בפרק הזה אנחנו נדון בחזקות, בלוגריתמים בפונקציות לוגריתמיות ובפונקציות אקספוננציליות. ראשית כמה דברי רקע במאה ה-16, במאה ה-17 חלה התפתחות אדירה בחקר המדעי, בחשיבה המדעית. מדעים ניסויים כמו: אסטרונומיה, גאוגרפיה, פיסיקה. עשו שימוש נרחב בכלים מתמטיים, בחישובים מתמטיים מידות, מספרים, מידות גדולות, מספרים גדולים. באופן טבעי החישובים הפכו ליותר ארוכים, מורכבים. היה כורח למצוא שיטות כאלה ואחרות אשר יקלו על החישובים ואולי ימנעו שגיאות. מאז ההכנסה של השיטה העשרונית קל לנו מאוד בכל זאת לחשב סכום של מספרים קצת יותר ארוך, לא בהכרח מורכב מכפלה של מספרים, עוד קצת יותר מורכב או קצת יותר ארוך חזקות. והיה ניסיון למצוא דרכים על מנת לפשט את החישובים. היה זה ג׳ון נפייר שנתן לנו את הלוגריתמים. אשר מקיימים את ההבטחה הזו. בואו נציג את הרעיון בהקשר של תופעה ידוע לנו. ניקח למשל את הסדרה הגאומטרית של כל הכפולות של המספר ה-2 אם ניקח N שווה ל-1 אז 2 בחזקת N יהיה 2. 2 בריבוע זה 4 2 בחזקת 3 זה 8, 2 בחזקת 4 זה 16 2 בחזקת 5, 32. 2 בחזקת 6, 64. 2 בחזקת 7 128. וכו׳. שימו לב כל הביטויים האלה כל אחד מתקבל מהשני על ידי הכפלה בקבוע 2. מימים ימימה היה לנו ברור שאם לוקחים מכפלה של שני ביטויים כאלה 2 בחזקת N כפול 2 בחזקת N נקבל גם ביטוי שגם הוא מופיע באותה סדרה. לא רק שהוא מתקבל בצורה כזו שהוא מופיע, אלא שהוא בדיוק 2 בחזקת N ועוד M. ושימו לב לתופעה המעניינת אם אני רוצה להכפיל שני ביטויים במשפחה הזו כל מה שאני צריך לדעת זה מהו הסכום של המיקומים. בעיה במכפלה הופכת להיות בעיה של סכום. אם למשל אני רוצה להכפיל 4 כפול 32 אני יכול לחשוב על ה-4 בהתאם למיקומו על הסדרה הזו ממוקם במקום השני, 4 אינו אלא 2 בחזקת 2 ה-32 ממוקם במקום החמישי הוא נתון על ידי 2 בחזקת 5 2 בחזקת 2 כפול 2 בחזקת 5 בהתאם ל-חוק שהצבענו כרגע הוא המספר 2 בחזקת 2 ועוד 5. במילים אחרות 2 בחזקת 7 ה-7 הזה מצביעה לנו על מיקומו של התשובה או תוצאת החישוב כמה זה 4 כפול 32 שאכן זה 128. כמובן לא היינו זקוקים להצגה הזו על מנת לחשב או לבצע את החישוב הזה. אבל הדוגמה הזו ממחישה את מה שמתרחש. מכפלה של שני מספרים הופכת להיות בעיה של סכום של מיקומים. הבעיה או השורה העליונה מכילה איברים בסדרה בסידרה גאומטרית. כל איבר מתקבל מהשני על ידי הכפלה. בקבוע להבדיל מה שיש לנו בשורה התחתונה זו הסדרה הטבעית של המספרים הטבעיים שהיא סדרה אריטמתית. כל מספר מתקבל מקודמו על ידי הוספה של קבוע כמובן. כאן זה הקבוע 1. אז בעית המכפלה הופכת להיות בעיה של סכום. אילו לרגע נעשה את התרגיל המחשבתי שכל מה שמעניין אותנו זה לעסוק רק במספרים מהצורה הזו מה שיש לנו כאן זה אופציה או אפשרות לתרגם בעיית המכפלה לבעיה של סכום. בצורה דומה אילו רצינו לחשב מזה 4 בחזקת 3 היינו יכולים להשתמש בכלל אחר ידוע ומוכר לנו מימים ימימה. שאם אני לוקח את החזקה ה-N של 2 בחזקת N נקבל שזה 2 בחזקת N פעמים M אז מה זה יהיה 4 בחזקת 3 כמובן אנחנו יכולים לפרש את ה-4 כנתון על ידי 2 בחזקת 2 2 מצביע כאן על המיקום בסדרה כל זה בחזקת 3 לפי הכלל שכרגע הזכרנו זה צריך להיות 2 בחזקת 2 כפול 3. בעית החזקה הופכת להיות בעיית המכפלה. 2 בחזקת 3 זה 2 בחזקת 6. ו-2 בחזקת 6 זה המספר שיושב במקום השישי הרי יהיה 64. שוב במקרה הזה אנחנו לא זקוקים להתבוננות כזו כדי לבצע את החישוב אבל הדוגמה הזו ממחישה איך אפשר לתרגם בעיה של חזקה לבעיה של מכפלה. במילים אחרות אילו היינו עוסקים רק במספרים ששייכים לסדרה החשבונית הזו בעיית המכפלה הופכת להיות בעיה של סכום ובעיית החזקה הופכת להיות בעיה של מכפלה. מה יותר טבעי מאשר לחשוב נניח שהיינו יכולים להציג לא רק את המספרים האלה, אלא את כל המספרים שמעניינים אותנו בצורה של 2 בחזקת משהו. אם כך מה שנרצה לעשות זה להציג את הבעיה הבאה. אם נמשיך ופרוס את הסדרה הזו נקבל פונקציה שלכל מספר טבעי אנחנו מקצים מספר ממשי ל-N אנחנו מקצים את המספר 2 בחזקת N. ניתן לפונקציה הזו שם. נקרא לה פונקציה Exp על שם של אקספוננצילית בבסיס 2 ומיד ניתן את הדעת על כך שאפילו אם ניתן ל-N לרוץ על כל הבחירות האפשריות של המספרים הטבעיים בוודאי שבצורה כזו לא נעבור על כל המספרים שמעניינים אותנו. תמיד נקבל מספרים חיוביים אבל לא רק זה. בוודאי שיש מספרים בין אלה שהצגנו כאן שהיינו רוצים לממש, להציג אותם בצורה כזו ואז נראה אולי טבעי לחשוב על האם אפשר להרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה על מנת שבעזרת הרחבה זו נוכל למצות לתפוס, להציג מספרים נוספים. אז השלב הראשון הטבעי הוא לעבור מהפונקציה שהיא מוגדרת רק על המספרים הטבעיים להרחיב אותה לעולם של, למשל המספרים השלמים. אז נציג לפנינו את האתגר הבא: נשתדל לבנות פונקציה עם תחום יותר גדול אבל אשר שומרת על שתי התכונות העיקריות האלה. למשל איך היינו יכולים להגדיר מזה 2 בחזרת אפס. אם אנחנו רוצים לשמור על התכונה הראשונה הרי אם נכפיל את 2 בחזרת אפס ב-2 בחזקת N כלשהו לפי הכלל הראשון 2 בחזקת N כפול 2 בחזקת אפס צריך להיות 2 בחזקת N ועוד אפס במילים אחרות 2 בחזקת N. אז אם נתבונן על המשוואה הזו אין מנוס, אלא להטיל על 2 בחזקת אפס להיות המספר ה-1 והיחיד שכשהוא מכפיל את 2 בחזקת N שומר עליו במילים אחרות, 2 בחזקת אפס חייב להיות שווה ל-1. בצורה אנלוגית מה היה קורה אם היינו שואלים את עצמנו מה צריך להיות הערך של 2 בחזקת מינוס 5. אם אנחנו לוקחים 2 בחזקת מינוס N כאשר N הוא מספר טבעי כלשהו לכן בצורה כזו נוכל לדון על מזה 2 בחזקת שלם שלילי. שוב לפי אותו רעיון, אם נכפיל אותו ב-2 בחזקת N אם נשמור על התוכנה הראשונה זה צריך להיות 2 בחזקת N ועוד הנגדי של N. במילים של אחרות 2 בחזקת אפס. אבל כרגע השתכנענו וכך עשינו ש-2 בחזקת אפס חייב להיות שווה ל-1. לכן, נקבל ש-2 בחזקת מינוס N הוא המספר האחד והיחיד שכאשר אנחנו מכפילים 2 בחזקת N אנחנו מקבלים 1. במילים אחרות, 2 בחזקת מינוס N הינו ההופכי הכיפלי של 2 בחזקת N. בצורה זו נוכל להרחיב את הפונקציה או ליתר דיוק את תחום ההגדרה של הפונקציה, כך שלכל מספר שלם נקצה את המספר 2 בחזקת Z הפעם Z הוא מספר שלם כלשהו. כמובן שמה שעשינו הגדרנו את ההרחבה בצורה כזו ששמרנו על התכונה הראשונה חלה עלינו חובה להראות שאכן זה כך, ולא רק זה שההגדרה הזו גם כן שומרת על התכונה השניה. זה נעשה את זה במסגרת התרגיל. שימו לב, כדי להמחיש בצורה כזו אז הוספנו לרשימה הזו מזה 2 בחזקת אפס, זה 1. מזה 2 בחזקת מינוס 1, זה חצי. 2 בחזקת מינוס 2, זה רבע. 2 בחזקת מינוס 3 זה שמינית וכו׳. אבל ברור שבצורה כזו על אף העובדה שבעקרון הרחבנו את תחום ההגדרה של הפונקציה אקספונצילית בבסיס 2, עדין אנחנו רחוקים מלמצות את כל המספרים שאנחנו מעוניינים לעסוק. אז עולה הרעיון אולי שנרחיב את תחום ההגדרה של הפונקציה קצת יותר. אולי נוכל להציג, או להרחיב לעולם המספרים הרציונלים. מה הם המספרים הרציונלים? מספר רציונלי הוא מספר שניתן להציג אותו כמנה של שני מספרים שלמים. אז למשל בפרט נניח שהיינו רוצים להגדיר מזה 2 בחזקת 1 חלקי N. אם הפעם נתבונן על התכונה השניה, הרי אם את המספר הזה נעלה בחזקת N בהתאם לתכונה השניה שאנחנו רוצים לשמר אותה בהגדרה הרי נצטרך לקבל 2 בחזקת 1 חלקי N כפול N במילים אחרות 2 בחזקת 1 והרי זה 2. אז שימו לב, המספר שבתוך הסוגריים חייב להיות כזה שהחזקה ה-N שלו זה בדיוק 2. אבל זה בדוק מה שאנחנו מכנים השורש ה-N של 2. על כן, כדי לנו, רצוי או אם נרצה לנסח את זה כך התנאי הזה כופה עלינו להגדיר מזה 2 בחזקת 1 חלקי N באמצעות השורש ה-N של 2. בצורה דומה מה צריכה להיות ההגדרה של 2 בחזקת M חלקי N. 2 בחזקת M חלקי N אילו, היינו רוצים לשמר את הכולה השניה, בבואנו לקחת את החזקה ה-N של הביטוי מה שאנחנו נקבל זה שהתוצאה תהיה 2 בחזקת M חלקי N כפול N. כמובן זה 2 בחזקת M. אז שוב אנחנו במצב אנלוגי. המספר שבתוך הסוגריים, החזקה ה-N שלו זה 2 בחזקת N אז זה בדיוק המספר שאנחנו מכנים השורש ה-N של 2 בחזקת M. בצורה כזו עלינו להגדיר וכך נעשה. 2 בחזקת M חלקי N באמצעות הביטוי השורש ה-N של 2 בחזקת M. בצורה זו לכל מנה מספרים שלמים הגדרנו מזה 2 בחזקת אותו מספר. עכשיו בואו נשים לב, אני לא כתבתי כאן M חלקי N השתמשתי ב-Q ככינוי למספר רציונלי כלשהו. עכשיו אנחנו בפני מצב חדש שאולי לא פגשנו עד עכשיו. מספרים רציונלים ניתנים להצגות שונות. כמנה של שני מספרים שלמים חצי, שני רבעים או שני שליש, ארבע שישיות הן הצגות שונות של אותו מספר רציונלי. אז מתבקשת השאלה הבאה אם M חלקי N, מנה של שני מספרים שלמים שווה ל-R חלקי S. שוב מנה של שני מספרים שלמים. שתיהן, שתי המנות האלה, שתי היחסים האלה מייצגים את אותו מספר רציונלי אם נרצה להגדיר את 2 בחזקת Q באמצעות המנה M חלקי N בהתאם למה שאמרנו זה צריך להיות השורש ה-N של 2 בחזקת M אבל אם נרצה להשתמש בהצגה R חלקי S עבור Q הרי ההגדרה תיתן לנו שמה שנקבל כאן יהיה השורש ה-S של 2 בחזקת R. ומהו הסיכון? ומה עלינו לבדוק? שהכל זאת שני המספרים האלה שווים M. אם כך יהיה יתברר לנו שההגדרה של 2 בחזקת Q היא אנחנו אומרים במתמטיקה הגדרה טובה איננה תלויה בהצגה המיוחדת של המספר הרציונלי באמצעות שבר מסוים. אנחנו נשאיר לכם בתרגיל לבדוק שאכן שני המספרים האלה הם שווים ואכן בפועל יש לנו הגדרה טובה של ההרחבה. במילים אחרות, בשלב זה הצלחנו להגדיר את הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 לעולם כל המספרים הרציונלים. אם לרגע נשרטט חלק, על כל פנים, מהגרף של הפונקציה שהתקבלה. זה יהיה הציר הממשי פה יהיה לנו הציר Y, 0 1, 2, 3, 4, מינוס 1 וכו׳. ונשנה קצת את הפרופורציות נניח שפה זה גובה 1 לכן פה זה גובה 2 לכן פה זה גובה 4, לכן פה זה גובה 8 וכו׳. אז בהתחלה 2 בחזקת 1 יהיה 2, 2 בחזקת 2 יהיה שווה ל-4, 2 בחזקת 3 שווה ל-8 הרחבנו אחר כך 2 בחזקת אפס שווה ל-1 2 בחזקת מינוס 1 שווה לחצי כשהרחבנו את ההגדרה של הפונקציה האקספונצילית למספרים רציונלים כלשהם, אני מניח שהשומע יקבל את התחושה שאכן אנחנו מקבלים גרף שנראה בצורה כזו בוודאי ישים לב שבגרך זה אם נסתכל על התמונה שלו, על הציר האנכי. אנחנו לא ממשים את מלוא הגבהים של הפונקציה. לא ממשים את כל הגבהים החיוביים על מנת לעשות זאת אנחנו נצטרך להרחיב שוב את תחום ההגדרה למלוא המספרים הממשיים. הפעם ההרחבה היא יותר מורכבת והתיאור המדויק של המהלך הזה שכרוך בשימוש תכונת הרציפות של הישר הממשי, את זה תוכלו לראות בקורס שלנו בשנה א׳. על כל פנים נניח שאכן יש הגדרה או הרחבה של הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 לעולם כל המספרים הממשיים ובצורה כזו נקבל פונקציה שאומנם מוגדרת על כל הישר תמונתה ממצא את מלוא המספרים החיוביים. במילים אחרות אנחנו יכולים לארגן את המחשבה בצורה כזו תדמיינו שהקבוצה הזו מסמנת את כל המספרים הממשיים והפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 מה שהיא נותנת לנו זה האפשרות למצות לא את כל המספרים הממשיים אלא את המספרים החיוביים. כתבתי כאן P לא P, R על תקן של Positive. זה חלק מהתוכנית להציג כל מספר אפשרי חיובי, כחזקה של אבל נזכור לרגע שהרעיון היה נוכל להפוך את בעית המכפלה של המספרים לבעיה של סכום של מיקומים. זה דורש לדעת עבור כל מספר חיובי מהו המיקום שלו. או במילים אחרות בהינתן מספר חיובי כלשהו אנחנו נרצה לאתר מהו המספר הממשי כך ש-2 בחזקת B נותן לי בדיוק את ה-C שלנו או בשפה שכבר ראינו כשדיברנו על פונקציות, מה שנרצה להגדיר הנה, זה הפונקציה ההפוכה שלכל מספר חיובי נותנת את המקור שלה ביחס לפונקציה האקספונצילית בבסיס 2, קרי הפונקציה ההפוכה. אז אם אנחנו נתבונן בביטוי הזה נוכל להציג אותו בזו הלשון. אם אנחנו מקבלים את B אז הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 כשהיא עובדת על B נותנת את C ובכיוון ההפוך ההפונקציה ההפוכה, הלוגריתם של C בבסיס 2 היא נותנת בדיוק את הערך B. אם נרצה להציג את הפונקציה הלוגריתמית בבסיס 2, לשרטט אותה על אותו ציור איה שציירנו את הגרף של הפונקציה האקספונצלית, נזכור לרגע ששתי פונקציות הפוכות שני הגרפים שלהם הם סימטריים ביחס לאלכסון הראשי. אז אם נשרטט, אולי נאמץ צבע קצת שונה איך נראה הגרף שהוא סימטרי ביחס לאלכסון? פה יש לנו את הנקודה: 0, 1 אז פה תהיה לנו את הנקודה 1, 0. פה יש לנו את הנקודה עם קורדינטות 1, 2 אז תהיה לנו כאן נקודה עם קורדינטות 2, 1. פה יש לנו נקודה עם קורדינטות 2, 4 אז פה תהיה לנו הנקודה עם קורדינטות 4, 2 פה יש לנו את הנקודה עם קורדינטות מינוס 1, חצי אז פה תהיה לנו הנקודה עם קורדינטות חצי, מינוס 1 וכו׳. אז נקבל שהגרף של הפונקציה הלוגריתמית נראה בצורה כזו. זה הגרף של הפונקציה האקספונצילית על בסיס 2 זה הגרף של הפונקציה הלוגריתמית בבסיס 2. נכתוב לעצמנו לרגע מהו הביטוי של העובדה שאחת היא הפוכה של השניה אם נקח מספר כלשהו, נקח קודם כל את הפונקציה האקספונצילית נפעיל עליו את הפונקציה האקספונצילית ואחר כך נקח את הפונקציה או נפעיל את הפונקציה הלוגריתמית כמובן שנקבל בחזרה את המספר B. בכתיב אחר, אם נקח את 2 בחזקת B ונקבל את C. אם אחר כך נקח את הלוגריתם בבסיס 2 של 2 בחזקת B, במילים אחרות הלוגריתם של C בבסיס 2 נקבל שוב את B. ולהפך. אם נתחיל עם C קודם כל נפעיל את הפונקציה הלוגריתם בבסיס 2 ואחר כך נפעיל את הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 נקבל בחזרה את C או בכתיב אחר, אם נקח את C נחשב את הלוגריתם בבסיס 2 ואחר כך נפעיל את הפונקציה האקספונצילית בבסיס 2 נקבל נקבל בחזרה את C. בואו נגלה מה הן התכונות של הפונקציה הלוגריתמית המתאימות לתכונות של הפונקציה האקספונצלית כפי שהצגנו כמוטיבציה בתחילת הדרך. בואו נקח שני מספרים. A כפול B ונשאל את עצמנו מהו הלוגריתם של המכפלה של שני המספרים האלה. עכשיו אם נחשוב על A כ-2 בחזקת משהו 2 בחזקת X ונחשוב על B כ-2 בחזקת Y אז 2 בחזקת X כפול 2 בחזקת Y בהתאם לתכונה הראשונה, הרי זה צריך להיות 2 בחזקת X ועוד Y. אז הלוגריתם של המכפלה a כפול b. זה צריך להיות הלוגריתם בבסיס 2 של 2 בחזקת x ועוד y, אבל הרי זה x ועוד y. ומי זה x? הרי אם 2 בחזקת x זה a, אז x זה בדיוק מה שקיווינו, הלוגריתם של a בבסיס 2. ואם 2 בחזקת y זה b, הרי y זה בדיוק מה שכינינו הלוגריתם של b בבסיס 2. במילים אחרות, נקבל את התכונה המפתיעה הזו, וזו שהייתה מאחורי הרעיון להציג את הלוגריתמים, שהלוגריתם של מכפלה הופך להיות סכום של הלוגריתמים, מכפלה הופכת להיות סכום. בצורה אנלוגית אנחנו נשאיר לשומעת את התרגיל הבא. בהסתמך על התכונה השנייה, נבקש להראות שאם אנחנו נרצה לחשב את הלוגריתם בבסיס 2 של a בחזקת x כל שהוא, זה יהיה x פעמים הלוגריתם של a בחזקת 2. בעיה של חזקה תהפוך למכפלה באיזשהו קבוע. נוכל לשאול האם יש משהו מיוחד בעובדה שאנחנו עובדים עם המספר 2. אז למען הדיוק ההיסטורי נאמר שההצגה הזו היא הצגה יותר מאוחרת. טבעי היה באיזשהו שלב לעבוד עם בסיסים אחרים. נאפייר הציג את הלוגריתמים בבסיס שהוא לא 2. זה היה הנרי ביגס שבשלב יותר מאוחר אימץ, בהקשר של הכתיב העשרוני, את ה-10 כבסיס. אז למעשה לכל מספר חיובי, כל עוד שהוא שונה מ-1, אפשר להגדיר הן פונקציה אקספוננציאלית בבסיס a, וההפוכה שלה לוגריתם בבסיס a. איך ייראו הפונקציות האלה? והאם בכל זאת מדובר על פונקציות שבאופן מהותי שונות מהזוג שהצגנו מלכתחילה? אז אם a הוא מספר גדול מ-1, אז צורת הגרף תהיה מאוד דומה לגרף של שתי הפונקציות האלה. בהמשך הדרך נוכל להבין בדיוק מה הפרופורציה בין 2 הגרפים. אבל אם הבסיס הוא קטן מ-1, למשל חצי, נראה שנגלה תופעה מעניינת. אם נאמץ את a להיות שווה לחצי, אז אם ניקח את חצי בחזקת x כל שהוא בהתאם לתכונות שהזכרנו, הרי את חצי אפשר לכתוב כ-2 בחזקת מינוס 1. 2 בחזקת מינוס 1, כל זה בחזקת חצי בהתאם לתכונה השנייה, זה צריך להיות 2 בחזקת מינוס x. אז בואו נתבונן לרגע מה שכתוב כאן. מה שכתוב כאן זה שאם אני ארצה להפעיל על x את הפונקציה האקספוננציאלית אבל בבסיס חצי, זה הרי להפעיל את הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס 2, לא על x, אלא על מינוס x. במילים אחרות, אם אני מתבונן בגרף של הפונקציה האקספוננציאלית, ובמקום להעריך עבור כל נקודה את ה... להפעיל בכל נקודה את הפונקציה האקספוננציאלית, אני מפעיל על הנגדי של x, מה שאני אקבל זה גרף שהוא סימטרי ביחס לציר האנכי. לכן הנקודה הזו היא סימטרית לעצמה, הנקודה הזו היא סימטרית לנקודה הזו, הנקודה הזו היא סימטרית לנקודה הזו, הנקודה הזו היא סימטרית ביחס לנקודה הזו. הגרף של הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס חצי, הגרף הוא סימטרי ביחס לציר האנכי של הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס 2. שימו לב משהו שהוא בולט. הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס 2 היא פונקציה עולה, להבדיל הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס חצי היא פונקציה יורדת. איך ייראה הגרף של הפונקציה לוגריתם בבסיס חצי, את זה גם כן נשאיר לתרגיל. הערה אחרונה. האם יש לנו צורך לעבוד עם בסיסים שונים או האם באופן מהותי מדובר על פונקציות שונות בהתאם לבחירה השונה של הבסיסים השונים? אז בואו נאמר את הדבר הבא. אילו הייתי רוצה לאמץ בסיס אחר, והייתי רוצה להגדיר או לחשב מה זה b בחזקת x, את b אני יכול להציג כ-a בחזקת הלוגריתם של b בבסיס a. מה שכתוב כאן זה בדיוק b. הרי המספר לוגריתם של b בבסיס a, זה בדיוק אותה חזקה, בדיוק אותו מעריך, שאני צריך למקם כאן על מנת ש-a תיתן את b. מכאן שאם אני רוצה לחשב מה זה b בחזקת x, כל מה שאני צריך לעשות זה לחשב את a בחזקת הלוגריתם של b בבסיס a, כל זה בחזקת x. אבל בהתאם לתרגיל שאישרנו לכם ותוך שימוש בתכונה הזו, מה שכתוב כאן זה a בחזקת מה? x כפול הלוגריתם של b בחזקת a. במילים אחרות, אקספוננציאל בבסיס b של x הוא אקספוננציאל בבסיס a, לא של x, אלא של x מוכפל באיזשהו קבוע. ומיהו הקבוע? הלוגריתם של הבסיס החדש בבסיס הידוע לנו, a. ברגע שאנחנו מכירים את הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס a, ובהתאם את פונקציית הלוגריתם בבסיס a, אנחנו יכולים לקבל את מלוא הפונקציה האקספוננציאלית בבסיס b. נשאיר גם לתרגיל את העובדה הבאה, שאילו רציתי לדעת מהו הלוגריתים של מספר כל שהוא בבסיס b, בהסתמך על הנתונים אודות לבסיס a, זה יהיה הלוגריתם של אותו מספר בבסיס a חלקי אותו קבוע לוגריתם של b בבסיס a. אם כך למעשה אנחנו יכולים להסתפק בבסיס אחד שרירותי שנשתמש בו. לצורכי חישובים, בוודאי באופן היסטורי, ברגע שאימצנו את השיטה העשרונית טבעי היה, יש יתרונות מסוימים לעבוד עם בסיס 10, אבל יש יתרונות לבחור בבסיסים אחרים. והאמת היא שיש בסיס מאוד מיוחד שמסגל תכונות מאוד מיוחדות, אבל על זה בהמשך.
