שלום. בשיעורים הקרובים אנחנו נעסוק בשני מושגים שקשורים ביניהם. מושג אחד הוא מושג השטח, מושג שאתם מכירים כבר מימי בית ספר יסודי. המושג שני הוא מושג האיננטגרל, מושג שהכרתם בלימודים בתיכון בהקשר של תורת הפונקציות. אנחנו נראה ששני המושגים האלה קשורים זה בזה באופן הדוק, אם כי לקח בעצם אלפי שנים מאז שהמושג הראשון, שטח, היה בשימוש, ועד שהמושג השני, מושג האינטגרל, הומצא כחלק מהחשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. בואו נחזור רגע למושג השטח כפי שהכרנו אותו כבר בבית ספר יסודי. לפנינו מלבן, שהמידות שלו כמובן לא בקנה מידה אמיתי, הן שישה סנטימטר אורכו וארבעה סנטימטר רוחבו. מהו שטחו? אז אתם כמובן יודעים שהשטח הוא מכפלת האורך ברוחב, למדתם את זה כבר בבית ספר יסודי, אבל למה בעצם הכוונה? אז כשאנחנו עוסקים במידה של אובייקט מסויים אנחנו תמיד צריכים תחילה לבחור יחידת מידה. במקרה שלפנינו של מושג שטח של צורה גיאומטרית שהמימדים שלה נתונים בסנטימטרים מקובל לבחור, בתור יחידת מידה, ריבוע שאורך צלעו סנטימטר אחד, הנה כאן. כשאנחנו שואלים מה השטח של המלבן הזה מה שאנחנו למעשה שואלים זה כמה יחידות מידה של סנטימטר רבוע נחוצות כדי לרצף את המלבן הנתון. במקרה שלפנינו נשים לב שאם אנחנו נחלק את צלעות המלבן לקטעים באורך סנטימטר, אנחנו נוכל לרשת את המלבן באמצעות מערך של ריבועים שכל אחד מהם שטחו הוא סנטימטר רבוע. וכך ריצפנו את המלבן באמצעות מערך של שש פעמים ארבע ריבועי יחידה, ולכן שטח המלבן הוא אכן, כפי שידעתם, הוא המכפלה של האורך והרוחב ריבועי יחידה, ולכן שטח המלבן הוא אכן כפי שידעתם, המכפלה של האורך והרוחב כשהם נתונים בסנטימטרים. שש פעמים ארבע, והיחידות הן סנטימטר רבוע. אנחנו רוצים שש פעמים ארבע ריבועי יחידה על מנת לרצף את המלבן הנתון. נתבונן בדוגמא נוספת. שוב קנה המידה אינו אמיתי, אבל זה לא חשוב. יש לנו עכשיו כאן מלבן שהמימדים של הצלעות שלו הן חצי סנטימטר ושליש סנטימטר. מה שטחו? מה המשמעות של השטח שלו? כמובן שאי אפשר לרצף אותו באמצעות ריבועים ששטחם סנטימטר רבוע. הוא קטן מדי. מה אפשר לעשות? אז אפשרות אחת היא לרצף אותו באמצעות ריבועים קטנים יותר למשל באמצעות ריבועים שאורך צלעם מילימטר אבל יש גם אפשרות נוספת, שימו לב שאם אני אקח שישה מלבנים כאלה ואשתמש בהם כך, הנה עוד אחד, ועכשיו יש לנו כאן אורך של אחד סנטימטר, ואשתמש בעוד ארבעה מלבנים כאלה, כולם זהים זה לזה, אקבל גם כאן אחד סנטימטר וכך אנחנו מגלים שנחוצים שישה מלבנים, שאת שטחם רצינו לקבוע, על מנת לרצף ריבוע ששטחו סנטימטר רבוע. ומכאן אנחנו מסיקים ששטחו של המלבן הנתון הוא שישית של סנטימטר רבוע. שטח המלבן הנתון, הוא היה פה, שווה לשישית סנטימטר רבוע. שימו לב שפעם נוספת השישית הזאת היא מכפלת הצלעות, כשאלו נתונים ביחידות של סנטימטר, והשטח נתון ביחידות של סנטימטר רבוע. נתבונן עכשיו בעצם גאומטרי אחר, משולש. אני לא מציין את המימדים שלו, אבל לצורך העניין נניח שאנחנו מסוגלים למדוד את הכל, את ארכי הצלעות, ארכי הזוויות, ואנחנו שואלים, מהו שטחו? אז ברור לנו שאנחנו לא יכולים לרצף משולש באמצעות ריבועים. מה כן אפשר לעשות? אז במקרה של משולש להלן פתרון אפשרי. אם ניקח את אחד הקודקודים שלו, למשל את הקודקוד הזה, ונעביר דרכו ישר שמקביל לצלע שנגדית לאותו קודקוד, כך, וכעת נעלה אנכים משני הקודקודים האחרים אל אותו ישר מקביל שהעברנו אנכים משני הקודקודים האחרים אל אותו ישר מקביל ישר שהעברנו כך נקבל מלבן, ושטח של מלבן אנחנו הרי כבר יודעים לחשב מתוך המימדים שלו, ועתה הנה אנחנו נעביר מכאן, מאותו קודקוד, אנך לצלע הנגדית, נשים לב שחילקנו את המלבן שיצרנו לשני תת מלבנים שכל אחד מהם מחולק על ידי אחת מצלעות המשולש לשני משולשים וקל להשתכנע שהמשולש הזה חופף למשולש הזה והמשולש הזה חופף למשולש הזה, ומכאן שהמשולש הזה תופס חצי מהשטח של המלבן הזה, והמשולש הזה תופס חצי מהשטח של המלבן הזה ובסך הכל המשולש שאת שטחו רצינו לקבוע שווה למחצית שטח המלבן שיצרנו שתוחם את המשולש ואת שטח המלבן אנחנו הרי יודעים. אפשר למשל לבטא אותו כאורך הצלע הזאת. אנחנו קוראים לזה לפעמים הבסיס של המשולש כפול אורכה של הצלע הזו ששווה גם לאורך האנך שהעברנו, ומכאן קיבלנו את אותה נוסחא מפורסמת עוד מימי בית ספר יסודי ששטח המשולש הוא מחצית מכפלת בסיס המשולש והאנך לאותו בסיס. כאמור חישוב שטחים של מלבנים, ריבועים, משולשים זה דבר שהכרתם כבר לפני שנים, אבל הייתי רוצה להסב את תשומת לבכם לכמה עקרונות חשובים של מושג השטח שאתם מכירים אותם, אם כי ייתכן שמעולם לא ציינו אותם במפורש באזניכם. תכונות מאפיינות של מושג השטח: התכונה הראשונה היא ששטח זה מדד לגודל של צורות דו מימדיות של משטחים ושטח של צורה, שטח של משטח הוא מספר חיובי. שטח של צורה דו מימדית הוא חיובי התכונה השנייה, עשינו בה שימוש כאן, כשדיברנו על שטחו של המשולש, היא שאם שתי צורות גיאומטריות הן חופפות, אז יש להן את אותו שטח. לצורות חופפות אותו שטח. והתכונה השלישית, שגם בה עשינו שימוש כאן, היא שאם צורה גיאומטרית דו מימדית מורכבת, כן, כאיחוד של כמה צורות, הרי ששטחה הוא סכום הצורות שמרכיבות אותה. סכום שטחי הצורות המרכיבות אותה. אז, שטחה של צורה דו מימדית, אובייקט גיאומטרי דו מימדי, היא סכום שטחי צורות שמרכיבות אותה. ואני ממליץ לכם לחזור ולהתבונן באופן שבו... פיתחנו ביטוי עבור שטחו של משולש ולשאול את עצמכם בדיוק היכן עשינו שימוש באותן תכונות מאפיינות של מושג השטח. נתבונן עכשיו בשטח של עוד צורה גאומטרית שמוכרת לכם מימי בית ספר יסודי: העיגול. לפנינו עיגול תחום על ידי מעגל, רדיוסו שוב, קנה המידה אינו אמיתי, סנטימטר אחד. ואנחנו שואלים מהו שטחו של העיגול. קודם כל ברור לנו שלא נוכל לרצף את העיגול הזה באמצעות ריבועים. כמו כן, להבדיל מהמשולש ששם הצלחנו לקשר את שטחו לשטח של מלבן, במקרה זה לא נוכל לרבע או למלבן את העיגול הזה בשום צורה שהיא. ובכן נשאלת השאלה, מה המשמעות בכלל של שטחו של עיגול? בואו נראה מה אפשר לומר, דבר ראשון נשים לב כן, אם נסמן ב-S את שטחו של העיגול ביחידות של סנטימטר רבוע נשים לב שאפשר להכיל בתוך העיגול ריבוע ששטחו סנטימטר רבוע ייתכן שכדי שתשתכנעו שזה באמת נכון ואני שאני לא מרמה אתכם באמצעות איורים לא מדויקים אפשר להכיל בתוך העיגול ריבוע של סנטימטר רבוע ומכאן אם נתבונן בעקרונות הכתובים כאן, ששטחו של העיגול שווה לשטחו של אותו ריבוע ועוד השטח של חלקו של העיגול שאינו מכוסה על ידי הריבוע וזה כאמור חיובי ומכאן אנו מסיקים ששטחו של העיגול גדול משטחו של ריבוע היחידה שתחום בתוכו. ולכן שטח העיגול בהכרח גדול מסנטימטר רבוע אחד. מה עוד אפשר לומר? נשים גם לב, זהו סנטימטר, זהו סנטימטר ומכאן שנוכל להעביר כאן באופן הזה ריבוע של סנטימטר רבוע. בואו נמחוק את הריבוע הזה ואם עכשיו נחזור על אותה בנייה גם כאן, גם כאן וגם כאן הרי שקיבלנו שהעיגול ששטחו לא ידוע מוכל בתוך ארבעה ריבועי יחידה. ומכאן ששטחו קטן מארבעה, שטחו של העיגול קטן מארבעה סנטימטר רבועים. שימו לב אנחנו עדין לא יודעים מה שטחו של העיגול אז אנחנו כבר מסוגלים לקבוע שהוא גדול יותר משטח מסוים סנטימטר רבוע וקטן יותר משטח אחר, ארבעה סנטימטרים רבועים. האם נוכל לדייק עוד יותר בקביעת שטחו של העיגול? ובכן כן. למשל אפשר לתחום בתוך העיגול משושה. כיצד? ניקח את אחד הרדיוסים, למשל את זה נצא בזווית של 60 מעלות ממנו כך. שימו לב הזווית הזו 60 מעלות, המשולש פה שווה שוקיים, לכן גם הזוויות האלה 60 מעלות והוא משולש שווה צעלות ומכיוון 60 מוכל 6 פעמים ב-360 מעלות הרי שאפשר ליצור 6 משולשים כאלה, אפשר ליצור בעצם משושה אנחנו תחמנו בתוך העיגול משושה. לכן שטחו של העיגול גדול משטח המשושה הכלוא בתוכו. מהו שטחו של המשושה? אז זה יהיה 6 פעמים שטח של אחד המשולשים. זהו משולש כאמור שווה צלעות כל אחת מצלעותיו אורכה סנטימטר אחד, כי זה הרדיוס. קל לחשב, אני ממליץ שתעשו זאת ששטחו של כל אחד מהמשולשים האלה הוא שורש 3 חלקי 4 סנטימטרים רבועים מכיוון ש-6 פי שישה אם נחשב כמה הם 6 פעמים שורש 3 חלקי 4 נגלה שהתשובה היא בקירוב 2.598 ומכאן אנחנו מסוגלים לקבוע עכשיו בצורה מדויקת יותר או לתחום את שטחו של העיגול אנחנו יכולים לומר עכשיו ששטח העיגול הוא גדול מ-2.598 זה שטח המשושה ועדין קטן מ-4. אפשר להמשיך בדרך זאת. למשל אפשר אם נסמן כאן רבע סנטימטר נגלה שהריבוע הזה ששטחו 1 חלקי 16 סנטימטר רבוע, אם נוריד אותו עדין נקבל צורה שהעיגול מוכל בתוכה ונוכל כמובן לחזור על זה באופן סימטרי ב-4 הפינות לא קשה לחשב מהו אותו שטח שהוצאנו עכשיו מהצורה החוסמת את העיגול שלנו ואם נעשה זאת נגלה שבמקום 4 אפשר לתחום מלמעלה את שטחו של העיגול על ידי 3.75 סנטימטרים רבועים. מה שאני מעביר פה זה רעיון שאפשר עכשיו להמשיך, אפשר להמשיך ולהגדיל את הצורה שחסומה בתוך העיגול באמצעות צורות ששטחן הולך וגדל ושאת שטחן אנחנו מסוגלים לחשב. למשל אפשר להמשיך ולהוסיף משולשים או מלבנים בתוך העיגול, אנחנו יודעים הרי לחשב את שטחם. וכך לקבל סדרת מספרים הולכת וגדלה שכולם קטנים משטח העיגול שאותו אנחנו לא יודעים באותו אופן אפשר ליצור סדרה של צורות גאומטריות שכולן שכולן מכילות את העיגול ולכן שטחן גדול משטח העיגול ששטחן הולך וקטן. אם היינו ממשיכים לעשות את התהליך הזה היינו מגלים שקיים מספר אחד ויחיד, יש לו שם, אנחנו קוראים לו פאי ששווה בקירוב שווה בקירוב זהו מספר אירציונאלי ל-3.14159 אבל זהו מספר אירציונאלי שהתכונה שלו היא שהוא גדול משטחן של כל הצורות האפשריות שמוכולות בתוך העיגול והוא קטן משטחן של כל הצורות האפשריות שהעיגול מוכל בתוכן. המספר הזה הוא המספר שאנחנו מזהים בתור שטח העיגול עכשיו שימו לב שהתחלנו במושג השטח באמצעות מושג של ריצוף. במקרה זה אנחנו לא מסוגלים לרצף את העיגול באמצעות צורות בסיסיות ששטחן הן יחידות המידה שלנו ולכן היינו צריכים להשתמש כאן ברעיון שנקרא שיטת מיצוי שבה אנחנו קובעים ששטחה של צורה גאומטרית היא מספר שגדול משטחן של כל הצורות שאותן אנחנו כן מסוגלים לבטא את גודלן שחסומות בתוכה וקטן משטחן של כל הצורות שהוא חסום בתוכן. מה שקבענו עכשיו אם כן זה ששטחו של עיגול שרדיוסו 1 סנטימטר הוא פאי סנטימטרים רבועים. כאמור פאי הוא מספר אי רציונאלי אנחנו מסוגלים לקרב אותו לכל רמת דיוק שתרצו. הרבה מאוד פעמים מקובל לקטום את הקירוב שלו בספרה השניה ולומר שהוא שווה בקירוב ל-3.14 לצרכים הנדסיים בדרך כלל נזדקק לדיוק הרבה יותר גבוה. ויש גם אנשים שמסוגלים לזכור בעל פה מיליון ספרות של פאי אחרי הנקודה העשרונית. מה לגבי שטחו של עיגול שרדיוסו אינו סנטימטר 1 אלא למשל 2 סנטימטר או R סנטימטרים. להלן עיגול בואו נניח שאנחנו יודעים שרדיוסו R סנטימטרים מהו שטחו? אם ניזכר בשיעור שלנו על משפט פיטגורס, הזכרנו אז את העובדה שכשאנחנו מגדילים צורה גאומטרית דו מימדית, פי 2 שטחה גדל פי 4 ואם אנחנו מגדילים אותה פי 3 שטחה גדל פי 9 ואם אנחנו מגדילים אותה פי R שטחה גדל פי R בריבוע. ומכיוון ששטחו של מעגל שרדיוסו סנטימטר 1 הוא פאי הרי שאנחנו יודעים שאם הרדיוס אינו סנטימטר 1 אלא R סנטימטרים הצורה כולה הוגדלה. פי R הרי שהשטח יגדל פי R בריבוע מקבלים מכאן את אותה נוסחה מפורסמת ששטחו של עיגול שרדיוסו R סנטימטרים הוא פאי R בריבוע סנטימטרים רבועים. הייתי רוצה אבל לשכנע אתכם בנכונות העובדה הזאת גם בדרך אחרת אוקי, אם נתבונן באותו עיגול שרדיוסו R ולצידו ריבוע שאורך צלעו R סנטימטר אנחנו יודעים ששטחו של הריבוע הוא R בריבוע סנטימטרים רבועים. עכשיו נוכל למעשה לחזור באמצעות העיגול הזה, זה הריבוע הזה, על כל התהליך שעשינו כשהרדיוס היה שווה סנטימטר 1 למשל נוכל להשתכנע ששטח הריבוע גדול מ-R בריבוע סנטימטרים רבועים על ידי כך שאנחנו נקח את אותו ריבוע ונשים אותו בתוך העיגול. ובאותו אופן נוכל להשתכנע ששטחו של העיגול קטן מארבעה R בריבוע סנטימטרים רבועים על ידי כך שנקח 4 ריבועי יחידה כאלה וכפי שעשינו קודם אנחנו נתחום את העיגול בתוכו. נשים לב שנוכל לחזור על כל השלבים האלה, לאחר מכן, המשושה והקטימה ונקבל תמיד את אותה סדרת שטחם שהולכת וגדלה, הולכת וקטנה הם יהיו בדיוק אותם השטחים כפי שהם היו כשהרדיוס היה סנטימטר 1 עד כדי פאקטור ניפוח, פאקטור כפלי של R בריבוע ומכאן אנחנו משתכנעים שבאמת שטחו של עיגול שרדיוסו R סנטימטרים הוא פאי R בריבוע סנטימטרים רבועים. עד כאן על מושג השטח במשמעות זו בשיעור הבא אנחנו נקשר את מושג השטח למושג הגיאומטריה אנליטית ונראה איך שטח של צורות גיאומטריות מבוטא באמצעות מושגים מתורת הפונקציות.
