大家好，我们现在要进入眼睛这一讲的第五小节。
在这一小节里面呢，我们要为各位介绍眼睛的光学简化模型。
还有，在光学模型里面我们还要谈一个视角的概念。这也就是你可以看到多广范围的东西。
然后我们在这一节的最后呢会为各位介绍在视觉成像上面
真正影响一个我们最大的组织，叫做大脑。所以我们现在来看看眼睛的光学简化模型。
我们前面说过在眼睛的系统里面，折射主要是靠角膜
跟里面的水晶体。那再简化光学模型里面呢，我们将眼睛简化成两个球体的结合。
前面这个小球呢，表面就相当于是角膜的位置。
而后面这个大球呢，则是整个眼睛的大小。
在这里面呢，把所有的屈光力呢都集中在前面这个角膜的界面上面。
那么，我们先回忆一下前面曾经讲过球面成像方程式。
也就是像聚分之里面的折射率加上物聚分之外面的折射率
会等于曲率半径分之里面的折射率剪掉外面的折射率。
那么这个眼睛的简化模型的设计呢，必须要它 做起来之后跟原本的眼睛的光学特性要非常接近。
因此呢我们可以这样说，这个光学模型的设计要使得平行光 如果从左边向右边入射的话，它要能够聚焦在视网膜上面。
所以我们把一些相关的参数列进来。当是平行光入射的时候呢，意思就是D01
是入射光源的位置，要相当于是无限大。
那么我们现在设定的这个角膜球面的曲率半径呢，大约是0.5公分。
外面的折射率是空气，就是1。里面的折射率呢我们就把它想成像水一样，就是1.33.
那么我们把这些参数呢带进去，上面这个球面成像方程式呢就可以得到
第一二，也就是像聚，是20mm.
这个也就相当于是眼睛简化光学模型里面 在眼睛中的焦距。
所以我们把相关的位置呢稍微表示出来一下。在这个简化光学模型里面呢
第一个这个小球，就相当于是角膜曲面这个小球。它的曲率半径是0.5公分。
而从这个角膜的表面到视网膜之间的距离呢，
是2.0公分，所以从角膜球面的球心 到视网膜之间的距离呢，大概是1.5公分。
从我们刚刚这个讨论呢可以看得出来。这个简化模型的屈光度呢，可以定义成 曲率半径分之nt-ni.
我们把刚刚这些数值带进去，曲率半径是5个milimeter
那因为在谈屈光度的时候呢，距离的单位是公尺，所以我们把R换成0.005公尺。
那穿透进取的折射率是1.33，外面的折射率是1。
所以这样处理完之后呢，整个眼睛简化模型的屈光度大概是66D.
这个屈光度的大小呢跟我们前面提到角膜的屈光度大概是40.
水晶体的屈光度呢，大概是20-30。加起来的综合呢，是大致相当的。
那我们要谈视角的时候呢， 在这个简化眼睛模型里面呢要谈的最重要的一个点叫做节点。
还记得我们之前谈后透镜模型的时候我们有提到，在一个后透镜里面， 有三种主要的点是我们要关心的。第一个是焦点。
第一二个叫主点，主点就相当于是等一下光转化的位置。
而第三个就是节点，节点的概念呢，是 如果外面的光，对着节点打进去的入射角，
折在后透镜里面，另外一端的节点，它的出射角，会跟这个入射角完全一样。
那我们在这个简化眼睛模型里面呢，它基本上只有一个节点。
就是前节点跟后节点融合成为一个节点。在节点上面的特性是，入射角会等于出射角。
所以由下面这张图可以看得出来，如果外面有一个物体的长度是由 AB这个线段组成的，那我们把这个线段的长度呢
跟节点连接起来构成这个三角形。这中间这个角度的大小呢 称之为视角。那么这一个角度呢
在节点的后面到视网膜这边展开的三角形呢，它的张角，会跟外面这个张角一摸一样。
你从这个简化眼睛模型呢也可以看得出来，这原因很简单，是因为外面是一个球面。
而节点呢，刚好，应该位于圆心上面。
所以如果位于圆心上面，跟外面的连结线会垂直通过
这个球面因此不会折射。所以可以看得出来在节点的地方入射角会等于出射角。
那就如刚刚说的，这个节点呢，在简化眼睛模型中的节点呢
相当于角膜折射球面的球心，因此它的距离应该是离表面5公分的地方。
那我们来看一下视角以及在视网膜上成像的关系。
我们这样子想象，如果在视网膜上成像的大小是一个milimeter, 那么按照我们刚刚的图呢，在节点跟这个成像的连线的
三角形里面我们可以找到一个角度叫theta.
那这个theta呢，在节点后面也可以找到一个一摸一样的节点的大小。
所以我们可以用这个三角形的关系来呢，来求出来 成像大小跟视角之间的关系。
所以我们可以看到在这个小三角形里面呢，它的底边大概是一个milimeter.
而这个高度呢，大约是15个milimeter.
那我们可以因为角度不是太大的关系我们可以把这个整个三角形呢， 长边的跟这个段边的比呢看作是tangent theta.
那么这个tangent theta的大小呢，大概就是1/15。所以这也就是说这个theta的大小呢
相当于就是1/15, 因为如果theta不大的时候, tangent theta就是theta.
这是一个非常常用的近似式。
那1/15的大小就是0.067 radian.
这个radian这个单位呢，是一个非常常用的角度的单位。那0.067 radian大概就是3.8度的大小。
所以我们可以有这样一个概念就是，一度左右的视角， 相当于是在视网膜上成像的时候大概是263 micrometer.
也就是刚这个1 milimeter去除于3.8得到的结果。
那关于角度的单位，在讨论视角的时候呢，我们通常会用弧度，radian.
这个弧度的单位呢，一弧度大概是57.29度。
度感觉是平常我们日常生活中比较会看到的角度单位。
但实在物理或数学计算上呢我们常常会喜欢用弧度。
为什么弧度会是个很好用的角度单位呢？ 这个原因是因为弧度的定义上，
它是弧长去除于这个二拍的角度。
所以当我们用弧度来表示角度的时候有一个非常方便的特性是 我把距离乘上弧度，就会是从
圆心到这个距离远的位置的的弧长。
因此我们如果要求长度跟角度之间的关系的话，用radian会是一个非常方便的单位。
所以在刚刚我们求视角的时候呢我们会先用radian.
但是还是把它换算成我们习惯的听到的角度的单位。
那么在角度很小的时候呢， 弧度就更少用，因为弧度是一个很大的角度。
所以在角度更小的时候呢，我们可以用弧分或者是弧秒。那这个弧分跟弧秒的大小呢，是一度
等于60弧分，等于3600弧秒。从刚刚我们前一
页的分析呢，我们知道一度的大小呢，在视网膜上相当于是268 micrometer.
那把它除于60呢，就可以得到一弧分呢相当于在视网膜上是4.8 micrometer 的大小。
朱士維 Shi-Wei Chu教授 (Professor)
