Здравствуйте!
Мы переходим к последней неделе практических занятий по кинематике,
и заключительная тема — это «Кватернионы».
Кватернионы широко используются не только в механике, но и, например,
в компьютерной графике.
И используются они для описания поворотов.
Но прежде чем переходить к описанию поворотов при помощи кватернионов,
давайте разберемся с алгеброй кватернионов.
Для этого решим кватернионное уравнение.
Уравнение следующее.
Есть заданный кватернион Λ,
и его кватернионное произведение на неизвестный кватернион X дает
заданный кватернион Μ.
Кватернион Λ в наших условиях равен [1, −1, 1, −1].
И кватернион Μ равен [1, 1, 1, 1].
Необходимо найти кватернион X.
Как мы поступаем в этом случае?
Существует понятие обратного кватерниона, точно так же, как и в случае матрицы.
И поэтому кватернион X мы находим как произведение обратного кватерниона
для Λ — Λ в −1-й — кватернионно умножить на заданный кватернион Μ.
На лекции вам говорили, что обратный кватернион — это кватернион,
сопряженный к заданному кватерниону, разделить на норму кватерниона.
Поэтому кватернион X будем
искать как произведение кватерниона, сопряженного к Λ, кватернионно
умножить на заданный кватернион Μ и разделить на норму кватерниона Λ.
Теперь давайте выпишем, что есть что.
Кватернион Λ мы уже выписывали,
это [1, −1, 1, −1].
Если использовать формальную запись кватернионов,
то в этом случае выделяют отдельно скалярную часть и векторную часть.
То есть это 1 + векторная часть кватерниона [−1, 1, −1].
Вот это скалярная часть, вот это векторная часть.
Кватернион, сопряженный кватерниону Λ, — это кватернион,
отличающийся векторной частью, то есть минус векторная часть.
1 − [−1, 1, −1].
[ЗВУК] Давайте
выпишем это в виде λ0 − λ,
где вот этот кватернион — это λ0 + λ вектор.
Аналогично — кватернион Μ.
У него есть скалярная часть и есть векторная часть.
Для нашей задачи это 1 + [1, 1, 1].
И если переписывать в формальном виде через обозначения μ и μ вектор,
то кватернион Μ выглядит как μ0 + вектор μ.
Напомним, как перемножаются кватернионы.
Если мы хотим Λ сопряженный * кватернион Μ,
то есть λ0 − вектор λ
умножить кватернионно на μ0 + μ,
то нам необходимо отдельно вычислить скалярную часть и отдельно векторную.
Для скалярной части формула следующая.
Мы должны перемножить скалярные части кватерниона,
λ0 * μ0, и вычесть скалярное произведение векторных частей,
то есть −λ * μ,
−λ скалярно
умножить на μ — это скалярная часть кватерниона.
Векторная часть кватерниона: мы скалярную
часть первого кватерниона умножаем на векторную часть второго кватерниона.
Далее, скалярную часть второго кватерниона умножаем
на векторную часть первого кватерниона.
И векторно умножаем векторные части кватернионов,
то есть −λ вектор умножить векторно на μ.
И скоробочку закрываем.
Давайте перепишем с учетом знаков, чтобы не ошибиться в арифметике.
И получаем, что скалярная часть — это λ0 * μ0
+ скалярное произведение λ * μ вектора.
А векторная часть — это
λ0 * μ − μ0
* λ и минус векторное
произведение λ * μ.
Давайте теперь подставим и получим ответ для произведения Λ сопряженный * Μ.
λ0 = 1, μ0 = 1.
Далее, скалярное произведение векторных частей λ и μ.
Давайте для удобства λ выпишем отдельно, чтобы так же не запутаться со знаками.
Это [−1, 1, и −1].
λ * μ — скалярное произведение дает,
давайте выпишем,
−1 + 1 −1 — это скалярная часть.
Теперь переходим к векторной.
Нужно λ0 * μ, то есть получаем вектор [1, 1, 1].
Далее вычитаем μ0
— 1 * вектор λ, [−1,
1, −1].
И осталось вычислить векторное произведение λ и μ,
то есть необходимо вектор [−1, 1,
−1] векторно умножить на [1, 1, 1].
[ЗВУК] Ну что,
скалярная часть нашего кватерниона равна 0.
Теперь вычислим векторную часть.
Компоненты сложим по этапам.
Компоненты первого вектора переписали — [1, 1, 1].
Компоненты второго, второй векторной части — это [+1, −1, +1].
И теперь добавим векторное произведение.
Знаки «−» оставим, и вычисляем.
Значит, первая компонента равна, равна 2.
Вторая компонента равна, равна 0.
И третья компонента равна
−2, то есть +2.
Получаем, что кватернион
векторного произведения Λ сопряженное * Μ — это кватернион,
который имеет нулевую скалярную часть и следующую векторную.
Первая компонента — 0, вторая компонента — 0, и третья компонента равна 4.
Теперь нам осталось вычислить норму кватерниона Λ.
Норма кватерниона Λ — это кватернион Λ * сопряженный кватернион к Λ.
И вы знаете с лекции, что это сумма квадратов
компонент кватерниона Λ — λi в квадрате и от 0 до 3.
Для нашей задачи кватернион Λ состоит из [1, −1, 1, −1], поэтому норма его равна 4.
В результате получаем,
что искомый кватернион X — это кватернион,
состоящий из следующих компонент: скалярная часть — 0,
и векторная — [0, 0, 1].
Таким образом мы решили кватернионное уравнение.
Что делать, если ваше кватернионное уравнение более сложное,
чем то, что мы сейчас рассмотрели.
Например, вот такое.
Кватернион Λ умножить кватернионно на кватернион
X в квадрате = X кватернионно умножить на Λ.
В этом случае есть два подхода.
Первый подход.
В обоих подходах кватернион Λ — это известный кватернион,
то есть Λ, у которого есть скалярная часть и векторная часть.
А кватернион X мы ищем в виде
неизвестной скалярной части и неизвестной векторной части.
Подставляем и решаем систему из двух уравнений.
Первое уравнение — это равенство скалярных частей,
второе уравнение — равенство векторных частей.
То есть скалярное уравнение и векторное уравнение.
Второй подход.
Вы рассматриваете кватернион Λ как кватернион,
состоящий из четырех скалярных величин заданных,
кватернион X — как кватернион,
состоящий из 4 неизвестных величин [x0, x1, x2, x3].
Точно так же подставляете в исходное кватернионное уравнение и решаете
4 алгебраических уравнения.
[БЕЗ_ЗВУКА] Но
есть более сложные случаи, когда приходится воспользоваться
геометрическим-тригонометрическим подходом.
И это будет следующая наша задача.
Спасибо, задача решена.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
