Здравствуйте!
На второй неделе мы занимались тем,
что определяли только положение твердого тела относительно неподвижного базиса.
На практических занятиях на третьей неделе мы будем заниматься тем,
что вычислять скорости и ускорения точек в твердом теле.
На этом этапе у нас появляется понятие угловой скорости.
Что нам нужно понимать?
В кинематике точки у нас не было такого понятия, как «вращение»,
и для точки мы выводили только линейную скорость.
В случае твердого тела у нас уже появляется возможность вращения.
Что это значит?
Что нам необходимо научиться определять вектор угловой скорости,
который для твердого тела определяется единственным образом.
И при помощи этого вектора угловой скорости мы будем учиться вычислять
скорости и ускорения точек твердого тела,
которые в общем случае совсем не обязаны совпадать друг с другом.
Сделаем это на примере следующей задачи.
Есть точка, которая движется по окружности радиуса r с постоянной скоростью v.
Окружность радиуса r,
точка движется со скоростью v, скорость направлена по касательной к траектории.
И необходимо найти
угловую скорость радиуса-вектора этой точки, то есть угловую скорость r.
Вообще, радиус-вектор — это твердое тело в полном смысле этого слова, потому
что в процессе движения расстояние между точками радиус-вектора никак не меняется.
Поэтому понятие угловой скорости для радиус-вектора применить можно.
Как мы будем искать угловую скорость?
Мы знаем скорости двух точек у радиус-вектора.
Мы знаем скорость начала — это центр окружности,
скорость равна 0 — и знаем скорость конечной точки, точка A.
Как мы их свяжем?
Для того чтобы связать скорости этих двух точек, воспользуемся формулой Эйлера.
Она говорит, что скорость точки A можно вычислить при помощи
скорости точки O следующим образом: добавив векторное
произведение вектора угловой скорости на вектор OA.
Чтобы пользоваться этой формулой, давайте введем вспомогательную систему координат,
на которую и будем проецировать.
Ось z — вертикально вверх, на нас,
ось y — параллельно вектору скорости,
ось x — вдоль радиус-вектора так, чтобы составлять правую тройку.
Скорость точки A в этой системе координат
записывается как [0, v, 0].
Скорость точки O равна 0, потому что это центр окружности.
И осталось вычислить векторное произведение.
У вектора угловой скорости будем считать,
что все три компоненты неизвестны, то есть [ωx, ωy, ωz].
И векторно умножим на вектор OA.
Вектор OA в этой системе координат имеет координаты [R, 0, 0].
Давайте вычислим векторное произведение.
Первый элемент равен 0, второй элемент
равен ωz * R, и третий
элемент равен −ωy * R.
Если сравнить правую и левую части выражения, то что мы видим?
Что компонента угловой скорости по z равна v / R.
Компонента угловой скорости по оси y равна 0.
И мы ничего не можем сказать про компоненту угловой скорости по оси x.
Почему так получилось?
Как это можно объяснить на пальцах?
На самом деле, действительно, радиус-вектор — это отрезок,
это вырожденное твердое тело, мы ничего не знаем про его повороты вокруг его длины.
Если мы знаем скорости двух точек, то они нам никак не ответят на вопрос,
вращается ли как-то стержень, отрезок вокруг своей оси, длины.
Как это можно показать другим образом, математически?
Что у нас есть?
У нас есть формула Эйлера, которая говорит, что если скорости двух точек
известны, в смысле ну да, если известны скорости двух точек,
то вектор угловой скорости мы можем попытаться определить из формулы Эйлера.
Давайте выпишем через матрицу угловой скорости или через
матрицу радиус-векторов.
Если у нас есть скорости
двух точек, то разница между ними
по формуле Эйлера — это следующая вещь.
Мы можем переписать это через кососимметричную матрицу для угловой
скорости.
Матрица угловой скорости будет
выглядеть: −ωz, ωy, −ωx.
И так как она кососимметричная,
то на нижней диагонали те же элементы со знаком «−»,
то есть ωz, −ωy, ωx.
И эту матрицу нужно умножить на вектор OA,
то есть вектор с компонентами [rx, ry, rz].
Ну а в таком виде рассуждать не очень удобно, давайте перепишем чуть-чуть иначе.
Вместо кососимметричной матрицы для угловой скорости сделаем
кососимметричную матрицу для радиус-векторов.
Можно проверить непосредственным вычислением и убедиться в том,
что выражение выше полностью совпадает по результату с выражением,
которое я сейчас выпишу: компонента радиус-вектора по оси z,
минус компонента радиус-вектора по оси y,
компонента радиус-вектора по оси x, здесь все так же и остается.
Матрица кососимметричная, значит, следующие элементы со знаком «−».
И если мы умножим это на компоненты вектора,
на вектор угловой скорости — [ωx, ωy, ωz],
то это будет точно так же равняться разности скоростей двух точек.
То есть на самом деле это у нас алгебраическое уравнение,
которое говорит, что вектор, состоящий из разницы скоростей —
это некая матрица A умножить на вектор угловых скоростей.
Что мы из этого выражения хотим найти?
Мы хотим по известным разницам скоростей и по
известной матрице A научиться вычислять вектор угловой скорости.
По идее кажется, что ничего сложного, да?
Три компоненты, три уравнения, три неизвестных — все должно определяться.
Но если вспомнить теорию линейных уравнений, теорию линейных систем,
то вы знаете, что если матрица A — вырожденная,
то есть если детерминант матрицы A = 0, то у такой системы
может быть бесконечно много решений либо вообще не существовать решений.
Давайте в нашем случае посмотрим, чему равен детерминант.
Можно непосредственным вычислением проверить и увидеть,
что на самом деле он реально 0, то есть можно даже не выписывать.
Вот. Что это значит?
Что из теории алгебраических систем,
так как матрица вырождена, то двух точек,
двух скоростей нам недостаточно для того, чтобы определить все три компоненты
вектора угловой скорости, что мы здесь, в принципе, и получили.
Нам не хватило компонент.
И на самом деле, здесь мы не привязывались к тому,
что у нас только отрезок — это сделано в общем случае.
Если у нас только две точки, то мы не сможем однозначно определить вектор
угловой скорости, нам необходима третья точка с известной скоростью.
Тогда мы сможем разрешить систему.
Так, давайте для нашей задачи покажем, что если действительно
взять еще какую-то третью точку, то угловая скорость определится.
Что сделаем?
Давайте дополнительно введем еще в точке A триэдр.
То есть введем систему координат
z'x'y' и
потребуем от этой системы координат,
чтобы ось z' всегда оставалась при движении параллельна сама себе,
то есть чтобы скорости точек с координатами (0, 0, a) для любых
a были равны скорости точки A.
Скорость точки A, как и раньше, по касательной к траектории, она известна,
она равна v.
Даст ли нам это что-то новое, для того чтобы определить угловую скорость?
Давайте проверим.
Скорость любой точки на триэдре на оси z' — обозначу
ее таким вот образом — может быть вычислена из точки O,
из скорости точки O, опять же по такой формуле, по формуле Эйлера.
Что это скорость точки O плюс векторное произведение вектора
угловой скорости умножить на вектор O,
давайте я обозначу, A'.
То есть A' — это точка на оси z' над точкой A.
Как и раньше, скорость точки O у нас 0.
Компоненты вектора ω мы определили каким образом?
Что мы не знаем чему равно ωx, знаем, что ωy = 0, а ωz = v / R.
И умножим векторно на вектор OA'.
По оси x' компонента этого
вектора равна R, по оси y равна 0,
и по z равна произвольному значению a.
Вычислим векторное произведение.
Первый элемент — 0,
второй элемент — −ωx * a + v,
и третий элемент — 0.
Причем что мы требовали?
Чтобы точка A' на триэдре имела ту же самую скорость,
что наша исходная точка на окружности, то есть [0, v, 0].
А отсюда теперь уже однозначно получаем,
что третья компонента угловой скорости = 0.
То есть что мы показали?
Что трех точек достаточно для того, чтобы найти угловую скорость — трех точек,
не лежащих на одной прямой, простите, достаточно, чтобы найти угловую скорость.
И что мы сделали еще, на самом деле, когда ввели такой триэдр?
Потребовав, что ось z' остается все время параллельна сама себе,
мы запретили на самом деле радиус-вектору поворачиваться вокруг своей оси.
Вот так.
Задача решена, спасибо.
