А теперь обратимся к активной точки зрения на сложение поворотов. Что у нас есть? У нас есть спутник, который не меняет своего положения в пространстве, но при этом поворачивает батарею двумя маневрами. Первый маневр — вокруг оси z в системе отчета, связанной со спутником на ось ψ... на угол ψ = 180°. Второй поворот, опять же, в системе координат, связанной со спутником на угол θ = 90° вокруг оси y. В чем отличие от предыдущей задачи? В предыдущей задаче мы поворачивали спутник в системе отчета, связанной со спутником. Теперь же мы систему координат, связанную со спутником оставляем неизменной и в этой системе координат производим два поворота. То есть у нас получается активная точка зрения. Матрицы поворотов вокруг оси zy мы уже выписывали. Выпишем сейчас их еще раз и получим итоговую матрицу поворота. Требуется найти, опять же, ось поворота и угол поворота. Матрица поворота вокруг оси z. Также как и раньше cosψ, −sinψ, 0 sinψ, cosψ, 0 0, 0, 1 После подстановки в нее угла ψ = 180° получаем: −1, 0, 0 0, −1, 0 0, 0, 1 Матрица поворота вокруг оси y также уже сегодня нами была записана. Напомним: cosθ, 0, sinθ 0, 1, 0 −sinθ, 0, cosθ После подстановки в нее угла θ = π/2 получаем: 0, 0, 1 0, 1, 0 −1, 0, 0 Теперь у нас активная точка зрения на повороты. То есть матрица результирующего поворота получается при переумножении матрицы в обратном порядке. То есть сначала мы берем матрицу поворота вокруг оси y, записанную в неподвижной системе координат, и умножаем на матрицу поворота вокруг оси z. Переумножаем. Получаем первый столбец, первый элемент, так — 0. Первый столбец, второй элемент — 0. Первый столбец, третий элемент — 1. Второй столбец, первый элемент — 0. Второй элемент — −1. Третий элемент — 0. Третий столбец, первый элемент — 1. Второй элемент — 0. Третий элемент — 0. Давайте, опять же, убедимся, что мы правильно получили матрицу поворота. Произведем эти повороты и посмотрим, как записываются новые базисные вектора в старом базисе. Что у нас есть? Система координат, связанная со спутником x, y, z. И подвижная система координат, в которой записывается наша солнечная батарея. Первым поворотом мы поворачиваем вокруг оси z на угол ψ = 180°. Первый поворот ничем не отличается от предыдущей задачи. Что у нас? Ось z остается на месте. Ось x меняет направление. И ось y также меняет направление на противоположное. Второй поворот. А здесь отличие — второй поворот мы производим в системе отчета, связанный со спутником. То есть мы поворачиваем вокруг оси y на 90°. [БЕЗ СЛОВ] Ось y, вот она у нас так и осталась, мы вокруг нее должны повернуть на 90°. Соответственно ось y' не меняет своего положения. А оси x' и z' поворачиваются на π/2 и занимают следующее положение: x'' вертикально вверх, ось z'' правая тройка к осям x'' и y''. Давайте проверим, что все получилось правильно. Ось x'' в неподвижной системе координат действительно направлена по оси z. Ось y'' действительно направлена по −y. И ось z действительно направлена по +x. То есть с матрицей мы не ошиблись. Все хорошо. Теперь, чтобы найти ось поворота, нужно опять же, решить задачу на поиск собственных чисел и собственных значений. То есть мы должны найти такой вектор u, который при умножении на матрицу A остается также вектором u. Повторно делать те же действия, что мы делали в предыдущей задаче мы не будем. Просто выпишем ответ. Вы его можете легко получить сами. Итоговый вектор поворота может быть, например, вектором с координатами 1, 0, 1. А угол поворота точно также вычисляется по формуле, которую мы уже с вами сегодня использовали. След матрицы A − 1/2. Опять же, след матрицы A — это сумма диагональных элементов, она равна −1. Получаем, что косинус угла α = −1. И как и в предыдущей задаче угол поворота — 180°. Что мы сделали? Мы воспользовались активной и пассивной точкой зрения для получения итогового поворота в случае, если повороты заданы в подвижной, неподвижной системе координат. Как можно было сделать первую задачу? Первую задачу можно было тоже сделать при помощи активной точки зрения. В этом случае нам нужно было матрицы поворота просто записать в неподвижной системе координат. Что еще здесь можно добавить? Для простоты вычисления мы использовали углы, кратные π/2 — 180° и 90°. Это было сделано только для того, чтобы выкладки были максимально простыми, а так методы для активной и пассивной точки зрения будут работать для произвольных углов. Спасибо.
