פעמיים חד. כל פונקציה היא חד ערכית כל פונקציה מוגדרת היטב ונותנת רק ערך אחד אבל היא חד, חד ערכית אם לכל B ב-B, יש לכל היותר מקום אחד. A ו-A אחד המקיים B שווה F שונה. A כזה נקרא מקור של B. A כזה נקרא מקור של B. או באנגלית SOURCE של B. השתמשתי במילה הזאת. ובכן העליות מבטיחה לי שלכל B יש לפחות A אחד. שהוא המקור שלו. החד, חד ערכיות מבטיחה לי שיש לכל היותר A אחד כזה. אם אני מניח היא גם חד, חד ערכית וגם על, יש בדיוק מקום אחד. אנחנו יכולים אם כך לתת הגדרה הגדרה תהיה F. אני אשתמש עכשיו בסימון המקובל F מ A ל-A, F ,B חץ B. זהו סימון לפונקציה שהתחום שלה הוא A והטווח שלה הוא B. פונקציה מקבוצה A. תחום, אני חוזר על ההגדרות, לקבוצה B טווח שהיא ״על״ ו״חד חד ערכית". הפונקציה ההפוכה המסומנת F במינוס 1, F בחזקת מינוס 1 ואין פה הכוונה ל-1 חלקי F במובן של חילוק, אני מזהיר. זו לא הפונקציה 1 חלקי F. סימון מקובל הינה הפונקציה שתחום ההגדרה שלה הינו B והטווח שלה A. התחום והטווח החליפו תפקידים. מי שהיה קודם התחום הופך להיות הטווח, מי שהופך להיות הטווח, מי שהיה, סליחה, הטווח, הופך להיות התחום. והיא נתונה על ידי הכלל A הוא F במינוס 1 של B, A מתקבל על ידי הפונקציה ההפוכה מ-B אם ורק אם B היה F של A. ושוב אני חוזר ומדגיש, העובדה שיש A כזה נובעת מה״עליות״, מהעובדה שלכל B יש A והעובדה ש A הזה הוא יחיד ומוגדר היטב, נובעת מה״חד חד ערכיות״. לחילופין, אתם זוכרים שבעצם הפונקציה הוגדרה להיות הגרף שלה עצמה. אני יכול לומר שהזוג A, B היה שייך לגרף של F אם ורק אם בהיפוך תפקידים הזוג B, A שייך לגרף של F במינוס 1. שימו לב הזוג A, B הוא מתוך מכפלה הקרטזית A כפול B A גדול כפול B גדול. הזוג B, A בא מתוך המכפלה הקרטזית B גדול כפול A גדול. מדובר בזוגות סדורים ולכן הסדר מי ראשון ומי שני חשוב. אם כך הטיפול הקבוצתי במושג הפונקציה מאפשר לנו להגדיר בצורה מאוד אלגנטית מושג כללי של פונקציה הפוכה. ראינו איך זה עובד הלכה למעשה בפונקציה לינארית, בפונקציה Y שווה X ועוד 2, כדי לקבל את הX מהY היינו צריכים לפתור את המשוואה, להעביר אגפים ומתקבל X שווה Y פחות 2. בואו נראה את זה בדוגמה מוכרת אחרת והיא פונקציית המעריך או האקספוננט והפונקציה ההפוכה שלה שהיא הפונקציה הלוגוריתמית. פונקציית המעריך Y שווה E בחזקת X, E הבסיס הוא מספר מסוים ששווה בערך ל-2.718 ואין לו חשיבות. כאן בהמשך נדבר על פונקציות מעריכיות ויכולנו באותה מידה לקחת את המעריך של 10 בחזקת X אבל נהוג לקחת את אותו גודל שיש לו חשיבויות אחרות במתמטיקה אבל לא בהקשר שאני מדבר עליו היום. והפונקציה הזו מוגדרת לכל X X שייך לקטע פתוח ממינוס אינסוף לאינסוף. תזכרו זה הדימוי שלנו לכל הישר הממשי. וה-Y, הטווח, הייתי יכול לקחת אותו בתור מספר ממשי כלשהו אבל אני רוצה להגביל אותו, את הטווח, לקטע 0 אינסוף מפני שרק אלה הם הערכים שמתקבלים. זוהי התמונה. התמונה של הפונקציה המערכית היא הקטע 0 אינסוף. זאתי הקבוצה A וזאתי הקבוצה B. בואו נראה, נעבור לפונקציה הזאת ונראה אותה משורטטת כאן בכחול. זאת הפונקציה המעריכית E בחזקת X, כאשר X מאוד, מאוד שלילי היא מאוד קטנה אבל עדין חיובית. כאשר X הוא 0 מתקבל הערך 1 וכאשר X גדל מתקבלים ערכים שהולכים וגדלים בצורה אקספוננציאלית כפי שאנחנו נוהגים לומר, בצורה מעריכית. ושימו לב שהערכים המתקבלים הינם כל המספרים החיוביים על ציר ה-Y. כל הקבוצה B מתקבלת בתור תמונה. למשל שרטטנו כאן את הערך 1 בשביל X נותן 2.718 וכן הלאה בשביל Y. הפונקציה ההפוכה שלה מוגדרת משום שהפונקציה הזו הינה ״חד חד ערכית״ ו״על״. הפונקציה המעריכית זאת עובדה ש-E בחזקת X ״חד חד ערכית״ אני אכתוב חח״ע עבור ״חד חד ערכית״ ו״על״ מ-A ל-B. כלומר בהגדרות הללו לכל מספר חיובי בקטע הפתוח אפס אינסוף ישנו מקור אחד ויחיד, ישנו מספר ממשי אחד ויחיד העונה על ההגדרה ש-E בחזקתו שווה ל-Y. וזה מאפשר לנו כפי שראינו להגדיר פונקציה הפוכה והפונקציה ההפוכה היא הלוגריתמוס, הפונקציה ההפוכה שלה. של E בחזקת X הינה X שווה ללוגריתמוס הטבעי של Y. אני מדגיש, אין שום קשר בין הפונקציה ההפוכה לבין 1 חלקי הפונקציה הזאת, זה היה במקרה שלנו E במינוס X. איך נראה הגרף של הפונקציה ההפוכה? הרמז מצוי במה שכתבנו כאן הזוג A, B שייך לגרף של הפונקציה המקורית אם ורק אם הזוג B, A שייך לגרף של הפונקציה ההפוכה. הזוג A, B הוא בגרף של האקספוננט אם ורק אם B, A הוא בגרף של הלוגרימתמוס. מה עשינו כאן מבחינה גאומטרית? לעבור מן הזוג A, B לזוג B, A משמעו לשקף בישר Y שווה X. אם נסתכל על הישר Y שווה X המשורטט במצגת כקו אדום מרוסק, קו אדום מקווקו. הנקודות שעליו כמובן עוברות לעצמן, אינן זזות, תחת החלפת תפקידים של X וY. אבל הנקודה 1, E עוברת לנקודה E, 1. וכל נקודה אחרת עוברת לתמונת המראה שלה בגרף של הלוגריתמוס. בואו נראה כיצד זה קורה כאשר אנחנו נעים, נחזיר את הנקודות אחורה ונתחיל לנוע קדימה. כאשר הנקודה הכחולה נעה על הגרף של האקספוננט תמונת המראה שלה שהיא הנקודה האדומה נעה על הגרף של הלוגריתמוס. שימו לב שהלוגוריתמוס מוגדר רק עבור מספרים חיוביים רק עבור ערכים חיוביים של y ניתן להגדיר את log y הוא מקבל כל ערך שהוא. מקבל כל ערך ב- A. פעולה אחרת שאפשר לעשות על פונקציות היא הרכבת פונקציות. בואו נתחיל בדוגמה. אם אני מסתכל בפונקציה סינוס של x בריבוע ואני קורא לה f של x, כדי לחשב אותה אני צריך לעשות שתי פעולות בזו אחר זו. אני קודם צריך לקחת את המשתנה הבלתי תלוי, את הקלט שלי x ולעלות אותו בריבוע. קיבלתי מספר, אבל בכך לא תם החישוב. את המספר הזה אני צריך להכניס לתוך מכונה אחרת, מכונת הסינוס והיא מייצרת לי את הערך סינוס של x בריבוע. ניתן לתאר סכמטית את הפונקציה הזאת בעזרת שלושה עיגולים כאשר בשלב הראשון אני עובר, כל עיגול מתייחס בוא נאמר למספרים הממשיים, לכל המספרים הממשיים. בשלב הראשון אני מעלה בריבוע. למשל אם אני מתחיל ב-1 אני מקבל את 1. אם אני מתחיל ב-3 אני מקבל את 9. אם אני מתחיל במינוס 1 אני גם כן מקבל את 1. הפונקציה הזאת היא פונקציית העלאה בריבוע. ובשלב השני, אני אשרטט אותה בגיר צהוב, אני לוקח את הת התשובה שאני קיבלתי פה ואני מפעיל עליה את פונקצית הסינוס. אם אני אסמן בy את הערך שהתקבל כאן, אני לוקח את הy הזה מפעיל עליו את הסינוס, ובואו נקרא z לתוצאה שמתקבלת. ומ-1 אני אקבל את סינוס של 1. מה שהוא לא יהיה. מ-9 אני אקבל את סינוס של 9 מספר אחר. שתי הפעולות האלה בזו אחר זו נותנות לי את הפונקציה f שאני אסמן אותה על ידי חץ כתום נדמה לי. חץ גדול. אנחנו אומרים שהפונקציה f התקבלה מההרכבה של הפונקציה סינוס על הפונקציה של העלאה בריבוע. אם אני אתן עכשיו שמות לפונקציות האלה. אני אקרא לפונקציה הזאת z שווה g של y. g הוא שם אחר לפונקציה הסינוס. ו-y הוא h של x. הייץ' (h) הוא שם אחר לפונקציה של העלאה בריבוע. אני אכתוב ש-f של x התקבל מהפעלת g על h של x. או בכתיב מתמטי מקובל g הרכבה עם h של x. התחלנו עם דוגמה של סינוס של x בריבוע שהצגנו אותה כהרכבה של סינוס על פונקצית העלאה בריבוע. ובואו נדון כרגע במקרה הכללי, שוב בהקשר הקבוצתי. תהיינה h מ-A ל-B ו-g מ-B ל-C שתי פונקציות אני לא חוזר וכותב את כל מה שכתבתי קודם. A B ו-C הם קבוצות. A היא התחום של h ו-B היא הטווח שלה. B היא גם התחום של g. שימו לב הטווח של h הוא גם התחום של g ו-C היא הטווח של C. ו-h ו-g כמובן עונות על ההגדרה המדוייקת שנתנו למושג הפונקציה. הפונקציה המורכבת. f, g עיגול קטן h. ג'י (g) הרכבה על h g הרכבה על h. הנה הפונקציה מ-A ל-C. מדלגים על מה שהיה לי באמצע. המוגדרת על ידי f של a היא g של h של a. בואו נבדוק את ההגדרת. נראה שלא רימינו אתכם. אם a ב-A, הייץ' (h) של a היא ב-B אבל B שהייתה הטווח של h, היא גם תחום ההגדרה של g. לכן g יכולה לאכול את הערך h של a ולייצר איבר ב-C ולאיבר הזה אני קורא f של a. אילו הייתי מגדיר את הפונקציה בעזרת הגרפים, הייתי אומר שהגרף של g הרכבה עם h הוא קבוצת כל הנקודות הקטנות, כל הנקודות סליחה a קטן, c קטן במכפלה הקרטזית של A עם C. A הופכת להיות התחום של הפונקציה המורכבת ו-C הטווח עבורן קיים b ב-B כך שמצד אחד a b שייכת לגרף של h ומצד שני b c שייכת לגרף של g. מובטח לי שקיים b אחד יחיד כך שזה מתקיים ואז עבורו קיים c אחד ויחיד כך שזה מתקיים וה-c הזה הוא הפונקציה המורכבת של a. מן ההגדרה הזאת עולה מיד שבדרך כלל אין משמעות להרכיב את הפונקציות בסדר הפוך. בדרך כלל אין משמעות לדבר על h מורכבת על g במצב הזה מפני שכדי שנוכל להרכיב את h על g ולא את g על h, אנחנו צריכים שהפלט ש-g מייצרת יהיה טרף ל-h, יהיה בתחום של h, והפלט הזה חי ב-C ו-h מוגדרת על A. כן, מה שאפשר לי כאן ללכת בכיוון הזה זה שהתוצר ש-h יצרה שהרי B נאכל על ידי G. יש מצבים, כמו בדוגמה שהתחלנו איתה, של h של x שווה x בריבוע ו-g של y, שהייתה סינוס של y, שבהם כל שלושת הקבוצות A B ו-C. היו ממשיים. במצב כזה אפשר לדבר הן על ההרכבה של g עם h והן על ההרכבה ש h עם g אבל מתקבלות תוצאות שונות. כפי שראינו g מורכבת על h, לוקחת מספר x, מפעילה עליו קודם את x בריבוע ואחר כך על התוצאוה מפעילה את הפונקציה סינוס ומתקבלת הנוסחה הנחמדה הזאת. h הרכבה עם g, לעומת זאת, ניקח מספר, בואו נסמן אותו ב-y. זה לא מה שחשוב כל כך, איך הוא מסומן, חשוב מה קורה לו. קודם נפעיל את g על y ונקבל את סינוס של y. ואת התוצאה נעלה בריבוע. וכמובן גם אם היינו קוראים למשתנה פה X זה לא מה שחשוב. גם אם היינו קוראים למשתנה X סינוס של X בריבוע אינו הריבוע של סינוס X. וכתרגיל אחרון בואו נקשור את מושג הפונקציה המורכבת עם מושג הפונקציה ההפוכה עליו דיברנו מקודם. מה קורה במצב שיש לנו F, סליחה נקרא לה H, כמקודם מ-A ל-B שיש לה פונקציה הפוכה. כבר בואו נניח ש-H הזו היא חד חד ערכית ועד, אני אכתוב את זה ליד החץ כדי להזכיר לנו שכדי שתהיה קיימת לה פונקציה הופכית כל איבר ב-B צריך להתקבל, כלומר הטווח צריך להיות התמונה והיא צריכה להיות חד חד ערכית. במקרה הזה הגדרנו את הפונקציה ההופכית והיא מ-B ל-A. אוקי. אנחנו במצב טוב שבו אנחנו יכולים להרכיב את הפונקציה ההופכית על H מפני שהתחום של הפונקציה ההופכית הוא הטווח של הפונקציה איתה התחלנו. אבל מה יהיה H במינוס 1 של H של A? הוא יהיה אותו מספר מהגדרת הפונקציה ההופכית. הוא יהיה אותו מספר או איבר ב-A שאם נפעיל עליו את H נקבל את H של A. אני מכיר דבר כזה זהו A. עוד פעם המקור תחת H של H של A הוא A. ולראיה תפעילו על A את H ותקבלו את ה-B הזה H של A. זה אומר ש-H במינוס 1 מורכב על H לוקח איבר ב-A ומחזיר את אותו איבר. את הפונקציה הזו כבר הכרנו וקראנו לה פונקצית הזהות. כלומר H במינוס 1 מורכב על H היא הזהות על הקבוצה. באותה צורה יכולתי להרכיב גם את H על H במינוס 1 הפעם H במינוס 1 יוצאת מB- ומגיעה אל A ו-H מחזירה אותי מ-A ל-B וזאת הזהות על B. אנחנו רואים אם כן שאפשר לקשר בין הרכבת פונקציות לפונקציות אופקיות בעזרת הפונקציה שקראנו לה פונקצית הזהות. לסיכום, התעסקנו די הרבה בפורמליסטיקה. די הרבה בקבוצות והגדרות. והעיסוק הזה הוא חשוב לא רק מהטעמים שכבר הזכרתי מפני שהוא משחרר אותנו מן הצורך לחשוב על פונקציה כעל חוקיות ומן הטעם שהוא מאפשר לנו לדון בפונקציות של קבוצות שאינן פונקציות מספריות. הדברים האלו כבודם במקומם מונח. הוא חשוב גם מפני שהוא מרגיל אותנו לחשוב כפי שמתמטיקאים חושבים בצורה לוגית עקבית ומדויוקת. בשיעור הבא נחזור לשאלה המאוד חשובה שמופיעה בעצם במרבית השימושים של המושג פונקציה והיא: מתי פונקציה מייצגת חוקיות או חוק טבע. תודה.
