קורס זה עוסק במתמטיקה של בית ספר תיכון מנקודת מבט מתקדמת. מטרתו העיקרית היא לחשוף סטודנטים לעתיד לאופן שבו מתמטיקאים רואים מקצוע זה, ובכך להכין אותם ללימודי מתמטיקה ברמת אוניברסיטה.
טריגונומטריה 4 - הטנגנס
Loading...
Del curso dictado por Hebrew University of Jerusalem
Invitation to Mathematics הזמנה למתמטיקה
50 calificaciones
De la lección
הפונקציות הטריגונומטריות
ביחידה זו נלמד את המשמעות הגאומטרית של פונקציות הסינוס והקוסינוס, נראה מספר זהויות שימושיות, נחקור כמה תכונות של פונקציית הטנגנס ונסיים בהצגת הפונקציות הטריגונומטריות ההפוכות
Conoce a los instructores
Raz Kupferman
Mathematics
Itamar Cwik
Mathematics
Ehud de Shalit
Mathematics
נציג עתה ביתר פירוט, את הפונקציה טנגנס.
נזכיר לעצמנו, שאנחנו מגדירים את הפונקציה טנגנס כמנה של שני
הערכים, סינוס של טי, חלקי קוסינוס טי.
זו בעצם ההגדרה של הפונקציה.
שימו לב, מתמטיקאי כשהוא מחלק זה מעורר אצלו
איזו שהיא דאגה, פן נחלק במשהו שאנחנו לא יכולים לחלק.
כמובן, הביטוי הזה כמנה של שני מספרים ממשיים,
הוא בעל משמעות, בתנאי, כמובן, שהמכנה שונה מאפס.
אז כבר על המקום אנחנו יכולים לשים לב ש הביטוי הזה איננו מוגדר לכל טי.
קרי, הפונקציה טנגנס איננה מוגדרת לכל מספר ממשי.
מהם האילוצים על טי, על מנת שהפונקתציה טנגנס תהיה מוגדרת?
מתי הקוסינוס שווה לאפס?
למעשה הקוסינוס שווה לאפס, כאשר אנחנו מגיעים לקוטב הצפוני.
אם נוסיף עוד פאי יחידות, נגיע לקוטב הדרומי.
שוב נקבל קוסינוס שווה לאפס וחוזר חלילה.
למעשה, מה שאנחנו צריכים
להימנע זה מלדרוך על פאי
חלקי שתיים, ועוד תוספת של
כפולות שלמות של פאי יחידות.
בואו נמחיש, או נתבונן על הפונקציה טנגנס מבחינה גאומטרית.
נשרטט שוב לעצמנו את מעגל היחידה.
ניקח נקודה על מעגל היחידה, נניח
שהיא במחצית המזרחית של מעגל היחידה.
ואם הנקודה הזו אנחנו מגיעים אליה,
כעבור טי יחידות, מרחק טי על המעגל.
זו הנקודה שמתאימה לטי.
טי יחידות.
אז הקואורדינטה הראשונה של הנקודה היא קוסינוס טי.
קואורדינטה שנייה של הנקודה, סינוס של טי.
אז אנחנו יכולים להתבונן, על המשולש הזה.
והטנגנס של הזווית טי, הוא היחס, כמובן, בין הסינוס לבין הקוסינוס.
מה שאנחנו יכולים לעשות, זה הדבר
הבא: הבה נצייר את הישר
הזה, שהוא ממוקם
יחידה אחת ימינה לציר הוויי ונניח שאנחנו מלבישים
עליו מערכת קואורדינטות שנכנה אותה זד, באותן היחידות.
אם ניתן
לקטע שמחבר בין הנקודה שמתאימה
לטי והראשית, עד שהיא תחתוך את ציר הזד,
מה שנקבל זה משולש
יותר גדול, אבל שצריך להזכיר לנו משהו שאנחנו
כבר ראינו.
מה היחס בין שני המשולשים האלה?
שני המשו, המשולשים האלה הם משולשים דומים כמו שהזכרנו מלשון דמיון בין משולשים.
זה אומר שהיחסים בין אורכי הקטעים, הם אותם היחסים.
אבל מה מיוחד במשולש הגדול?
המיוחד במ, במשולש הגדול, היא העובדה שה אורך של הבסיס הוא 1.
על כן, היחס בין סינוס טי, לקוסינוס טי, קרי
טנגנס של טי, אנחנו יכולים לראות אותו בגובה הזה.
במילים אחרות, נוכל לראות את הטנגנס
עבור נקודה, או עבור זוית, או מידה
של קשת, כאשר היא נוחתת על נקודה במחצית
המזרחית של מעגל היחידה כגובה על ציר הזד.
ההמחשה הזו גם כן מצביעה על השם עצמו.
טנגנס מלשון השקה, הישר הזה אמנם משיק למעגל היחידה בנקודה הזו.
והוא, הוא זה שמגלם בגבהים השונים את הטנגנס של הזוויות השונות.
בואו נאמר גם כן, נזכיר לעצמנו,
שהגודל הזה, היחס בין הגובה
כאן לרוחב, הוא, הוא גם כן מה שמגלם, את מה?
את השיפוע של הישר שעובר דרך הראשית ושתי הנקודות האלה.
הבה נבצע זאת באמצעות
ה, מכרים שלנו.
בואו נקח מעגל קצת יותר קטן, אבל עדיין
מעגל היחידה, על מנת שכל האינפורמציה הגאומטרית תכנס.
נשרטט את הנקודות המוכרות לנו.
פה הנקודה שמתאימה לטי שווה לפאי חלקי ארבע.
אם פה זה חצי, פה זה חצי,
אז שתי הנקודות האלה תהיינה נקודות
שמתאימות לטי שווה לפאי חלקי שש וטי שווה פאי
חלקי שלוש בהתאם.
טי שווה לפאי חלקי שלוש בהתאם.
ובואו נשרטט את הקואורדינטות
אז נזכור, פה זה שורש של שלוש חלקי שתיים.
שורש שתיים חלקי שתיים.
ובאופן סימטרי שורש שתיים חלקי שתיים, שורש של שלוש חלקי שתיים.
אז, נבנה את
ציר הזד ונמתח
את הקטעים האלה.
נחבר בין הראשית לבין הנקודות על מעגל
היחידה עד שנחצה, או נחתוך, את ציר הזד.
אז בואו נכתוב את הערכים שאנחנו מקבלים בשביל המקרים המיוחדים.
נכתוב כאן את הערך של טי וכאן את הערך של זד.
קרי, הטנגנס של טי.
כאשר טי שווה לאפס, סינוס של אפס
שווה לאפס, קוסינוס של אפס שווה לאחד.
אמנם הגובה על ציר הזד הוא אכן אפס.
כאשר הנקודה טי מקבלת את הערך, או המשתנה טי מקבל את
הערך פאי חלקי שש, אז הנקודה הזו, גובהה כיחס
בין הסינוס של פאי חלקי שש, קרי שורש של שלוש חלקי שתייים, לבין הקוסינוס, קרי חצי.
שורש של, סליחה הפוך.
חצי, חלקי שורש של שלוש חלקי שתיים, במילים אחרות,
אחד חלקי שורש של שלוש, נכתוב את זה בצורה כזו.
אחד חלקי שורש של שלוש, או במילים אחרות שורש של 3 חלקי שלוש.
פאי חלקי שש נתאים את הערך, שורש של שלוש חלקי שלוש.
כאשר טי מקבל את הערך פאי חלקי ארבע, הן
הסינוס והן הקוסינוס מתלכדים ו ערכם שווה לשורש שתיים חלקי שתיים.
לכן נקבל כאן את הנקודה שגובהה על ציר הזד הוא אחד.
בפאי חלקי ארבע טנגנס שווה לאחד.
כאשר טי שווה לפאי חלקי שלוש,
הגובה, הסינוס, הוא שורש של שלוש חלקי שתיים, הקוסינוס הוא חצי.
שורש של שלוש חלקי שתיים, חלקי חצי, נצמצם את החצאים ונקבל גובה, שורש של שלוש.
בטי שווה לפאי חלקי שלוש, ערך של שורש של שלוש.
אילו היה לנו איזה שהוא ערך
טי כך שהנקודה שמתאימה לטי, גם היא הייתה נוחתת על המחצית
המזרחית של מעגל היחידה, היינו יכולים לפעול בהתאם
וכמובן מה שנקבל, זה ערכים שליליים של הטנגנס.
ואמנם זה מתלכד עם העובדה שה
פונקציה טנגנס בהיותה מוגדרת כמנה של שני ביטויים,
הסימן הוא חיובי כאשר שני הערכים, הן המונה, והן
המכנה, קרי הסינוס והקוסינוס שניהם חיוביים והסימן הוא מינוס, או
הערך הוא שלילי, כאשר סינוס וקוסינוס נבדלים בסימן.
לכן אנחנו מצפים לערכים חיוביים של הטנגנס עבור
נקודות שנופלות או ברביע הראשון או ברביע השלישי.
ברביע הרביעי, כפי שכרגע ציינו, אנחנו מצפים לערכים שליליים.
אבל מה קורה בהמחשה זו, אם אנחנו נרצה
לתת את הדעת על הטנגנס של נקודה שהיא
נופלת במחצית המערבית של מעגל היחידה?
בואו נחזור לציור השני.
נניח שיש אמנם איזו שהיא נקודה שהיא מתאימה
לאיזה שהוא טי, אבל נקודה על ה מחצית המזרחית.
מחצית המערבית.
שימו לב שלכל נקודה כזו יש
לה בן זוג, שהוא
נקודה במחצית המזרחית
שהיא סימטרית ביחס לראשית.
לא רק זה, הסימטריה הזו היא גם כן תולדה מהעובדה ששתי
הנקודות האלה, נקודות כאלה נקראות אנטיפודליות,
שתי הנקודות האלה נמצאות על אותו ישר שעובר דרך המשיק.
עכשיו שימו לב, אם נבטא את הטנגנס של טי
באמצעות שתי הקואורדינטות, הקואורדינטה איקס והקואורדינטה וואי,
הטנגנס הוא היחס כוואי לאיקס.
נקודה שהיא סימטרית מהנקודה עם הקואורדינטות איקס, וואי ביחס
לראשית, הקואורדינטות שלה תהיינה
מינוס איקס ומינוס וואי בהתאם.
אז מתוקף העובדה שוואי חלקי
איקס הוא כמינוס וואי חלקי מינוס איקס, נוכל
להסיק שלשתי נקודות אנטיפודליות כאלה, אותה טנגנס.
מצד אחד, זה יאפשר לנו לקרוא, לראות את
הערך של הטנגנס גם על ציר הזד ונדגיש את העובדה
שלמעשה זוג של נקודות אנטיפודליות על מעגל היחידה מצביעות על מה?
על ישר שעובר דרך הראשית.
ואמנם הטנגנס היא תכונה של הישר הזה.
הבה נשרטט את הגרף, או על כל פנים חלק מהגרף של הפונקציה טנגנס.
נניח, נשרטט את הציר טי.
נשרטט את הציר זד.
אז קודם כל, נעסוק בנקודות שבין מינוס פאי
חלקי שתיים לבין פאי חלקי שתיים.
אז, נפרוש את הקטע הזה על ציר טי הזה, המיושר.
אז קצת נשנה את הפרופורציות, אבל נניח לצורך הדיון שפה
יש יחידה אחת, פה יחידה אחת, פה יחידה אחת.
פה יחידה אחת, אז גם פה יחידה אחת.
פאי זה קצת יותר מ
שלוש, אז פאי חלקי שתיים זה קצת יותר מאחד וחצי.
אז עם זה אחד, עוד אחד, כאן חצי פה
זה אחד וחצי.
פאי חלקי שתיים.
אם פה סדר גודל פאי חלקי שתיים, פה סדר גודל,
גם כן של פאי חלקי
שתיים, או במילים אחרות, פה זה מינוס פאי חלקי שתיים.
אנחנו נעסוק בקטע הפתוח הזה בין מינוס פאי חלקי שתיים לפאי חלקי שתיים.
אז שימוש לב, ככל
שניתן לטי לגדול מאפס לכיוונו של
פאי חלקי שתיים אז ערכי הזד הולכים ועולים.
למעשה, כפי שנראה, אמנם
בהמשך, אם נשרטט כאן
חלק מ האלכסון הראשי הזה, בסופו של דבר מה
שנקבל זה שרטוט, ציור, שכך הוא נראה.
למעשה, אם קצת נרצה לדייק,
אם נחלק את הקטע הזה, פאי חלקי שתיים, לשני חצאים,
פה סדר גודל של פאי חלקי ארבע,
מהו הערך של הטנגנס של פאי חלקי ארבע?
זה האחד הזה.
אז, הנקודה הזו נמצאת על הגרף.
למעשה, הגרף ייראה בצורה כזאת.
באופן סימטרי, אילו היינו נסוגים מאפס
לכיוון של מינוס פאי חלקי שתיים, אז ערכי הטנגנס ירדו.
או במילים אחרות, אם נבוא ממינוס פאי חלקי שתיים לכיוונו
של האפס, הטנגנס עם ערכים שליליים ילך ויגדל.
ומה שנקבל זה משהו סימטרי.
פה זה פאי חלקי ארבע, אז פה זה מינוס פאי חלקי ארבע.
הערך המתאים פה, מינוס אחד, והגרף
ייראה בצורה כזו.
מה קורה אם ניקח
ערכים אחרים?
למשל, ערכים שהם מעבר לפאי חלקי שתיים?
למעשה מה שנוכל לעשות זה, אם נעתיק,
את הציור ימינה
או באופן דומה שמאלה,
נוכל לקבל את התמונה המוכרת של הגרף של הפונקציה טנגנס.
שימו לב, כשהזזתי ימינה
ושמאלה הזזתי סדר גודל של, בין
מינוס פאי חלקי שתיים לפאי חלקי שתיים, יש פאי יחידות.
אז סינוס וקוסינוס הן הפונקציות עם מחזור של שני פאי יחידות.
אולי מפתיע, נשאיר את זה לכם כדי לוודא
שהפונקציה טנגנס חוזרת על עצמה כל פאי יחידות.
והנה לפניכם השלמנו את ההצגה של שלושת הפונצקיות המוכרות.
מיד בסרטון הבא, אנחנו נציג את ה
פרטנריות, הפונקציות ההופוכות של הפונקציות הטריגונומטריות.
Explora nuestro catálogo
Inscríbete de manera gratuita y obtén recomendaciones personalizadas, actualizaciones y ofertas.
Coursera brinda acceso universal a la mejor educación del mundo, al asociarse con las mejores universidades y organizaciones, para ofrecer cursos en línea.
© 2019 Coursera Inc. Todos los derechos reservados.
