שלום! בשיעור שעבר אנחנו חישבנו אינטגרל של פונקציה מסוימת של פונקציה ריבועית. באמצעים שהיו קיימים למתמטיקאים כבר לפני מעל 2000 שנה אנחנו חישבנו את האינטגרל אני אזכיר בין הנקודה אפס לנקודה B כלשהי של הפונקציה הריבועית F של X שווה X בריבוע. כן נוכל לכתוב זאת כך, ראינו שזה שווה ל-B בשלישית חלקי 3, כך והדגשתי את העובדה שהיכולת שלנו לחשב את אותו אינטגרל היתה נעוצה בעובדה שידענו במקרה הזה לחשב סכומים ריבועיים של מספרים טבעיים עוקבים. כן, ידענו להביע את זה בצורה מפורשת. אם לא היינו יודעים לעשות זאת לא היינו יכולים להגיע לאותה תוצאה. השאלה היא, כן, אז זה היה שווה ל-N חלקי 6. N ועוד 1 שני N ועוד 1. זה היה כלי שבלעדיו לא היינו יכולים לקבל את התשובה המפורשת הזו. השאלה היא מה לעשות כשיש לנו פונקציה כללית? כלשהי, F של X. אנחנו עדין מתבוננים בשלב זה מסיבות של נוחות בלבד בפונקציות שאינן שליליות. אז למשל יש לנו פה גרף של פונקציה F של X הנקודה A הנקודה B. מה אפשר לומר על השטח הזה? אותו שטח שאנחנו מבטאים כאינטגרל של F של X בין A ו-B. מה אפשר לומר על השטח הזה, על האינטגרל הזה. בהרבה מאוד מקרים כשאנחנו רוצים לפתור בעיה שאנחנו לא יודעים לפתור אנחנו ניגשים להתבוננות במקרה פרטי ומנסים ללמוד ממקרה פרטי. במקרים אחרים דווקא ההפך מסתבר כמועיל יותר, לשאול שאלה עוד יותר כללית. ודרכה להגיע לפתרון לשאלה הפרטית שמעניינת אותנו וזה מה שנעשה במקרה זה. אני אעתיק את הציור שוב מטעמי נוחות הנה ציר ה-X. יש לנו פונקציה כלשהי F של X זו הנקודה A ואנחנו רוצים לחשב את השטח שכלוא בין גרף הפונקציה לבין ציר ה-X בין X שווה A ל-X שווה B. וכשאני אומר שאנחנו נשאל שאלה עוד יותר כללית, מה שאני מתכוון לומר שבמקרה זה נגיד אוקי, אנחנו רוצים לדעת מה השטח עד B אבל בואו נשאל שאלה כללית יותר. נאפשר לגבול הימני של האינטגרל להיות בעצמו משתנה. בוא ניתן לו שם נקרא לו Z. ה-B הזה עכשיו הופך ל-Z. ואותיות לא כל משנות אבל מה שאני מנסה לבטא דרך השינוי סימון הזה, זה שאני רוצה לחשוב עכשיו על הגבול הזה פה, לא כעל פרמטר קבוע, אלא כעל משתנה בעצמו. אז נקרא לגבול הזה עכשיו Z. והוא משתנה. אני אשנה זאת גם פה. ובעצם בהינתן הפונקציה F אנחנו עכשיו יצרנו פונקציה חדשה. שבהינתן Z מחזירה את השטח שכלוא בין הגרף של הפונקציה F לבין הצירה-X בין X שווה A לבין X שווה Z המשתנה החדש שלנו. אז זו פונקציה שהיא פונקציה של המשתנה עכשיו הבלתי תלוי, Z. וניתן שם לפונקציה הזאת, והשם יהיה, גם כן נקרא לה F אבל F גדולה. זו הגדרה של F גדולה. ובשלב זה אם צריך לדון כמובן בכל פונקציה בתחום ההגדרה, בשלב זה תחום ההגדרה של אותה F גדולה יהיה בין A לבין ערכים שנמצאים גם בתחום ההגדרה של אותה F קטנה, כך שאפשר יהיה לדבר על השטח שכלוא מתחת לגרף של הפונקציה. אני לא אכתוב זאת מפורשות אבל הרעיון אני מקווה ברור בציור. כל עוד F קטנה מוגדרת מימין לנקודה A אז אפשר גם לדבר על F גדולה כי יש שטח שכלוא שם. שימו לב, F קטנה הפונקציה שאת האינטגרל שלה אנחנו רוצים לחשב היא אינה פונקציה ספציפית. נתונה אנחנו שואלים שאלה כללית כרגע, על חישוב אינטגרלים. אז גם F גדולה אינה פונקציה ספציפית, היא פונקציה שמתאימה ל-F הקטנה. אנחנו, בהינתן ה-F הקטנה אולי נרצה לדעת מהי ה-F הגדולה. ועכשיו אנחנו נתחכה בעקבות תגלית שהתגלתה במאה ה-17 למעשה על ידי שני אנשים באופן בלתי תלוי, האחד מהם הוא מתמטיקאי הפיזיקאי האנגלי: ניוטון. אייזיק ניוטון. והשני הוא המתמטיקאי, הגרמני, לייבניץ. ששניהם הם אבות החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. והתגלית המאוד מפתיע בסופו של דבר היתה שקיים קשר הדוק בין האינטגרל ואותה פונקציה F גדולה של Z שזה עתה הגדרנו לבין מושג הנגזרת שאותו פגשנו בשיעורים קודמים. בואו נשאל את השאלה הבאה. האם אנחנו מסוגלים לומר משהו על הנגזרת? של הפונקציה F גדולה. אוקי, יש לנו פונקציה אנחנו הגדרנו אותה באמצעות שטח, האם אפשר לומר משהו על הנגזרת שלה? אז אולי עוד לפני כן מה, מה כן אפשר לומר על הפונקציה F גדולה? דבר ראשון שימו לב שכשהמשתנה הבלתי תלוי הוא Z הולך ומתקרב אל הערך A השטח שכלוא מתחת לגרף הפונקציה F הולך וקטן כש-Z יהיה שווה ממש ל-A לא יהיה שטח בכלל. ומכאן שאותה F גדולה מקיימת את התנאי שהערך שלה בנקודה A חייב להיות אפס. שימו לב שהזהות הזאת נכונה תמיד ללא קשר במי היא הפונקציה שאת האינטגרל שלה אנחנו מחשבים. הדבר השני שנשים לב זה שאם F היא חיובית ובשלב זה אנחנו מניחים ש-F קטנה היא פונקציה חיובית אוקי, אז ככל ש-Z גדלה יותר יש יותר שטח שכלוא מתחת לגרף הפונקציה ולכן הפונקציה F גדולה תהיה פונקציה עולה. המגמה שלה היא מגמת עליה, ככל שאנחנו מגדילים את המשתנה הבלתי תלוי Z ערכו של F של Z יגדל. F של Z היא פונקציה עולה. המושג של פונקציה עולה אם כן נוגע למגמה של פונקציה ולהזכירכם מושג הנגזרת קשור הדוקות במושגים של מגמה של פונקציה כן, נגזרת של פונקציה בין אם היא חיובית או שלילית בעצם אומרת לנו כמה מהר פונקציה עולה או יורדת תלוי בסימן הנגזרת כשאנחנו משנים את ערכו של המשתנה הבלתי תלוי אז אנחנו כבר פה רואים ניצנים לעיסוק במושג הנגזרת של הפונקציה F גדולה פונקציית השטח. נזכיר שההגדרה של נגזרת של הפונקציה F גדולה, כן אם אני רוצה לחשב את הנגזרת נגזרת של הפונקציה F גדולה מה שעלי לעשות זה לשנות במעט את הערך של המשתנה הבלתי תלוי Z כן, נתבונן בפונקציה F לא ב-Z אלא ב-Z ועוד קצת, נסמן את העוד קצת הזה ב-H נראה בכמה הפונקציה, אה סליחה נקרה בכמה השתנתה הפונקציה הזאת בין הערך שהיה לה ב-Z לבין הערך שהיה לה ב-Z ועוד H ונחשב את היחס בין השינוי בין ערכי הפונקציה בין שתי הנקודות לבין השינוי במשתנה הבלתי תלוי. הוא היה Z ועכשיו הוא Z ועוד H המכנה שווה פשוט ל-H אבל אני כותב זאת כך כדי להדגיש את העבודה שיש לנו יחס בין מידת השינוי של המשתנה התלוי ומידת השינוי של המשתנה הבלתי תלוי כש-H הולך וקטן לאפס. בכתיב פורמלי אנחנו אומרים שהנגזרת שווה לגבול LIM מלשון גבול Limit של המנה שכתובה כאן כש-H הולך ושואף לאפס. בואו נשאל את עצמנו עוד לפי שנקח את הגבול מה אפשר לומר על המנה הזאת במקרה שלפנינו כש-F מוגדרת באופן הבא. בואו נעתיק פשוט את מה שכתוב כאן, אז יש לנו F של Z ועוד H פחות F של Z מחולק ב-Z ועוד H פחות Z אז כאמור המכנה שווה פשוט ל-H נכתוב כאן H. מהו המונה? המונה מהי F של Z ועוד H? זה האינגרל שכלוא מתחת לגרף הפונקציה F, בין הנקודה A לנקודה Z ועוד H והשטח הזה כן, השטח שמתחת לפונקציה F של X בין A ל-Z ועוד H ומזה אנחנו מחסרים את השטח שכלוא מתחת לגרף הפונקציה עד לנקודה Z אבל יש לנו פה הפרש של שטחים. הפרש בין השטח הזה, לבין השטח הזה. מהו אותו הפרש? זה השטח הזה, באותה רצועה שנוספה כשהגדלנו את המשתנה הבלתי תלוי מ-Z ל-Z ועוד H השטח הזה הוא גם כן אינטגרל של הפונקציה F אבל לא בין A למשהו, אלא בין Z ל-Z ועוד H אם כן המונה אפשר לכתוב אותו בתור אינטגרל בין Z ל-Z ועוד H של הפונקציה F של X הבא ונעתיק את מה שכתוב כאן לכאן, הנגזרת של F גדולה בנוקדה Z שווה ל אני אכתוב זאת כך, 1 חלקי H כפול האינטגרל בין Z לבין Z ועוד H של F של DX X כאשר H, המרווח הזה עולה הולך ושואף לאפס. בואו נבדוק האם אנחנו מסוגלים לחשב ממש את הגבול הזה. בואו נתבונן רגע בביטוי שכתוב כאן, כן זהו אינטגרלף זה שטח השטח שכלוא מתחת ל-F בין שתי הנקודות האלה, השטח שמסומן כאן באדום. מה אפשר לומר עליו? אז, נחזור על הרעיון שהפעלנו כשהסכלנו על דרכו של ארכימדס לחשב את השטח מתחת לפרבולה. אנחנו לא יודעים על פניו מהו השטח הזה, אבל אנחנו כן יודעים שהוא גדול יותר מהשטח הזה, כלומר כשאני אומר השטח הזה אני מתכוון לקחתי את הערך הקטן ביותר שהפונקציה F מקבלת באותו מקטע ויצרתי באמצעותו מלבן. שטח המלבן הזה אינו יותר גדול מהשטח שכלוא מתחת ל-F. לכן האינטגרל הזה, בין Z ל-Z ועוד Z ועוד F, X של DX X אינו יותר קטן, הוא גדול או שווה מערך המקסימלי ש-F מקבלת במקטע הזה כפול רוחב המקטע, כלומר H פעמים הערך המינמאלי, סליחה, הערך המינמאלי ש-F מקבלת ש-F של X מקבלת כש-X נע בין Z ל-Z ועוד H ובואו אופן בדיוק השטח הזה אינו יותר גדול מהמלבן הזה שמתקבל מהערך המקסימלי ש-F מקבלת כפול רוחב המלבן אז באותה מידה קטן שווה מ-H פעמים הערך המקסימלי ש-F מקבלת כש-X נע בין Z ל-Z ועוד H. שימו לב, שבשני הצדדים שלאי שיוויונות הללו יש לי ביטוי שמוכפל ב-H כאן יש לי 1 חלקי H לכן אם אני עכשיו אכפול ב-1 חלקי H אלה יתבטלו כלומר יהיו שווים ל-1 ובזאת נקבל כולל ה-1 חלקי H, ה-1 חלקי H האינטגרל בין Z בין Z ל-Z ועוד F, H של DX X קטן שווה מהערך המקסימלי ש-F של X מקבלת בקטע וגדול שווה מהערך המינמאלי ש-F של X מקבלת באותו קטע. ועכשיו אנחנו מתעניינים בביטוי הזה כש-H הולך ושואף לאפס עכשיו הביטוי הזה בינתיים לא ידוע אבל הוא חסום בין שני ערכים האם אפשר לומר עליהם משהו כש-H שואף לאפס? כש-H שואף לאפס הקטע Z עד Z ועוד H הולך ומצטמצם, מתכווץ כך שבסופו של דבר הוא יכלול רק את הנקודה Z אם הפונקציה F היא פונקציה מספיק יפה ופה הכוונה ב״יפה״ אני אומר זאת מפורשות רציפה כשגם בלי להגדיר זאת מפורשות הכוונה היא שכשאני משרטט את הגרף שלה אני לא מרים את הגיר תוך כדי אלה הכל מושגים שתלמדו עליהם בהרחבה בלימודים באוניברסיטה אבל אני חושב שלפחות האינטואיציה פה צריכה להיות ברורה אז כש-H שואף לאפס הערך המקסימלי של הפונקציה F במקטע הזה שהולך וקטן בסופו של דבר שואף ל-F בנקודה Z ובדיוק באותו אופן כש-H שואף לאפס מכיוון שהקטע הולך ומתכווץ כך שבסוף נשארת רק הנקודה Z גם הערך המינימאלי הולך ושואף לאותוה F של Z ועכשיו שימו לב, יש לי פה ביטוי שחסום מלמעלה על ידי ביטוי אחר שכש-H הולך לאפס הביטוי שחוסם מלמעלה הולך ושואף ל-F של Z וגם הביטוי הלא ידוע הזה חסום מלמטה על ידי ביטוי שגם הוא הולך ושואף ל-F של Z כש-H הולך לאפס ומכאן אנחנו מסיקים שהביטוי שכתוב כאן באמצע גם כן ילך וישאף ל-F של Z כש-H שואף לאפס. הגבול של הביטוי שכתוב כאן הוא בדיוק הנגזרת של פונקצית השטח ה-F הגדולה ובזאת אנחנו עכשיו למעשה פיתחנו, אני לא אומר הוכחנו כי לא היתה באמת פה הוכחה פורמאלית, אני רק מקווה ששכנעתי אתכם שהפונקציה F גדולה יש לה את התכונה שבכל נקודה Z הנגזרת שלה שווה ל-F קטנה בנקודה Z הקשר הזה בין ה-F הקטנה וה-F הגדולה שמצד אחד F גדולה של Z מוגדרת כשטח שכלוא מתחת לגרף הפונקציה F קטנה בין ערך מסוים A לבין Z המשתנה הבלתי התלוי ומצד שני ה-F הקטנה היא הנגזרת של ה-F הגדולה קשרים הדדיים בין זוג הפונקציות הללו הקשר הזה נקרא: המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי מה שהקשר הזה מספר לנו זה שפונקצית השטח ה-F הגדולה היא פונקציה שהנגזרת שלה היא ה-F הקטנה לפונקציה שהנגזרת שלה היא, נקראת הרבה פעמים אנטי נגזרת. ההיפוך של נגזרת. F גדולה נקראת האנטי נגזרת של ה-F הקטנה כי הנגזרת של ה-F הגדולה היא F קטנה. אוקי. F נקראת אנטי נגזרת של F קטנה אני שם זאת במרכאות המינוח היותר מקובל בקבילה המתמטית היא לא אנטי נגזרת, אלא פונקציה קדומה. שימו לב שאם F היא אנטי נגזרת של F קטנה היא לא הפונקציה היחידה שהיא אנטי נגזרת של F קטנה אנחנו יודעים שכל הוספת קבוע לפונקציה לא משנה את הנגזרת שלה לכן אי אפשר לדבר על האנטי נגזרת, בה׳ הידיעה כי יש אין סוף כאלה אבל בואו נזכר ש-F גדולה אינה סתם אנטי נגזרת של F קטנה היא אנטי נגזרת שבנוסף להיותה אנטי נגזרת של F גם מקיימת את התנאי של F של A שווה אפס. המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי הוא כלי מאוד, מאוד חזק. לחשב באמצעותו אינטגרלים כלומר שטחים. אם אנחנו יודעים כבר מהי נגזרת. בואו בתור דוגמה ראשונה לשימוש בו נחזור לדוגמה שהעסיקה אותנו בשיעור שעבר חישוב שטח מתחת לפרבולה. רצינו לחשב את השטח שמתחת לפרבולה F של X שווה X בריבוע בין אפס לבין איזושהי נקודה B את השטח הזה, האינטגרל בין אפס ל-B ו-X בריבוע DX נכתוב F של X DX ופשוט נזכור ש-F של X היא X בריבוע. מה שראינו עכשיו זה שהדרך לעשות זאת זה להגדיר פונקציה F של Z ששווה לאינטגרל מאפס ועד Z עכשיו של F של X DX וגילנו שמובטח לנו שהנגזרת של אותה F היא F קטנה ששווה ל-Z בריבוע עכשיו אנחנו יודעים מהן הפונקציות שנגזרתן הן Z בריבוע אין רק אחת כזאת כאמור, כל פונקציה מהצורה Z בשלישית חלקי 3 ועוד קבוע תהיה לה את התכונה שהיא אנטי נגזרת של הפונקציה הריבועית נגזרת היא הפונקציה הריבועית אבל מה ניתן לומר על אותו קבוע C אנחנו יודעים שכשמציבים במקרה שלנו ה-A הוא אפס. כאשר מציבים Z שווה לאפס, F של Z צריכה להיות אפס. אם מציבים כאן אפס כדי ש-F של אפס תהיה אפס, הקבוע הקבוע C חייב בעצמו גם כן להיות אפס. ומכאן אנחנו יכולים לקבוע שהוא שווה לאפס, לכן זו הפונקציה F של ZZ בשלישית חלקי 3. ועכשיו אם מה שבאמת עניין אותנו זה לחשב את השטח עד לאותו פרמטר B כל שנשאר לעשות זה להציב כן, האינטגל בין A ל-B של F של X DX הוא F של B, אבל F עכשיו ה-F גדולה פונקציה ידועה ו-B בשלישית חלקי 3 בדיוק כפי שארכימדס קיבל בחישוב המאוד מפורט שעבד לאותו מקרה אבל לא עבד למקרה כללי. עכשיו שיש לנו כלי חזק שבאמצעותו אנחנו יכולים לחשב אינטגרלים של הרבה מאוד פונקציות אנחנו נראה בשיעור הבא איך לעשות זאת באופן שיטתי.
