[БЕЗ_ЗВУКА]
[ШУМ] Рассмотрим
с вами решение некоторых тригонометрических задач.
И первые из них будут связаны с тригонометрическими преобразованиями,
часть из которых мы уже с вами научились делать.
Бывают задачи, когда необходимо выразить синус
тройного угла через синус
одинарного угла, а именно синус трёх α выразить через синус α.
Давайте используем для этого формулу синуса суммы,
то есть запишем это выражение в следующей форме: синус два
α плюс α равняется
синус двух α
на косинус α прибавить косинус двух α
на синус α
равняется — вспоминаем формулу синуса двойного
угла — это будет два синуса
α на косинус α и ещё разочек на косинус α,
то есть на косинус квадрат α прибавить.
А здесь мы с вами косинус двух α запишем в следующей форме:
единичка минус два синус квадрат α равняется.
И умножить здесь ещё чуть не
забыли на синус α равняется.
Это знак умножить, а это знак плюс.
Равняется два синус α,
косинус квадрат α — это единичка минус синус квадрат α.
Вспомнили тригонометрическую единичку.
А здесь мы можем уже раскрыть скобки,
что нам даст синус α минус два
синус куб α равняется.
Перемножаем, получаем
два синус α минус два
синус куб α
прибавить синус α и отнять
два синус куб α равняется.
Теперь собираем синус с синусом,
синус куб с синусом куб — и получаем три синус
α минус четыре синус куб α.
Рекомендую вам самостоятельно получить формулу
для косинуса тройного угла,
который также можно выразить через косинус угла одинарного.
В курсе математического анализа,
когда вы придёте к нам учиться, нам понадобиться уметь
выражать синусы и косинусы углов через тангенс половинного угла.
Давайте сделаем такие преобразования.
Итак, пусть у нас имеется синус α,
который мы можем записать как два
синус α пополам на
косинус α пополам равняется.
Для того чтобы перейти к тангенсу, мы используем тригонометрическую единицу.
Значит, числитель оставляем без изменения: два синус
α пополам на косинус α пополам,
а внизу записываем тригонометрическую единичку: синус квадрат
α пополам плюс косинус
квадрат α пополам.
Осталось поделить числитель и знаменатель
на косинус квадрат α пополам — и мы получаем следующее.
Числитель делим на косинус квадрат — получаем два тангенс
α пополам, а внизу единичка
плюс тангенс квадрат α пополам.
Для того чтобы выразить косинус α через тангенс половинного угла,
мы запишем косинус α равняется.
В числителе это будет косинус квадрат
α пополам минус синус квадрат α пополам,
ну и в знаменателе — уже известную нам и
достаточно любимую тригонометрическую единичку.
Значит, это будет синус квадрат α пополам
плюс косинус квадрат α пополам.
Осталось поделить на косинус квадрат α пополам и
получить следующее: что это будет единичка
минус тангенс квадрат α пополам,
а здесь единичка плюс тангенс квадрат α пополам.
А сейчас попробуем решить некоторые тригонометрические уравнения.
Давайте рассмотрим, например, такое: косинус x умножить
на косинус четырёх x равняется минус единица.
Надо принять во внимание следующий факт,
что у нас с вами косинус x по модулю не превосходит единицу.
И в то же самое время косинус четырёх x по
модулю также не превосходит единицу.
Для того чтобы произведение этих чисел было равно минус единице,
есть две возможности.
Первая состоит в следующем, что у нас с вами косинус x равняется минус единице,
а косинус четырёх x равняется единице.
Здесь у нас получается x равняется
π плюс два πn, а здесь
получается четыре
x равняется два πk.
Или x
равняется πk пополам.
Давайте посмотрим эти точки на единичном круге.
[БЕЗ_ЗВУКА]
[БЕЗ_ЗВУКА] Итак, π плюс два πn.
Давайте мы этот единичный круг всё-таки
изобразим.
π плюс два πn — это вот эта точечка.
πk пополам — это точечки раз, два, три и четыре.
Видно, что есть общая точка x равняется π плюс два πn.
Второй случай, когда косинус x равен единице,
а косинус четырёх x равен минус единице.
Тогда x равняется два πn,
а здесь четыре x равняется
π плюс два πk.
x равняется π на
четыре плюс πk пополам.
Опять же, если посмотреть на единичном круге,
то два πn — это вот эта точечка, а π на четыре плюс πk пополам
— это вот такие точечки: раз, два, три и четыре.
Видно, что здесь нет совпадающих точек.
Таким образом, решением этого уравнения будет π плюс два πn.
Давайте проверим, косинус π плюс два πn — это минус единица,
косинус четыре π плюс восемь πn — это единица.
Итак, решение: x равняется π плюс два πn.
[БЕЗ_ЗВУКА]