קורס זה עוסק במתמטיקה של בית ספר תיכון מנקודת מבט מתקדמת. מטרתו העיקרית היא לחשוף סטודנטים לעתיד לאופן שבו מתמטיקאים רואים מקצוע זה, ובכך להכין אותם ללימודי מתמטיקה ברמת אוניברסיטה.
אקספוננט ולוגריתם 3 - סיפור על ריבית דריבית
Loading...
Del curso dictado por Hebrew University of Jerusalem
Invitation to Mathematics הזמנה למתמטיקה
50 calificaciones
De la lección
אקספוננטים ולוגריתמים
ביחידה זו נלמד על פונקציות האקספוננט והלוגריתם, נראה את הקשר ביניהם ונראה מה הקשר בין כל זה לבין חשבון הב
Conoce a los instructores
Raz Kupferman
Mathematics
Itamar Cwik
Mathematics
Ehud de Shalit
Mathematics
אספר לכם סיפור, נתבל אותו ב..
נימה אישית.
בשנות ה-80 בארץ הייתה תקופה
של אינפלציה גדולה, יצא לי להיות סטודנט,
התגוררתי במעונות בהר הצופים,
של האוניברסיטה העברית פה בירושלים ואני
זוכר שבהיותי תלמיד גם כן קיבלתי מלגה אשר הופקדה בבנק ששהה,
לא נזכיר את שמו, גם כן בסמיכות לאוניברסיטה.
הקפדתי לנסות לא לבזבז את כספי כל הזמן ובהקשר זה
פנה אליי מנהל הסניף אשר הציע לי, "ראה,
"אני רואה שאתה שומר על כספך." אז היו לירות,
לא שקל, אפילו לא שקל חדש לירות.
והוא הציע לי את הרעיון הבא: "תפקיד אצלנו לירה אחת,
בסוף השנה נשלם לך מאה אחוז ריבית." במילים אחרות,
על כל לירה בסוף השנה אני אקבל מאה אחוז ריבית.
אני לא יכול לספר לכם כמה
שמחתי ואמרתי בכל זאת מתוך נימוס, אפילו הייתי אומר מתוך היסוס,
"רגע, תן לי לחשוב." יצאתי מהסניף
וכמובן גם אז כמו היום היו הרבה
בנקים ואז פנה בסמוך לרחוב נציג של בנק אחר
אשר הציע לי: "ראה, "אם אתה חסכן, אנא,
תפקיד את כספך אצלנו "ואנחנו נשלם לך מאה אחוז ריבית." אני אמרתי לו: "אבל רגע,
אני כבר קיבלתי הצעה כזו." הנציג של הבנק חשב לרגע ואמר: "אתה יודע מה?
אני אשפר את ההצעה.
"לא רק שנשלם לך מאה אחוז ריבית,
"אלא כעבור מחציתה הראשונה של השנה "הכסף
כבר יהפוך להיות חלק מהקרן.
"במילים אחרות, לא רק שנשלם לך את הריבית בסוף השנה,
אלא כעבור שישה חודשים "אנחנו כבר נשלם לך את מחצית
החיסכון "ואז בסוף "אנחנו נשלם
לך יותר מאשר הציעו לך בבנק השני." תלמיד מתמטיקה אמר,
"רגע אני אחשוב על זה." אז חזרתי למעונות
ועשיתי את החישוב הבא: אם אני מפקיד לירה
אחת במאה אחוז ריבית שנתי, כעבור חצי שנה,
מחצית הזמן, יהיה לי כבר לירה וחצי.
זה מה שיהפוך להיות הקרן שלי כעבור ששת החודשים הראשונים.
זה אומר שבסוף השנה מה שיהיו
לי זה לירה וחצי ועוד מה שהלירה
ואז חצי הזו תיתן לי כריבית.
לירה וחצי מופקדת עוד מחצית השנה
היא תפיק עוד לירה וחצי, חצי מזה.
כמובן שמה שכתוב כאן אינו אלא אני יכול להוציא
אחד וחצי גורם משותף זה אחד וחצי כל זה בריבוע.
במילים אחרות הריבוע של הראשון ועוד
פעמיים הראשון כפול השני ועוד הריבוע של השני קרי,
ההצעה של הבנק השני היתה כרוכה במה?
בסוף השנה לא רק שאני אקבל שני שקלים, שתי לירות,
סליחה על אי הדיוק ההיסטורי, אלא שתי לירות ורבע.
כבר חשבתי לעצמי רוטשילד,
אבל כפי שאמרתי לכם, לא רק היו שני בנקים,
מיד פניתי ימינה והתברר שמופיע נציג אחר והוא אמר לי: "יש לנו עכשיו תכנית,
אם אתה חסכן, "תפקיד אצלנו." אני כבר הייתי יהיר, אמרתי,
"רגע אני קיבלתי הצעה "מה הריבית שאתם משלמים?" "מאה אחוז." "כבר
קיבלתי הצעה כזו." אפילו הציעו לי שכעבור מחצית
השנה הכסף שלי יהפוך להיות כבר קרן.
חשב הנציג, אנחנו נשפר עוד את ההצעה שלך ואנחנו נעשה כך...
טוב, אתם כבר יכולים לדמיין את הניסוח שלי.
אם הבנק השני, מה שהוא עשה זה
שחילק את השנה לשני חצאים,
הבנק השלישי מה שהוא עשה זה חילק את השנה
לשלושה חלקים שווים ואז הוא אמר לי כך: "תפקיד את הכסף.
כעבור שליש שנה, "קרי ארבעה חודשים,
הכסף יהפוך להיות כבר "חלק מהקרן." והסיפור הזה יחזור על עצמו.
במילים אחרות,
כעבור שלושת החודשים הראשונים מה שיעמוד לרשותי זה סך של לירה ועוד שליש.
בסוף שני שליש של השנה הראשונה, קרי, בתום שמונת החודשים הראשונים,
מה שיהיה לי זה לירה ועוד שליש ועוד מה שהלירה
ועוד שליש תיתן כריבית מאה אחוז
ריבית שליש שנה זה מה שאני אקבל.
ובתום השנה אני אקבל את כל מה שכתוב כאן.
בואו נעשה את החישוב בינתיים זה אחד ועוד
שליש בריבוע בסוף השנה מה
שיהיה לי זה אחד ועוד שליש
לירה בריבוע שזה הקרן שתעמוד לרשותי
בתום שמונת החודשים הראשונים של השנה ועוד
על השליש האחרון של השנה הקרן
הזו תפיק עוד שליש.
במילים אחרות' בתום השנה יהיה לי אחד ועוד שליש בחזקת שלוש.
יכול להיות שאתם לא זוכרים, אבל אני זוכר טוב מאוד איך לחשב
את החזקה השלישית של במלוא אז זה החזקה
השלישית של הראשון ועוד שלוש פעמים הריבוע
של הראשון כפול השני ועוד שלוש
פעמים הראשון כפול הריבוע של
השני ועוד בסוף, החזקה השלישית של האחרון.
במילים אחרות, הבה נרשום את התוצאות בינתיים.
אם לא חילקנו את השנה, בסוף השנה- שתי לירות.
אם חילקנו את השנה לשני חלקים שווים, לירה ועוד לירה ועוד רבע.
אם חילקנו את השנה לשלושה חלקים שווים,
מה שיהיה לי זה לירה ועוד לירה
ועוד שלוש פעמים אחד חלקי
שלוש בריבוע זה שליש ועוד אחד חלקי עשרים ושבע.
שימו לב על המקום ששליש הוא מספר יותר גדול מרבע
אז בוודאי שהבנק השלישי הציע לי הצעה יותר נדיבה.
מזל כפול עומד לרשותנו.
קודם כל, שהיו הרבה בנקים.
אחר כך, ששתים עשרה זה מספר שאפשר לחלק בכל מיני מספרים.
על כל פנים, דמיינתי לעצמי ככה חלמתי,
מה היה קורה אילו אני אמשיך לטייל ובנק אחרי בנק יציע לי,
"ראה, "מאה אחוז ריבית,
אבל אם הבנק הקודם חילק את השנה "למספר כזה של חודשים,
אנחנו נחלק לעוד אחד." במילים אחרות,
הבנק ה "N" מה שהוא יעשה זה,
יחלק את השנה ל-N חלקים שווים ובסוף השנה מה
שהוא ישלם לי זה יהיה אחד ועוד לירה חלקי N, כל זה בחזקת N.
כבר התחלתי לשפשף את ידיי כאשר
חישבתי בתוכי מה היה קורה אם המספר הזה N ילך,
ילך, ילך, ילך, ילך ויגדל עד שבסוף
נזכרתי בלימודיי שמתברר
שלא כל כך משנה...
בסופו של דבר אם אני אמשיך
ואחלק את השנה המספר הזה,
הגבול יהיה E המספר וכפי שהזכרנו,
זה אומר שבסוף השנה בוודאי שאני לא אקבל יותר מאשר מה?
שתי לירות ושבע ועוד משהו.
במילים אחרות, בוודאי פחות משלוש לירות.
אם מי מכם סקרן עד כדי כך ויפתח
את העיתונים של תחילת שנות ה-80,
ימצא שם כותרות אשר הצביעו על כך שהיו סדר
גודל של ארבע מאות אחוז אחוזי אינפלציה.
אז כמו אז גם היום הבנקים ידעו לעשות חישוב.
טוב למעשה, זה סיפור בבדיחות הדעת, אבל לא כל כך רחוק מהמציאות.
גם המציאות האישית, אבל כמובן זה פחות חשוב,
אבל העובדה שהמספר E אכן הופיע בחישובי ריבית דה ריבית.
וכאן מולנו תופעה מעניינת הרבה פעמים
במדע בכלל ובמתמטיקה בפרט אנחנו מגלים
את אותה התופעה או את אותה ההתבוננות
או קשר בין עובדות בהקשרים
שונים יש הבדל בין ההקשר של התגלית,
כמו שמנסחים היום אנשי הפילוסופיה של המדע,
לבין ההקשר של ההוכחה או בהקשר של המתמטיקה של הבנייה.
ואמנם כפי שראינו אפשר היה לבנות או להציג את המספר E בצורות שונות.
בסיפור שלנו בחרנו קודם כל להציג את המספר
כאותו מספר אחד ויחיד כך שאם נשתמש בו כבסיס של
פונקציה אקספוננציאלית, הנגזרת של הפונקציה האקספוננציאלית
באותו בסיס תהיה בדיוק הפונקציה האקספוננציאלית עצמה.
הקשר אחר לגמרי המספר הזה אי אפשר לקבל אותו
כגבול של סדרה אחד מהדברים המאתגרים והמרתקים
ביותר במתמטיקה זה דווקא לעמוד מול מצבים כאלה
ולהראות שהם מובילים לאותה
מציאות.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2018 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
