Ну давайте теперь поразбираемся с полиномиальной формулой.
Следующий, так сказать, этап обобщения чисел и сочетаний, – это то,
что называется «полиномиальные коэффициенты».
Ну первая задача, которую мы разберем, она фактически разбиралась на лекции.
Просто я еще раз для полноты картины напомню, как здесь жизнь устроена.
На самом деле, все задачи на полиномиальные коэффициенты, они, конечно,
очень похожи друг на друга и по-большому счету все они делаются через коэффициенты
биномиальные.
Просто в итоге получается та самая полиномиальная формула,
с которой мы уже и работаем.
Вот, ну давайте пусть у нас есть в распоряжении 5 букв «а»,
дальше есть 4 буквы
«б» и 3
буквы «в».
И давайте пытаться просто составлять различные слова,
в которых бы участвовали все имеющиеся в нашем распоряжении буквы.
То есть нам хочется использовать все 5 букв «а»,
все 4 буквы «б», и все 3 буквы «в».
Итого сколько получается?
5 + 4 + 3 = 12 букв.
Спрашивается: сколько существует различных, необязательно содержательных
двенадцатибуквенных слов, которые можно таким образом составить?
То есть можно написать подряд 5 «а», потом 4 буквы «б», потом 3 буквы «в»,
можно наоборот сначала 3 буквы «в», потом 4 буквы «б», потом 5 букв «а».
Можно их как-то хитро между собой попереставлять.
Сначала написать букву «а», потом «б», потом снова «а», потом «в».
Но вот в какой-то последовательности всего получится в итоге 12 букв.
И вот спрашивается: сколько всего различных таких последовательностей в
принципе существует?
Ну вот давайте я это напишу.
Сколько различных слов можно составить
из этих 12 букв?..
… Можно составить из этих
12 букв [ПИШЕТ НА ДОСКЕ] Ну, как я уже говорил,
это в точности та задача, по сути, которую мы разобрали на лекции.
А именно на лекции мы обсуждали вопрос: сколькими способами можно взаимно
попереставлять буквы слова «комбинаторика» так,
чтобы каждый раз получалось новое слово?
В смысле, новая последовательность букв, необязательно содержательная,
использующая все буквы этого слова?
В том случае у нас было несколько букв «к», несколько букв «о».
И вот мы их между собой переставляли.
Если просто саппелировать к лекции,
то можно сразу дать ответ на поставленный вопрос.
Действительно, у нас есть 5 букв «а», 4 буквы «б» и 3 буквы «в».
Ну, э-э-э...
значит речь идет о всевозможных перестановках,
которые участвуют фактически в определении полиномиального коэффициента.
И тогда ответ получается сразу: это просто P(5, 4, 3),
для которого мы знаем замечательную формулу: 12!
/ 5!
4!
3!. Вот вполне себе замечательная,
симпатичная формула.
И это есть ответ на поставленный вопрос.
Но вот для того чтобы как-то закрепить материал, давайте я еще раз напомню,
как эта формула получается в данном конкретном случае.
Просто вот еще раз ее получим стандартным способом, чтобы как-то привыкнуть к тому,
что в таких ситуациях вылезает именно такой вот полиномиальный коэффициент.
Ну а как это сделать?
Смотрите у нас есть 12 позиций,
на каждую из которых можно поставить какую-нибудь очередную букву.
Давайте сначала заполним какие-либо 5 позиций из этих 12 имеющимися в
нашем распоряжении буквами «а».
Для того чтобы это сделать, естественно,
надо из 12 возможных имеющихся у нас позиций выбрать некоторые 5.
И после того как те 5 позиций выбраны,
просто насыпать на них буквы «а» в совершенно произвольном порядке.
От этого, естественно, результат не поменяется.
Число способов выбрать из 12 позиций 5 возможных это есть после всего,
что мы с вами изучали, надеюсь очевидно: C из 12 по 5.
Вот из 12 объектов, то есть из 12 позиций выбрать некоторые 5,
естественно, без учета порядка, можно сделать в количестве
равным числу сочетаний из 12 по 5, то есть просто C из 12 по 5.
Дальше.
Коль скоро 5 позиций для букв
«а» уже зафиксированы, 5 позиций для букв «а» уже зафиксированы.
Это делается вот столькими способами.
Ну ясно, что у нас в распоряжении остается только 7 позиций, вот столько 12 минус 5.
5 зафиксированы, значит свободно еще 7 штук.
И вот из этих оставшихся 7 позиций, которые по прежнему свободны,
мы вольны выбрать некоторые 4 позиции для простановки туда букв «б».
Абсолютно любые.
И более того, вслед за тем, как мы выбирали вот эти 5,
то есть по правилу умножения надо умножить на C из 7 по 4.
Из 7 позиций выбираем 4 произвольных.
Это делается в аккурат C из 7 по 4 способами.
Ну это по правилу умножения, как я уже говорил,
надо просто C из 12 по 5 * C из 7 по 4.
После чего у нас остается ровно 3 свободных позиции, на которые нам,
я прошу прощения, ничего не остается делать, как поставить буквы «в».
Букв «в» у нас в аккурат 3 штуки,
позиций после простановки 4 букв «в», остается свободных 3.
Ну значит это делается, если хотите: С из 3 по 3 способами,
где C из 3 по 3, конечно, равняется единице.
Ровно один способ выбрать из 3 позиций те самые 3, на которые мы поставим буквы «в».
Прошу прощение за занудство.
Вот, ну а дальше, в принципе, можно считать то, что написано,
ответом к задаче.
Не заморачиваться и не переписывать в такой вот красивой форме.
Но форма то красивая.
Чего ж не переписать красиво, если это возможно?
Ну, а как переписать красиво?
Надо заметить, что C из 12 по 5 = 12!
/ 5!
7! согласно формуле, которую мы давно знаем.
Дальше мы умножаем на 7!
вот здесь, делим на 4!
и на 3!.
Ну и наконец C из 3 по 3 честно расписываем как 3!
/ 3!
0!.
После чего у нас благополучно 7!
уничтожается.
Дальше 3!
тоже благополучно уничтожается.
А 0!, ну это ничто иное, как 1, то есть его можно просто не писать.
Итого мы получаем в числителе 12!, потому что все остальное в числителе сократилось.
А в знаменателе у нас остается 5!, 4!
и 3!.
0 факториал, который равен 1, мы просто здесь не рисуем,
потому что он никакой новой информации о значении этой величины нам не сообщает.
Итого получаем, что формула,
которая вполне понятна превращается вот в эту красивую симметричную формулу,
которая, собственно, и совпадает с тем, что было заявлено в самом начале.
Итого, да, действительно, ответ: P(5, 4, 3) то есть 12!
/ 5!
на 4!
и на 3!.
Дмитрий Ильинскийпреподаватель
Андрей Райгородскийпрофессор, доктор физико-математических наук
