А теперь обратимся к активной точки зрения на сложение поворотов.
Что у нас есть?
У нас есть спутник, который не меняет своего положения в пространстве,
но при этом поворачивает батарею двумя маневрами.
Первый маневр — вокруг оси z в системе отчета, связанной со спутником на ось ψ...
на угол ψ = 180°.
Второй поворот, опять же, в системе координат,
связанной со спутником на угол θ = 90° вокруг оси y.
В чем отличие от предыдущей задачи?
В предыдущей задаче мы поворачивали спутник в системе отчета,
связанной со спутником.
Теперь же мы систему координат, связанную со спутником оставляем неизменной и
в этой системе координат производим два поворота.
То есть у нас получается активная точка зрения.
Матрицы поворотов вокруг оси zy мы уже выписывали.
Выпишем сейчас их еще раз и получим итоговую матрицу поворота.
Требуется найти, опять же, ось поворота и угол поворота.
Матрица поворота вокруг оси z.
Также как и раньше cosψ,
−sinψ, 0 sinψ,
cosψ, 0 0, 0,
1 После подстановки в нее угла ψ = 180° получаем: −1,
0, 0 0, −1, 0 0, 0,
1 Матрица поворота вокруг оси y также уже сегодня нами была записана.
Напомним: cosθ, 0,
sinθ 0, 1, 0 −sinθ,
0, cosθ После подстановки в нее
угла θ = π/2 получаем: 0, 0,
1 0, 1, 0 −1,
0, 0 Теперь у нас активная точка зрения на повороты.
То есть матрица результирующего поворота получается
при переумножении матрицы в обратном порядке.
То есть сначала мы берем матрицу поворота вокруг оси y, записанную в неподвижной
системе координат, и умножаем на матрицу поворота вокруг оси z.
Переумножаем.
Получаем первый столбец, первый элемент,
так — 0.
Первый столбец, второй элемент — 0.
Первый столбец, третий элемент — 1.
Второй столбец, первый элемент — 0.
Второй элемент — −1.
Третий элемент — 0.
Третий столбец, первый элемент — 1.
Второй элемент — 0.
Третий элемент — 0.
Давайте, опять же, убедимся, что мы правильно получили матрицу поворота.
Произведем эти повороты и посмотрим,
как записываются новые базисные вектора в старом базисе.
Что у нас есть?
Система координат, связанная со спутником x, y, z.
И подвижная система координат,
в которой записывается наша солнечная батарея.
Первым поворотом мы поворачиваем вокруг оси
z на угол ψ = 180°.
Первый поворот ничем не отличается от предыдущей задачи.
Что у нас?
Ось z остается на месте.
Ось x меняет направление.
И ось y также меняет направление на противоположное.
Второй поворот.
А здесь отличие — второй поворот мы производим в системе отчета,
связанный со спутником.
То есть мы поворачиваем вокруг оси y на 90°.
[БЕЗ СЛОВ] Ось y,
вот она у нас так и осталась, мы вокруг нее должны повернуть на 90°.
Соответственно ось y' не меняет своего положения.
А оси x' и z' поворачиваются на π/2
и занимают следующее положение: x'' вертикально вверх,
ось z'' правая тройка к осям x'' и y''.
Давайте проверим, что все получилось правильно.
Ось x'' в неподвижной системе координат действительно направлена по оси z.
Ось y'' действительно направлена по −y.
И ось z действительно направлена по +x.
То есть с матрицей мы не ошиблись.
Все хорошо.
Теперь, чтобы найти ось поворота, нужно опять же,
решить задачу на поиск собственных чисел и собственных значений.
То есть мы должны найти такой вектор u,
который при умножении на матрицу A остается также вектором u.
Повторно делать те же действия, что мы делали в предыдущей задаче мы не будем.
Просто выпишем ответ.
Вы его можете легко получить сами.
Итоговый вектор поворота может быть,
например, вектором с координатами 1, 0, 1.
А угол поворота точно также вычисляется по формуле,
которую мы уже с вами сегодня использовали.
След матрицы A − 1/2.
Опять же, след матрицы A — это сумма диагональных элементов, она равна −1.
Получаем, что косинус угла α = −1.
И как и в предыдущей задаче угол поворота — 180°.
Что мы сделали?
Мы воспользовались активной и пассивной точкой зрения для получения итогового
поворота в случае, если повороты
заданы в подвижной, неподвижной системе координат.
Как можно было сделать первую задачу?
Первую задачу можно было тоже сделать при помощи активной точки зрения.
В этом случае нам нужно было матрицы поворота просто записать в неподвижной
системе координат.
Что еще здесь можно добавить?
Для простоты вычисления мы использовали углы, кратные π/2 — 180° и 90°.
Это было сделано только для того, чтобы выкладки были максимально простыми,
а так методы для активной и пассивной точки зрения будут работать для
произвольных углов.
Спасибо.
Притыкин Дмитрий Аркадьевичкандидат физико-математических наук, доцент
