[МУЗЫКА]
[МУЗЫКА] Рассмотрим
теперь более сложную задачу:
задачу стабилизировать систему не по состоянию,
а по наблюдаемому выходу y.
Разумеется, система называется стабилизируемой по выходу,
если существует хоть какая-то обратная связь, такая, что управление,
построенное на основе это обратной связи, делает замкнутую систему устойчивой.
В случае, когда выходом служит состояние,
нам для стабилизации достаточно было статических обратных связей вида u = l(x).
Когда выход у нас произвольный.
то необходимым и достаточным условием
стабилизируемости служит стабилизируемость
с помощью линейной стационарной динамической системы 2.
А критерием такой стабилизируемости, как можно доказать,
является одновременная стабилизируемость по состоянию и детектируемость.
И оба эти свойства эквивалентны невырожденности
системы 1 в правой полуплоскости.
Вопроса о невырожденности мы коснемся чуть позже,
а пока что займемся доказательством первых двух пунктов теоремы.
Итак, что такое детектируемость?
Вспомним, что наблюдаемость — это
следующее свойство: если входы и выходы совпадают,
то совпадают и состояния, хотя бы в один момент,
а раз в один, то и во все остальные, потому что дальше совпадают входы.
Детектируемость означает
следующее: если входы и выходы системы
совпадают на всем бесконечном промежутке ее существования,
то разница между состояниями
в процессах системы стремится к 0, когда время стремится к ∞.
Теорема о детектируемости системы в пространстве состояний с выходом.
Так вот ее детектируемость эквивалентна тому,
что в пространстве состояний нет такого базиса, в котором эта
система принимает специальный вид: блочно-треугольный,
матрица A22 имеет собственные
числа в замкнутой правой полуплоскости,
и пара {A22, C2} не наблюдаемая.
Доказательства критерия детектируемости.
Итак, по определению детектируемость системы
эквивалентна импликации, что из того,
что у нас x — процесс системы без управления
и выход наблюдаемый при этом = 0,
следует, что предел x = 0.
Пусть условие относительно
приведения матрицы к специальному виду выполнено с ненаблюдаемой парой {A22, C2}.
Тогда из условия VIIн следует,
что из этого подпространства можно «отколупнуть» еще
небанальное подпространство,
на котором матрица наблюдения C C2,
все ее элементы будут = 0.
Выбором начальных значений из этого подпространства легко добиться того,
чтобы соответствующие компоненты процесса к 0 не стремились,
а на выходе это никак не отражалось.
[БЕЗ_ЗВУКА]