בפרק הבא אנחנו נעסוק במפגש בין פונקציות טריגונומטריות ובמספרים מרוכבים לפונקציות טריגונומטריות תחילה קוסינוס וסינוס מאפשרות לנו לתאר תופעות מחזוריות למשל כמו המעגלית כמו של מטוטלת כמו של קפיץ ועוד, נציג את הפונקציות באמצעות תנועה על מעגל, אז ראשית השחקנית נחשוב על תנועה של נקודה על מעגל ונציג את התופעה הזו על מישור הקרטזי ,להזכירכם מעגל מוגדר כעל אוסף נקודות במישור אשר מרחקם מנקודה הראשית שווה לאיזה שהוא קבוע נזכיר לעצמנו כפי שכבר ראינו את נוסחת המרחק במישור הקרטזי בהינתן שתי נקודות P עם קואורדינטות X ו-Y P תג עם נקודות עם קואורדינטות X Y תג כפי שכבר ראינו המרחק בין P ל-P תג נתון על ידי הנוסחה הבאה לוקחים את ההפרש הקואורדינטות הראשונות ולוקחים את הריבוע לוקחים את ההפרש בין שתי הקואורדינטות השניות לוקחים את הריבוע ומחברים ולוקחים את השורש הרבועי במקרה המיוחד שהנקודה השניה היא הראשית עם קואורדינטות אפס אפס אז המרחק של נקודה כל שהיא במישור הקרטזי לראשית יהיה נתון על ידי הנוסחה הבאה, המקרה הזה X תג ו-Y תג שווים לאפס אז נקבל את הנוסחה שורש של X בריבוע ועוד Y בריבוע באמצעות כלי אנחנו נוכל כלי זה להציג את מה שנכנה מעגל היחידה, מה יהיה מעגל היחידה? אוסף כל הנקודות במישור שהמרחק שלהם מהראשית שווה לאחד מה הוא התרגום של מרחק של נקודה מהראשית שווה לאחד הרי השורש הרבועי של X בריבוע ועוד Y בריבוע שווה לאחד או במילים אחרות אם נעלה את שני הגפים בריבוע נקבל את התנאי שהוא למעשה שקול לו כי אנחנו עוסקים במספרים חיוביים ש-X בריבוע ועוד Y בריבוע חייב להיות שווה לאחד במילים אחרות נוכל להציד את מעגל היחידה כאוסף כל הנקודות במישור עם קואורדינטות X Y כך שסכום ריבועי הקואורדינטות שלהן שווה לאחד אם נשרטט את הציור של המעגל הזה נוכל לקבל ציור כפי שנראה עכשיו נתאר תנועה של נקודה על המעגל בואו ניזכר איך אנחנו יכולים לתאר נקודה של תנועה על ישר אם אנחנו רוצים לתאר את מיקומה של נקודה על ישר, ישר קרטזי מה שאנחנו עושים זה ראשית בוחרים נקודה על תקן או בתפקיד של ראשית, נקודה אחרת בתפקיד של יחידה, עכשיו בהנתן נקודה כל שהיא על הישר אנחנו יכולים לתאר אותה באמצעות המרחק מהראשית במונחים של אורך הקטע שמחבר בין הנקודה של הראשית לנקודת היחידה, בהינתן זוג של נקודות על הישר אנחנו יכולים להסתכל על המרחק בין שתי הנקודות האלה והבה נזכיר כמה תכונות של המרחק קודם כל המרחק בדומה למדידות של אורך ושטח הוא מספר שהוא תמיד גדול או שווה אפס ,לא רק זה מתי המרחק בין שתי נקודות על הישר שווה לאפס? זה רק כאשר אפס בקטן שתי הנקודות מתלכדות. ועוד תכונה שבהינתן נקודה נוספת בהנחה ש-Q נמצאת בין P לבין R המרחק בין P לבין R הוא סכום במרחקים בין P ל-Q ובין Q לבין R אנחנו נבצע פעולה דומה על מעגל היחידה אנחנו נבחר כראשית את הנקודה A עם קואורדינטות אחד אפס ונדמיין שנקודה שלנו מטיילת על המעגל ונתאר אותה באמצעות המרחק שלה לנקודה A ,אז איך נעשה זאת אם P ו-Q הן שתי נקודות על מעגל היחידה ,נניח ש-P מקדימה את Q כשנוסעים בכיוון החיובי הכיוון החיובי הוא נגד כיוון השעון אז נסמן ב-P חץ הולך ל-Q הקשת שמחברת בין P לבין Q אם יש לנו כאן את P ויש לנו כאן את Q אז כוונה היא לקשת מחברת בין P לבין Q לקשת כזו אנו נייחס מספר המספר הוא ימדוד את האורך של הקשת בצורה הדומה שהמרחק על הישר בין שתי נקודות מודד את המרחק, בין שתי הנקודות על ישר, אנחנו נאמץ לעצמנו את התכונות הבאות בדומה לישר המספר הזה יהיה מספר גדול או שווה אפס. יתר על כן מתי אנחנו נאמר שהמרחק הזה שווה לאפס בדיוק כמו שהיה בישר אם ברכים נקודת ההתחלה מתלכדת עם הנקודה בסוף ונניח יש לנו נקודה נוספת על הישר על המעגל שבאה לאחר Q שהיא בעצמה באה לאחר P כשנעים על מעגל היחידה בכיוון החיובי, אז המרחק על המעגל בין P לבין R ניתן יהיה לכתוב אותו כסכום של שני מרחקים. המרחק מ-P ל Q ועוד המרחק מ-Q ל-R בבואנו לתאר את המרחק על המעגל בין A לבין P, אנו יכולים לדמיין שאנחנו מעבירים חוט שתחילתו ב A מטייל עד שמגיע לנקודה P אנחנו לוקחים את החוט הזה מישרים אותו ומודדים את המרחק על הישר באופן נאיבי זה בעצם מה שאנחנו עושים אלא מה שבנייה של תורה מדויקת שמאפשרת זו נשענת על תורת האינטגרציה בדומה של תורה של מדידה של שטחים אנו נניח שבצורה מסוימת יודעים לעשות נניח שיש לנו עכשיו איזו שהוא גודל חיובי או אפס נעמוד על הנקודה A על מעגל היחידה ונטייל T יחידות של אורך עד אנחנו נגיע לנקודה P שמתאימה ל-T כך ש מיצינו T יחידות של מרחק. נשים לב שיתכן מאוד שאנחנו נצטרך לעקוף את מעגל היחידה יותר מפעם אחת. בואו נדגים: אם T שווה ל-0, אז לא זזנו כלל וכלל, כלומר הנקודה שמתאימה ל-0, הינה הנקודה 0,1 עצמה. נמשיך לטייל, עכשיו נזכור שהיקף המעגל בהיותו בעל רדיוס 1 הוא בדיוק פעמיים פאי. לכן, אם נטייל פאי יחידות, ננחת על הנקודה עם קורדינטות מינוס 1, 0. מה קורה אם אנחנו ניקח פאי חלקי 2 יחידות? כמובן אם המרחק מA עד לנקודה שמתאימה לפאי. פה יש לנו פאי יחידות של אורך. הנקודה שתתאים לפאי חלקי 2, היא תהיה הנקודה בעלת קורדינטות, קורדינטה ראשונה 0, קורדינטה שניה 1. מה קורה אם אנחנו נטייל פאי חלקי 4 יחידות? עכשיו בואו נפעיל איזשהו שיקול גיאומטרי יותר מפורט. הנקודה שמתאים לפאי חלקי 4 יחידות, חייבת להיות בין מה לבין מה? בין הנקודה A שהיא הראשית לבין הנקודה, נכנה אותה בשם B, שמתאימה לפאי חלקי 2. הנקודה עם קורדינטות 1,0. עכשיו נציין את העובדה הבאה, שני המרחקים על המעגל מתלכדים. לכן אם נעביר את המיתרים, הקטע AP והקטע PB, שני המיתרים האלה אורכם חייב להתלכד. במילים אחרות, המרחק בין הנקודה, ניתן לה שם, הנקודה שמתאימה לפאי חלקי 4 נכנה אותה בשם D. המרחק בין D לבין A חייב להיות שווה למרחק בין B לבין D. בואו נתרגם את זה באמצעות הנוסחאות שיש לנו. ניתן שמות לשתי הקורדינטות של הנקודה T. איי בקטן בי בקטן. אני שם לב שכתבתי כאן את הקורדינטות כמובן הלא נכונות. קורדינטה ראשונה 0, קורדינטה שנייה 1. על כן, המרחק בין D לבין A נתון על ידי שורש ריבועי של A מינוס 1 בריבוע ועוד B מינוס 0 בריבוע וכל זה חייב להתלכד עם השורש הריבועי של 0 מינוס A בריבוע 1 מינוס, 1 מינוס B בריבוע. עכשיו שימו לב כמובן הריבועים או שהשורשים שווים אם ורק אם הריבועים עצמם הם שווים,במילים אחרות A מינוס 1 בריבוע ועוד בי בריבוע, כל זה חייב להיות שווה ל-A בריבוע ועוד 1 מינוס B בריבוע. בואו נפתח מה שכתוב כאן. A בריבוע מינוס פעמיים A ועוד 1 ועוד B בריבוע, זה אגף שמאל, חייב להתלכד עם מה? A בריבוע ועוד הריבוע של הראשון מינוס פעמיים הראשון כפול השני ועוד הריבוע של השני. ונשים לב שבשני הצדדים מופיע A בריבוע, גם B בריבוע וגם ה1. על כן נסיק שמינוס פעמיים A מתלכד עם מינוס פעמיים B או במילים אחרות, A חייב להיות שווה ל-B. זה הרגע שעלינו לזכור ש-A ו-B הן קורדינטות של נקודה על מעגל יחידה. על כן, A בריבוע ועוד B בריבוע חייב להיות שווה ל1, במילים אחרות, פעמיים A בריבוע שווה ל-1, A בריבוע שווה לחצי, או A, אנחנו עוסקים בנקודה ברביע הראשון, שווה ל-1 חלקי שורש ריבועי של 2, או כידועה בציבור, שורש 2 חלקי 2, והערך הזה מתלכד עם B. על כן, הנקודה שמתאימה לפאי חלקי 4 יחידות היא נקודה עם קורדינטות שורש 2 חלקי 2, שורש 2 חלקי 2. נמשיך לטייל, בואו ניקח עכשיו, T שווה לפאי חלקי 6 יחידות. מהנקודה הזו עד לנקודה הזו יש פאי יחידות, מהנקודה A עד לנקודה B יש פאי חלקי 2 יחידות. אם אנחנו רוצים לטייל פאי חלקי 6 יחידות, אז עלינו למצוא נקודה כך שהמרחק שלה ל-A על מעגל היחידה הוא שליש המרחק בין A לבין B. למעשה, הנקודה שאנחנו מחפשים היא הנקודה הזו, ניתן לה שם, נכנה אותה בשם A. ניתן שם לקורדינטות שלה, a בקטן b בקטן. הנקודה הזו מרחקה מ-A פאי חלקי 6 יחידות. הנקודה הזו גם היא מרחקה מ-B, נכנה אותה בשם F, פאי חלקי 6 יחידות. בצורה כזו חילקנו את הקשת a b שעוברת בין E לבין F לשלושה קטעים, כך שהאורך של כל קשת הוא פאי חלקי 6. נכנה את הקורדינטות של הנקודה F בשם c d. על כן, אם נתבונן במיתרים המתאימים, עם שלושת הקשתות בעלי אותו אורך על המעגל, אז שלושת המיתרים יהיו בעלי אותו מרחק או אורך כנקודות על המישור. הבה נתרגם את התנאי הזה וניתן לגיאומטריה האנליטית לדבר. במילים אחרות נכתוב את התנאי שהמרחק בין B לבין F, מתלכד או שווה למרחק בין F לבין E, והוא שווה למרחק בין E לבין A. המאת היא שזה נוח יותר לעבוד לא עם המרחקים אלא עם המרחקים בריבוע כדי להימנע בטיפול בשורשים ריבועים. אז מהו המרחק בין B לבין הנקודה F בריבוע? זה 0 מינוס C בריבוע ועוד 1 מינוס D בריבוע. זה חייב להיות שווה למרחק בריבוע בין שתי הנקודות האלה. C מינוס A בריבוע ועוד די מינוס B בריבוע וכל זה חייב להיות שווה למרחק בריבוע בין E לבין A, במילים אחרות, A מינוס 1 בריבוע ועוד B מינוס 0 בריבוע. ועכשיו ניתן לאלגברה לעבוד. כמובן מה שכתוב כאן זה סי בריבוע ועוד אחד מינוס פעמיים, D ועוד די בריבוע כל זה חייב להיות שווה מה? C בריבוע מינוס פעמיים A C ועוד A בריבוע, ועוד D בריבוע מינוס פעמים D כפול B ועוד D בריבוע. וכל זה חייב להיות שווה מה? יש לנו פה את הריבוע של A מינוס פעמיים A ועוד אחד ועוד B בריבוע עכשיו שימו לב נזכור שגם E וגם F הן נקודות על מעגל היחידה לכן סכום ריבועי הקורדינטות שווה לאחד במילים אחרות הן A בריבוע ועוד B בריבוע שווה לאחד. ל-C בריבוע או D בריבוע שווה לאחד. אז עם כך ראו C בריבוע ועוד D בריבוע מופיע כאן גם הוא מופיע כאן זה על תקן של אחד, זה על תקן של אחד פה יש לנו את A בריבוע ועוד B בריבוע, שילך עם A בריבוע ועוד B בריבוע אבל פה מחקנו גם כן אחד נוסף אז, נוריד את האחד כאן, ונוריד את האחד כאן בצורה זו נישאר עם המשוואה, מינוס פעמיים D שווה למינוס פעמיים A פעמים C מינוס פעמיים D כפול B, וכל זה שווה למינוס פעמיים A או במילים אחרות אם נחלק במינוס 2 נקבל את התנאי הבא, D חייב להיות שווה ל-A פעמים C ועוד D פעמים B וכל זה חייב להיות שווה ל-A אז ראשית קיבלנו את העובדה הבאה ש-A חייב להיות שווה ל-D. עכשיו שימו לב שהתנאי הזה אומר לנו יותר כי מה שכתוב כאן הוא ש-A בריבוע מינוס C בריבוע חייב להיות שווה למה? סליחה. A בריבוע מינוס D בריבוע, חייב להיות שווה למה? ל-C בריבוע מינוס B בריבוע. אבל לפי מה שראינו, אם A שווה ל-D מה שמופיע כאן באגף שמאל שווה לאפס, לכן C בריבוע מינוס B בריבוע בעצמו חייב להיות שווה לאפס מכאן נסיק ש-C שווה ל-B אם נזכור שאנחנו עוסקים בקורדינטות של נקודות שכולן חייבות להיות חיובית בהיותן נקודות על, ברביע הראשון מכאן מה נוכל להסיק? בואו ניתן למשוואה הזו לדבר A כפול C ועוד, במקום D אנחנו יכולים לקחת את A עצמה ובמקום B אנחנו יכולים לקחת את C עצמו כל זה חייב היות שווה ל-A ובמילים אחרות, A פעמים או מה כתבתי כאן? כן. פעמיים A פעמים C, כל זה צריך להיות שווה ל-C עכשיו שימו לב, ניזכור ש-A חייב להיות שונה מאפס לכן נוכל לחלק בשני הצדדים ונקבל את התנאי הבא שפעמיים C חייב להיות שווה לאחד או במילים אחרות C חייב להיות שווה לחצי. נזכור ש-C היה שווה ל-B, לכן גם C וגם B הם שווים לחצי. מבחינה גאומטרית המשמעות היא כזו, בשלב ראשון מה שמופיע לנו כאן זה, C שווה לחצי וB שווה לחצי. וכפי שיותר מפעם אחת עשיתם מזה אפשר יהיה להסיק מה הם הערכים של שתי הקורדינטות האחרות אני אשאיר לכם כתרגיל לעשות את זה שוב ש-A ו-D שווים בערכם לשורש של שלוש חלקי שתיים. ומכאן שהנקודות E ו-F הן בעלות קורדינטות קורדינטה ראשונה, חצי. קורדינטה שניה, שורש של 3 חלקי 2 וכאן באופן סימטרי, קורדינטה ראשונה עד פעם. שמתי לב שטעיתי הקורדינטה הראשונה גם היא שורש של 3 חלקי 2 הקורדינטה השניה היא חצי, וכאן הקורדינטה הראשונה היא חצי קורדינטה שניה, שורש של 3 חלקי 2 לסיכום, נכתוב לעצמנו טבלה של כמה טיולים שערכנו אם פה זה הערך של T ופה נכתוב את הקורדינטות של הנקודה שמתאימה ל-T עם שתי הקורדינטות, כאן הקורדינטה הראשונה כאן הקורדינטה השניה נערוך טבלה פשוטה, טיילנו מרחק של T שווה ל-0 מרחק של T שווה לפאי חלקי 6 יחידות T שווה פאי חלקי 4 יחידות T שווה לפאי חלקי 3 יחידות. אפילו העזנו הגיע עד T שווה לפאי חלקי 2. ואם נתבונן בציורים שציירנו, כאשר T שווה ל-0 נשארנו על הנקודה שהיא נקודת ההתחלה עם קורדינטות 1, 0 כאשר T שווה לפאי חלקי 6 הגענו לנקודה בקורדיטות, קורדינטה ראשונה שורש של 3 חלקי 2 קורדינטה שניה חצי להזכירכם, כשטיילנו פאי חלקי 4 יחידות הגענו לנקודה עם קורדינטות, שורש 2 חלקי 2, שורש 2 חלקי 2 הנקודה שמתאימה לפאי חלקי 3 מחליפה את המקומות של הקורדינטות של הנקודה שמתאימה לפאי חלקי 6, ובסוף הנקודה שמתאימה לפאי חלקי 2, היא הנקודה עם קורדינטות 0, 1. אם T קטן מ 0, אנחנו נבצע טיול דומה אבל הפעם, בכיוון השלילי קרי לכיוון השעון. בצורה כזו למעשה הגדרנו פונקציה, שלכל מספר אנחנו מקצים נקודה על מעגל היחידה. לכל T אנחנו מקצים את הנקודה שמתאימה לה הבה נזכיר כמה תכונות גיאומטריות שהן ברורות התכונה הראשונה היא התכונה של מחזוריות הרי ברור שאם נטייל T ועוד שני פאי יחידות של אורך, במילים אחרות טיילנו עד שנחתנו על נקודה כאשר טיילנו T יחידות, אם נמשיך ונטייל עוד שני פאי יחידות, גיאומטרית ננחת על אותה הנקודה, כלומר, הנקודה שמתאימה ל-T ועוד שני פאי היא בדיוק הנקודה שתאימה ל-T ומה אנחנו יכולים להגיד על הקשר בין הנקודה שמתאימה ל-T יחידות לבין הנקודה שמתאימה למינוס T יחידות הרי משיקולי סימטריה מה שנקבל זה, שהנקודה שמתאימה ל-T, והנקודה שמתאימה למינוס T, הנן מה? סימטריות ביחס לציר X על כן, אם אנחנו נסתכל על הקורדינטות של הנקודה P שמתאימה ל-T, שהן X ו-Y הקורדינטות של הנקודה שמתאימה למינוס T ה-X הוא אותו X אבל ה-Y נבדל בסימן אם כך, לא תתקשו לתאר את הקורדינטות של כל הנקודות שמופיעות זו הנקודה שכינינו בשם A, זו הנקודה שכינינו בשם B כאן הקורדינטות 1, 0 כאן הקורדינטות 0, 1 נזכיר לעצמנו פה זה היה קורדינטה ראשונה, שורש של 3 חלקי 2 או חצי פה באופן סימטרי, חצי שורש של 3 חלקי 2 והנקודה הזו היא בעלת קורדינטות, שורש ריבועי של 2, שורש ריבועי של 2 והשומע והמקשיב לא יתקשה לאתר ולאפיין את כל יתר הנקודות הקורדינטות שלהן שמופיעות על הציר
