Здравствуйте, мы добрались с вами до третьего раздела нашего курса под названием кооперативные игры, и начнем мы с вами с задачи переговорах и одним из классических решений для этой задачи, а именно арбитражного решения Неша. Вспомним классическую теоретико-игровую задачу семейного спора, в котором участвуют муж и жена, и их задачей является договориться о том, куда же они пойдут вечером: на футбол, в театр или никуда. Конечно, и муж, и жена хотят выбрать тот вариант, который будет интересен им обоим. Рассмотрим теоретико-игровую задачу. Это биматричная игра, у каждого из игроков есть по две чистых стратегии. У мужа это x1 и x2: поход на футбол или в театр, и у жены это игры y1 и y2: тоже поход на футбол или в театр. В этой игре у нас четыре ситуации: в ситуации (x1,y1) выигрыш игроков 4 и 1, потому что муж больше получает удовольствие от похода на футбол, чем жена, и в ситуации (x2,y2) выигрыш у нас 1 и 4, потому что жена получает больше удовольствия от похода в театр, чем муж, но это, так сказать некоторые статистические выводы. Дальше, в ситуациях (x1,y2) и (x2,y1), муж и жена получают выигрыши равные нулю, то есть если они не договорились о том, что они пойдут в одно и то же место, то тогда они не получают удовольствие, и выигрыш у нас имеет такой вид. Как мы с вами помним из второго раздела нашего онлайн курса, мы можем найти ситуации равновесия по Нэшу в данной игре. Первая ситуация равновесия по Нэшу - это (x1,y1). Почему? Потому что каждому из игроков, и мужу, и жене невыгодно отклоняться от этой ситуации, потому что в обоих случаях получают выигрыш равный нулю. Вторая ситуация равновесия по Нэшу - это (x2,y2), каждому из игроков и мужу, и жене невыгодно отклоняться от этой ситуации. И конечно, есть ситуация равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях, а именно x* = (4/5, 1/5), и y* = (1/5, 4/5). Но это все таки ситуация равновесия по Нэшу. Наша задача, наша задача в рамках этого раздела состоит в том, чтобы определить, каким же образом игрокам и мужу, и жене необходимо договариваться о стратегиях. В ситуации равновесия по Нэшу в биматричных играх - это ситуация, которую неплохо было бы выбрать игрокам, если они принимают решение о стратегиях одновременно и независимо друг от друга. Вопрос, что произойдет если они могут договариваться? На слайде представлено множество всевозможных ситуаций в нашей игре или точнее множества всевозможных выигрышей, в зависимости от действий игроков. В вершинах а, b и R или в точке 0 у нас представлены выигрышы в чистых стратегиях, а именно, а - это если муж выбирает поход в театр, жена выбирает поход в театр, b - когда муж выбирает футбол и жена выбирает футбол, и 0 - когда они выбирают различные стратегии. Множество S - это так называемая переговорное множество. Точка d - это точка статус-кво. Об этом мы поговорим чуть-чуть позже. На осях определены выигрыши игроков. Что же такое задача о переговорах? Задача о переговорах, это задача выбора точки из переговорного множества, которое удовлетворяет некоторым заранее заданным аксиомам, но самое главное, чтобы это точка была выгодна для обоих игроков, то есть, чтобы выигрыш в этой точке был больше, чем если бы они не кооперировались. В данном случае за это у нас отвечает точка статус-кво, а именно вектор (d1,...,dn). Это вектор выигрышей игроков в случае, когда они не кооперируются. Способы определения такого вектора могут быть разные. В нашем случае мы используем равновесие по Нэшу, также могут быть использованы подходы max min и min max. Итак, задача нахождения такой функции фи, как функция от переговорного множества и переговоров и точки статус-кво. В случаи семейного спора (это у нас игра двух лиц) множество, всевозможных выигрышей или переговорное множество задаются тем множеством, которое мы видели с вами на графике, а точку статус-кво мы определим, как точку выигрышей игроков в ситуации равновесия по Нэшу, а именно в третьей ситуации равновесия или в смешанном равновесии по Нэшу. Перейдем к рассмотрению некоторого переговорного решения, начнем с классического арбитражного решения Нэша для игры n лиц. Когда мы определяем любое переговорное решение или любое кооперативное решение, об этом поговорим чуть позже, мы должны задать некоторый список аксиом. Эти аксиомы будут определять смысловую нагрузку этого решения. В нашем случае рассмотрим следующие четыре аксиомы: первая - парето оптимальность, вторая - симметричность, масштабная инвариатность и независимость от посторонних альтернатив. Рассмотрим первый - парето оптимальность. Что означает, что решение является оптимальным? Это означает что, не существует решения, которое лучше него по обоим параметрам, то есть для случая семейного спора это означает, что муж и жена не могут выбрать какую-то договоренность, которая даст им выигрыши лучше для обоих игроков. Симметричность, симметричность означает, что если мы изменим наши оси координат или изменим игроков, поменяем их местами, то решение все равно останется тем же самым, т.е. наше решение Нэша все равно останется тем же самым. Масштабная инвариатность - если мы с вами изменим каким-то образом множество выигрышей с помощью некоторой линейной преобразования, то наше арбитражное решение Нэша все равно останется тем же самым. Независимость от посторонних альтернатив - это более сложное, более важное свойство, оно говорит нам о следующем: если мы с вами выберем некоторое подмножество из множества нашего изначального переговорного множества, но в которое входит некоторое переговорное решение, которые принадлежит множеству, то тогда при пересчете нашего переговорного решения мы с вами получим опять его, то есть мы с вами получим то же самое решение на множестве S'. Мы с вами перечислили список аксиом, а именно четыре штуки, и теперь можем доказать, что существует единственная функция фи, которая удовлетворяет четырем аксиомам, и вывести аналитическую формулу для нее, которая представлена на слайде. Формула очень простая, однако возможности для ее расчета довольно ограничены, то есть мы можем использовать это для некоторых конечных задач статических, в общем виде, конечно, расчет ее немножечко усложнен. Эту функцию мы будем с вами называть арбитражным решением Нэша и обозначать через N(S,d). Рассчитаем арбитражное решение Нэша для задачи семейного спора. Переговорная множество, а именно множество определяемое многоугольником abcde, у нас является симметричным относительно точки статус-кво. Это, в свою очередь, означает, что арбитражное решение Нэша лежит ровно на середине отрезка ab и выигрыши для игроков у нас равняются 5/2 и 5/2. Для более точного изучения данного раздела и арбитражного решения Нэша, в том числе доказательство теоремы, которое было представлено слайдах, пожалуйста знакомьтесь с источниками.
