Теперь давайте объясним, что означает предел при x стремится к нулю на нашем примере. Вот есть функция sin x, который многие из вас помнят со школы, делить просто на x. Как устроен график синуса? Синусоидой. То есть такими вот значит туда-сюда колебаниями. Но что нам важно? Нам важно, что в районе нуля он, так сказать, он близок к нулю. А если я просто подставлю x = 0, то сверху будет ноль. Снизу, понятно, тоже будет ноль, и график, соответственно, этого выражения — он вот такой. Я хочу сказать, что отношения этих двух величин в нуле, на самом деле, определено. Как мне выразить эту мысль? Не то чтобы я собирался это доказывать, хотя в математике доказывается, что это отношение равно единице. Но я хочу выразить эту мысль строго логически — просто так ноль подставить нельзя. Поэтому нужно написать, что предел при x стремится к нулю синус x делить на x — вот этот предел равен единице, если для любой точности — опять я пишу о любой точности, да? для любой точности вычисления этого значения, значения синус x делить на x, для любой точности — назовем точность буковкой ε (эпсилон). Назовем её ε (эпсилон). ε — это точность вычисления, Существует окрестность окрестность нуля, окрестность нуля, некоторая окрестность нуля, назовем ее δ (дельта). Тут уже, если кто когда-то изучал по книгам математический анализ тут же узнает много чего. Назовем ее δ, такая, что в пределах вот этой δ-окрестности — вот я беру ε, я хочу вычислить точность вот этого выражения, вот оно как-то себя ведет там как-то, я не знаю, как, но вот я утверждаю, что она, на самом деле, приближается к единице. Вот что я хочу доказать? Я хочу доказать, что какую бы точность вычисления ε я ни взял, я могу по оси иксов — вот это точность по оси игреков вокруг единицы. Это 1 + ε и 1 − ε, и я хочу вычислить вот с заданной точностью, то есть попасть в этот интервал, засунуть график моей функции в этот интервал. И всегда существует такая окрестность, вот такая вот, нуля — ± δ. Да? ± δ, такая, что для любого значения x в пределах вот этой вот окрестности, для любого значения x синус x делить на x, который можно вычислить в x, в x, если x ≠ 0, то можно просто взять и вычислить. Так вот, вычисленное значение от единицы будет отличаться меньше, чем на ε, то есть значение синус x делить на x попадает вот в такой вот диапазон, вот в такой диапазон попадает — между 1 + ε и 1 − ε. То есть как бы точно я ни хотел засунуть эту функцию в интервал между 1 + ε и 1 − ε, я всегда могу это сделать путем достаточно близкого приближения к нулю, то есть указать такую окрестность нуля, что где бы здесь я ни взял уже x, я вычислю именно с этой точностью, заданной мне. Ну и вот, к сожалению, это сложно, действительно сложно. мы не можем просто взять и подставить, и любой подход, который связан с тем, чтобы определить это значение в нуле и действительно сказать, что это равно единице, он все равно так или иначе связан с вот такими предельными переходами, с приближениями. Это такая как бы неустранимая сложность жизни, неустранимая сложность жизни, и она, собственно говоря, вот эта сложность жизнь и изучается в математическом анализе, это ворота математического анализа, по сути. И мне кажется, что каждый человек должен немножко быть с этим знакомым.