שלום בשיעורים הקרובים אנחנו נעסוק בשני נושאים שאתם נתקלתם בהם במהלך הלימודים בתיכון סדרות של מספרים ואינדוקציה. שני נושאים שאנחנו נראה שיש קשר בינהם. נתחיל עכשיו מלדבר על סדרות של מספרים מהי סדרה של מספרים? זו רשימה סדורה של מספרים כפי שהשם אומר ובואו נתבונן בכמה דוגמאות ודרכן נבין יותר טוב למה הכוונה אז דוגמא ראשונה סידרה שמכילה את הכפולות של המספר 3 זו סדרה שהאיבר הראשון בה הוא 3 אחריו 6, 9, 12 וכן הלאה אנחנו אם כן מסמנים את איברי הסדרה זו רשימה שפסיק מפריד בין שני איברים עוקבים ונהוג הרבה פעמים להקיף את הסדרה כולה בסוגריים שלוש הנקודות שהוספתי כאן בעצם אומרות לנו שהסדרה ממשיכה לפי חוקיות שאנחנו אמורים להבין מהאיברים שכתובים כאן. דוגמא 2 תהיה סדרה מתחלפת הסדרה 1, 2, אחר כך שוב 1, 2, 1, 2 זה המשך לפי אותה חוקיות. דוגמא שלישית תהיה דוגמה למה שקרוי סדרה חשבונית נתעמק בהם יותר בהמשך למשל הסדרה 5 2 מינוס 1, מינוס 4 כל איבר קטן מקודמו ב-3 אז סדרה מסוג זה נקראת סדרה חשבונית דוגמא רביעית תהיה סדרה למשל הבאה 3, 6, 12, 24 48 כל איבר שווה לקודמו כפול 2, במקרה הזה יש יחס קבוע בין כל שני איברים עוקבים בסדרה זו דוגמא לסדרה הנדסית גם שני סוגי סדרות אלה את נתקלתם בלימודי התיכון. נתבונן בדוגמאות נוספות הדוגמא החמישית שלנו תהיה סדרה שהאיבר שלה הוא 3 האיבר הבא הוא 1, האיבר הבא הוא 4, 1, 5, 9 ויתכן וזיהיתם שזו סדרה שאיברה הן ספרות והן הספרות בפיתוח העשרוני פאי סדרת הספרות בפיתוח העשרוני של פאי הדוגמא הבאה תהיה הסדרה הבאה, שלושת איבריה הראשונים הם אפסים לאחר מכן: 2, 5 9, 14, אני מנחש שהחוקיות כאן לא בהכרח ברורה ובכן סדרה זו מבטאת את מספר האלכסונים במצולע שיש בו N צלעות. אז מצולע שיש בו צלע אחת או שניים לא קיימים כאלה ולכן שני האיברים הראשונים הם אפס האיבר השלישי הוא מספר האלכסונים במצולע שיש בו 3 צלעות כלומר במשולש, אין אלכסונים במשולש. ארבע צלעות, מרובע יש שני אלכסונים. יש חמישה אלכסונים במחומש, תשעה במשושה וארבעה עשר במשובע. אז כאמור זו סדרה שיש בה איזשהו תוכן גיאומטרי שקושר בין מספר צלעות לבין מספר אלכסונים מתוך הסתכלות על הדוגמאות שהעלינו בואו ננסה עכשיו לומר כמה דברים כלליים לגבי סדרות של מספרים נקח למשל את הדוגמא החמישית שסדרת הספרות בפיתוח העשרוני של פאי, אני אעתיק שוב את איברי הסדרה בסדרת מספרים יש תמיד איבר ראשון ולכל איבר יש איבר עוקב, למעשה סדרה של מספרים מתאימה לכל מספר טבעי מספר ממשי למשל למספר 5 היא מתאימה את האיבר במקום החמישי, למספר שבע היא מתאימה למספר שנמצא במקום השביעי סדרה של מספרים היא למעשה פונקציה שמתאימה מספר ממשי לכל מספר טבעי. סדרה היא התאמה או פונקציה של מספר ממשי למספר טבעי. בסימונים שבהם השתמשנו כדי לתאר פונקציות נוכל לומר שאם N מסמנת את קבוצת המספרים הטבעיים ו-R מסמנת את קבוצת המספרים הטבעיים את קבוצת המספרים הממשיים הרי שהסדרה היא התאמה מהמספרים הטבעיים אל המספרים הממשיים. כמו כל פונקציה גם סדרות נהוג לסמן באמצעות סמלים. באמצעות אותיות. למשל את הסדרה המתוארת כאן אפשר לסמן באות F כפי שאנחנו רגילים לסמן פונקציה, במקרה כזה האיבר השלישי למשל של הסדרה הוא מה שמחזירה הפונקציה כשמציבים בה את המספר הטבעי 3. אז אם נתבונן בדוגמא הזאת באמת נוכל לומר שהפונקציה היא סדרה במקרה זה F כשמציבים בה את המספר 3 מחזירה את המספר 4 זה כתיב של פונקציות. 3 במקרה זה הוא המשתנה הבלתי תלוי ו-4 הוא המשתנה התלוי שהפונקציה מחזירה. כשעוסקים בסדרות לא מקובל לכתוב את הדברים כך במקום לכתוב את המשתנה בלתי תלוי בסוגריים לצד שם הפונקציה הסימון המקובל הוא לכתוב אותו בקטן למרגלות האות המסמנת את הפונקציה ובמקרה כזה נאמר לו ש-F של 3 שווה 4 אלא F3 שווה ל-4. כך שבדוגמא שלפיננו F1 האיבר הראשון של הסדרה הוא 3 האיבר השני הוא 1, האיבר השלישי הוא 4 וכן הלאה... אלה הסימונים המקובלים כשהפונקציה היא סדרה. כשהיא העתקה לא מקבוצה של ממשיים לממשיים אלא מהטבעיים אל הממשיים. כמו כל פונקציה אחרת אפשר לייצג סדרה באמצעות גרף. במקרה זה ציר ה-X שלנו שהוא הערכים של המשתנה הבלתי תלוי יכיל אך ורק מספרים טבעיים כי זהו תחום ההגדרה של הסדרה. 1, 2, 3, 4, 5 וכן הלאה... וציר ה-Y יבטא את הערכים שהפונקציה מחזירה. במקרה של הסדרה הזאת אז כשמציבים 1 מקבלים את הערך 3 אז הגרף של הפונקציה בנקודה 1 מיוצג על ידי הנקודה 1.3 כשמציבים 2 הפונקציה הסדרה במקרה זה מחזירה את הערך 1, F של 2 שווה 1, F של 3 שווה 4 וכן הלאה שימו לב אבל שבניגוד לפונקציות שהתחום שלהם הוא ממשיים, הוא תחום רציף במקרה זה הפונקציה, הגרף של הפונקציה הוא אוסף בדיד של נקודות אין שום משמעות בלחבר למשל את הנקודות באמצעות קווים כי הסדרה כפונקציה אינה מחזירה שום ערך כשמציבים בה למשל את 2 וחצי. 2 וחצי אינו נמצא בתחום ההגדרה של הסדרה. עכשיו נעבור לדבר על דרכים שונות לייצג סדרה להגדיר סדרה. ואני רוצה שלאורך כל הדיון בדוגמאות שניתן תחשבו על הקשר בין הגדרת סדרה להגדרת פונקציה. מה שעסקנו בו בשיעורים קודמים. דרכים לייצג סדרה. הדרך הראשונה שנתאר היא באמצעות נוסחה אלגברית. בדיוק כמו שפונקציה שהתחום שלה הוא הממשיים ניתנת לתיאור, לייצוג באמצעות נוסחה אלגברית, כך גם סדרה למשל סדרה, הסדרה A שהאיבר ה-N שלה מסומן ב-AN ניתן לקבוע באמצעות נוסחה אלגברית שהסדרה הזו מקיימת את הכלל שהאיבר ה-N שלה שווה ל-3 פעמים N ועוד 1 נוסחה זו מגדירה כמובן את הסדרה כולה. כי היא אומרת לנו לכל מספר ממשי מה הערך של האיבר במקום הזה בסדרה. למשל אנחנו יכולים לדעת מנוסחה אלגברית כזאת שהאיבר ה-100 בסדרה שווה ל-3 פעמים 100 ועוד 1 דרך זו לייצג סדרה אם כן מקביל לחלוטין לאופן שבו אנחנו מציגים פונקציות באמצעות נוסחה אלגברית. דרך אחרת לייצג סדרה היא באמצעות נוסחה רקורסיבית ובכן הדרך הראשונה היא באמצעות נוסחה אלגברית. הדרך השניה היא באמצעות מה שנקרא נוסחה רקורסיבית. בנוסחה רקורסיבית אנחנו קובעים את ערכו של איבר בסדרה באמצעות ערכים של איברים קודמים למשל דוגמא האביר ה-N שווה לאביר ה-N פחות 1 פחות 5 זאת דוגמה לנוסחה רקורסיבת שבה אפשר לדעת ערכו של איבר בסדרה בהינתן האיבר שקודם לו כדי שנוסחה כזו תגדיר באופן יחיד את הסדרה כן אז אם רוצים לדעת את האיבר ה-100 אז צריך לדעת מהו האביר ה-99 שאותו כדי לדעת צריך לדעת מהו האביר ה-98 באיזשהו שלב נגיע לאיבר השני שנתון באמצעות הראשון הנוסחה הזאת כבר לא יכולה לתאר את האיבר הראשון כי אין איבר אפס בסדרה אז כדי שהסדרה תהיה מוגדרת היטב אנחנו חייבים לקבוע למשל מהו האיבר הראשון בסדרה אז למשל האיבר הראשון שווה 6 זאת דרך להגדיר סדרה כן במקרה זה אנחנו יודעים שאם אני אנסה עכשיו לכתוב מהי הסדרה אנחנו יודעים שהאיבר הראשון הוא 6 והאיבר השני כבר נתון באמצעות הנוסחה הרקורסבית הוא האיבר הראשון פחות 5 1 מינוס 4 וכן הלאה חשוב לציין שכשאנחנו מתארים סדרות באופן רקורסיבי אין הכרח שאיבר יהיה תלוי אך ורק באיבר אחד שקדם, דוגמה מאוד מפורסמת לסדרה שבה כל איבר מוגדר באמצעות שני איברים שקודמים לו היא סדרה הידוע בשם סדרת פיבונאצ׳י אנחנו נחזור באחד מהשיעורים הבאים לסדרת פיבונאצ׳י פיבונאצ׳י היא סדרה מאוד מעניינת, היא גם היסטוריה קצת משעשעת, אבל עכשיו רק נגדיר אותה. זו סדרה שבה כל איבר שווה לסכום שני האיברים שקדמו לו כלומר האיבר ה-N בסדרה שווה לסכום האיבר ה-N פחות 1 האיבר הקודם לו ועוד האיבר שקודם לאיבר שקודם לו N פחות 2 שימו לב שנוסחה כזאת יכולה להיות מוגדרת היטב אך ורק החל מ-N שווה 3 עבור N שווה 2 נקבל כאן את האיבר האפס שלא קיים בסדרה האיבר הראשון הוא האיבר שמתאים ל-N שווה 1 וכן הנוסחה פה מוגדרת היטב אך ורק עבור N גדול או שווה 3 והסיבה שטעיתי זה שאולי זה היה המקום לציין שבדוגמה הקודמת נוסחת הרקורסיה מוגדרת אך ורק עבור N גדול או שווה 2 בכל מקרה כאן נוסחת הרקורסיה מוגדרת עבור N גדול או שווה 3 ובמקרה זה כדי שהסדרה תהיה מוגדרת היטב עלינו לומר במפורש מהם שני האיברים הראשונים שלה. מה קורה כש-N שווה 1 וכש-N שווה 2 סדרת פיבונאצ׳י מוגדרת כך ששתי האיברים הראשונים שלה הם 1. שלושת השורות הללו מגדירות סדרה באמעות מה שנקרא נוסחה רקורסיבית. אם נרצה לדעת עכשיו מהו האיבר השלישי בסדרה נפנה לנוסחת הרקורסיה שאומרת לנו שזה הסכום של האיבר הראשון והשני: 1 ועוד 1 האיבר הרביעי יהיה שווה לסכום של האיבר השלישי ועוד האיבר השני, כלומר: 2 ועוד 1 וכן הלאה. שימו לב שבשתי הדרכים להגדיר סדרה אנחנו נותנים כלל שמבוטא באמצעות נוסחאות ובשני המקרים הכללים הנתונים מספיקים כדי לקבוע את כל איברי הסדרה. אבל יש הבדל מאוד גדול בין שתי הדרכים שנתונה נוסחה אלגברית אנחנו יכולים באופן מידי באמצעות הצבה למצוא את כל אחד מאיברי הסדרה. למשל אין שום קושי לחשב מהו האיבר המיליון בסדרה הזאת. במקרה של נוסחה רקורסיבית כפי שהדברים נראים כדי לחשב איבר בסדרה אנחנו למעשה צריכים לחשב את כל האיברים שקדמו לו כן נסו למשל לחשוב מהו האיבר המיליון בסדרת פיבונאצ׳י אנחנו יודעים שהוא שווה לסכום שני האיברים שלפניו אבל אנחנו לא יודעים אותם וכדי למצוא אותם צריך גם כן להשתמש באותה נוסחת רקורסיה כך שנראה הרבה יותר קשה להשתמש בהגדרה רקורסיבית של סדרה כדי לחשב את האיברים שלה הדרך השלישית שאני אעלה לתאר סדרה זה יהיה מה שאני אקרא לו תיאור מילוי בדיוק כפי שכשנתקלנו בפונקציות דיברנו על פונקציות שמתארות למשל את השתנות הטמפרטורה כפונקציה של הזמן זו היתה דוגמה לתיאור מילולי של פונקציה שלא נתנה לנו כלים כדי לחשב את הפונקציה כך גם בסדרות. לעיתים קרובות יש לנו תיאור מילולי ראינו כבר דוגמה למשל ראינו סדרה שבה האיבר ה-N הוא מספר האלכסונים במצולע שיש בו N צלעות. כן אז דוגמה סדרה שבה האיבר ה-N הוא מספר אלכסונים במצולע בין N צלעות דוגמה אחרת תהיה סדרה שבה האיבר ה-N הוא מספר האופנים שבהם אפשר לסדר בשורה N עצמים. תיאור מילולי של סדרה עולה לעיתים קרובות ביישומים, כן למשל שאלה מהסוג שזה עתה העמדתי : כמה דרכים שונות קיימות כיד לסדר בשורה N עצמים היא בעיה שיכולה להופיע במציאות והיא מגדירה סדרה. מצד שני תיאור מילולי בדרך כלל לא מאפשר לנו ללא עבודה חישובית למצוא את איברי הסדרה. במילים אחרות כשסדרה נתונה באמצעות תיאור מילולי כדי שנוכל באמת לדעת מהי הסדרה אנחנו לעיתים קרובות נצטרך מתוך התיאור המילולי למצוא את הנוסחה האלגברית שמגדירה את אותה הסדרה לסיכום מה שראינו בשיעור הזה הגדרנו באופן כללי מהי סדרה של מספרים. זוהי רשימה סדורה של מספרים. ראינו כמה דוגמאות וראינו דרכים שונות לייצג סדרה. באמצעות נוסחה אלגברית, נוסחה רקורסיבית או תיאור מילולי. בשיעורים הבאים אנחנו נתמקד בסדרות מיוחדות או משפחות של סדרות שהן מעניינות, חלקן היכרתם בבית ספר וחלקן יהיו לכם חדשות.
