Learn how to think the way mathematicians do – a powerful cognitive process developed over thousands of years. Mathematical thinking is not the same as doing mathematics – at least not as mathematics is typically presented in our school system. School math typically focuses on learning procedures to solve highly stereotyped problems. Professional mathematicians think a certain way to solve real problems, problems that can arise from the everyday world, or from science, or from within mathematics itself. The key to success in school math is to learn to think inside-the-box. In contrast, a key feature of mathematical thinking is thinking outside-the-box – a valuable ability in today’s world. This course helps to develop that crucial way of thinking.
Lecture 10B - Real Analysis 2
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Del curso dictado por Stanford University
Introduction to Mathematical Thinking
1371 calificaciones
De la lección
Week 8
In this final week of instruction, we look at the beginnings of the important subject known as Real Analysis, where we closely examine the real number system and develop a rigorous foundation for calculus. This is where we really benefit from our earlier analysis of language. University math majors generally regard Real Analysis as extremely difficult, but most of the problems they encounter in the early days stem from not having made a prior study of language use, as we have here.
Conoce a los instructores
Dr. Keith DevlinCo-founder and Executive Director
H-STAR institute
Bienvenidos de nuevo, como se suele decir en los medios. Donde las respuesta correctas número 2 y
número 3. 5 no es el máximo elemeto de este
intervalo, de hecho, 5 no es, de ninguna manera, un elemento de este intervalo.
Esto, recuerda, es un conjunto de todas las x pertenecientes a los reales, en las que 0 es estrictamente menos que x,
estrictamente menos que 5. Así que 5, en sí mismo, no es allí un miembro.
Así que no solo no es el máximo elemento, sino que no es un elemento en absoluto.
7 no es actualmente un elemento de este intervalo.
Por la misma razón que 5 no era un elemento de este intervalo
Pero sin embargo, 7 es todavía el extremo superior.
No hay un menor extremo superior en ese intervalo que 7.
Así que es un extremo superior. O sea que extremos superiores no es lo mismo que máximos,
y en este caso, 0 es un miembro de ese conjunto.
Ese intervalo está definido, recuerda, como un conjunto de los reales, en los que 0 es menor que o
igual a x menor que o igual a 1. Y, en ese caso, los extremos 0 y
1 son elementos de ese intervalo. Así que 0 está incluido, y claramente es
el elemento mínimo de ese intervalo. Bien, la respuesta de que es el primero es
correcta. Es por lo que se suele decir que
la línea de los racionales es densa. Entre dos racionales cualesquiera, puedes encontrar un
tercero. El segundo es realmente verdadero, pero
no expresa densidad. No expresa densidad, porque
si es o no un número irracional entre dos racionales es algo
irrelevante. Esto es, la cuestión es sobre si la
línea de los racionales es densa. Y esto consiste en realizar definiciones
sobre la recta de los reales. Asi que es verdadero, pero irrelevante para
la noción de densidad de la recta real.
Así que eso no es verdad. Quiero decir, eso es verdad, pero no es la
respuesta a la pregunta. Y eso es lo que de hecho expresa
la noción de integridad. Ahora, si por un extremo superior, queremos decir
extremo superior en los racionales y los racionales en Q, entonces eso querrá decir
que la línea de los racionales está completa. Lo cual es falso, si interpretamos sin embargo
principalmente esto, todo conjunto de racionales que está limitado por arriba tiene al menos extremo superior
en los números reales, entonces eso sería un ejemplo de la integridad de la
recta de los reales. Y eso asegura que la existencia de
extremos superiores es lo que distingue a los reales de los racionales y eso es lo
que hace a los reales un sistema muy poderoso.
Para hacer matemática avanzada y cálculo en particular, y
demostrar el, el hecho de que los racionales no está completo es lo que
demuestra [INAUDIBLE] el empobrecido nicho de los racionales en
términos matemáticos y para hacer cosas como cálculos.
Bien, ¿como lo llevas?. Lo que quiero hacer ahora es, bien, en este momento
lo que quiero hacer realmente es presentar los inicios del tema conocido como
análisis real. O sea, no es análisis real como opuesto
a análisis falso. Real aquí se usa como abreviado de números reales.
Bien, por el sistema de los números reales si
prefieres. Es el análisis de los números reales.
Y voy a empezar con un teorema. La linea de los racionales no está completa,.
Ahora, si has hecho ese ejercicio, el ejercicio 10.1 que te habiá pedido que
hicieras, deberías estar familiarizado con lo que significa.
Pero dejame recordarte en caso de que hayas decidido jugar, si el juego consistía en avanzar
sin hacer el ejercicio. Bien, déjame recordarte lo que
significa integridad. Si un subconjunto de los reales tiene un extremo superior, entonces tiene al menos
extremo superior en el conjunto de los reales. Eso es lo que era integridad como un
producto de reales. Pero como mencioné en su momento, estas
nociones se aplican tambien a cualquier conjunto. Así que en términos de los racionales,
integridad significaría si A es un conjunto de racionales que contienen un extremo superior, entonces
contiene al menos extremo superior en los racionales.
Lo que dice el teorema es que esta propiedad no sirve para los
números racionales. Recuerda, [INAUDIBLE] para los números reales
aquí. Pero si sustituí R por Q y hablé sobre
los numeros racionales, entonces esta propiedad no correspondería.
Sí que corresponde sin embargo a los números reales.
Ahora, existe la propiedad de integridad para la recta de los números reales.
No vamos a ser capaces de probar eso pero, seré capaz de indicar como es posible
construir los reales de manera que sea posible probarlo.
De acuerdo, aquí va la prueba del teorema. Sea A el conjunto de todos los racionales r, supongamos
que r es ahora negativo y r al cuadrado sea menor que dos.
Ahora quizás puedes suponer ya de qué va la cosa.
Esto va a limitar la propiedad de esa raiz cuadrada de 2, si es un
racional. Así que permíteme hacer un dibujo, es 0, es 2, A va
a ser un conjunto donde todo va a ser mayor o igual que 0.
Y A llegará hasta algún punto menor que 2.
Bien, A solo contiene racionales menores que 2, cuya raiz es menor que 2, por tanto
esos racionales también menores que 2, así que será algo como ésto.
Y todos sabemos que al acecho está en alguna parte la raíz cuadrada de 2.
Debería destacar que con este argumento, el argumento que estoy a punto de dar,
estamos hablando estrictamente de los racionales
Así que no voy a hablar de reales cualesquiera es por lo que aquí lo considero
un tanto vagamente. Es para ayudar a guiar nuestra intuición.
Es solo para motivar lo que viene a continuación.
Pero el argumento completo que doy va a ser en términos de números racionales, no
números reales. No escribí deliberadamente r menor que
la raiz cuadrada de 2, porque no hay tal cosa como la raiz cuadrada de 2 en los
racionales. Estoy usando conjuntos de racionales en este
argumento. Es un argumento sobre los números racionales,
no sobre los números reales. Bien, de acuerdo, A está acotado superiormente,
por ejemplo 2 es una cota superior, si quieres encontrar una, y 2 lo cumple perfectamente..
Voy a demostrar que A no tiene extremo superior.
Eso significaria que A es un conjunto de racionales que tiene una cota superior pero
no un extremo superior, y por tanto, la recta de los racionales no está completa.
Debido a que incompleta querría decir que cualquier conjunto de racionales con una cota superior en
los racionales tiene un extremo superior en los racionales.
Bien, ¿como podrá mostrarte que no hay un extremo superior?
Bien, sea x y Q cualquier cota superior de A y veamos que hay uno más pequeño.
De nuevo, permíteme subrayar, uno más pequeño en los racionales.
Recuerda, usamos la letra ! para indicar los racionales, porque Q significa cociente
y los números racionales son números que son cocientes o enteros.
No podemos usar la letra R para los racionales, porque R se usa para los números reales.
Lamentable, lo sé, pero en esto estamos. Y ya que estamos hablando de los
racionales, esa cota superior x, que vas a ser capaz de crear sobre p, donde p
y q son enteros. De hecho, pueden ser números naturales.
Ya que este conjunto A es un número positivo, entero y no negativo,
esto es, el conjunto A son racionales no negativos, es cualquier cosa a la derecha
del origen. Así que todo es positivo, y no
tenemos que preocuparnos aquí de los números negativos, así que esos dos enteros pueden elegirse
positivos y voy a mostrar que hay una cota superior menor.
Bien, supongamos que x al cuadrado es menor que 2
Ya sea menor que 2 o mayor o igual que 2.
Es uno de los dos. Vamos a ver qué pasa si x es menor
que 2. En ese caso, mirando a esta ecuación,
2Q al cuadrado es mayor que p al cuadrado. Ahora, al incrementar n, n al cuadrado dividido
por 2n más 1 incrementa sin límite. Así que podemos obtener un N tan grande que n
cuadrado partido por 2n mas 1 es mayor que p cuadrado dividido por 2q cuadrado menos p
cuadrado. Ahora, quizás no veas hacia donde vamos
con esto. Pero espero, que creas todo
lo que te he dicho. De acuerdo. asumimos que x al cuadrado es menos
que 2. En realidad, en un momento, llegaremos
a una contradicción, así que, la conclusión que vamos a sacar de ésto
es que x al cuadrado no es, de hecho, menor que 2, pero esto es donde empezamos.
Si x al cuadrado es menor que dos y debido a esta definición 2q cuadrado es mayor
que p al cuadrado. Bien, así que 2q al cuadrado menos p al cuadrado es
positivo, eso quiere decir que este número es un número positivo.
Y lo que estoy diciendo es ya que tenemos una n al cuadrado aquí y un
término lineal que implica aquí a n, más grande se hace N, se va haciendo mayor,
se hace tan grande como quiera. Así que puedo hacerlo suficientemente grande de manera que
este número e mayor que ese otro, y si arreglas éso, encontraremos que 2n
al cuadrado q al cuadrado es mayor que n más 1 al cuadrado p al cuadrado.
Bien, te dejo que uses el álgebra para llegar de allí hasta allí.
Por lo tanto, n más 1 partido por n al cuadrado veces p al cuadrado partido por q al cuadrado es menor que 2.
Rearreglando ésto, llevando esos términos al otro lado.
Ahora, sea y n más 1 partido por n veces p partido por q.
Ahora, observa que y es un número racional es el cociente de enteros y y al cuadrado
es menor que 2 Porque esto implica que y al cuadrado es menor
que 2. Por cierto, esto, por ahora, deberías
empezar a oler por qué empecé mirando este término .
Intenté conseguir este número y. Recuerda, empecé con una x como, como una
cota superior, y quería mostrar que hay una más pequeña.
Y voy a trabajar en esa dirección y he conseguido presentar esta y.
Así que y está en q y y al cuadrado es menor que 2. Por tanto y es un elemento de ese conjunto A, pero
espero un momento, y es igual a un número ligeramente más grande que 1 vez x.
Lo que significa que y es en realidad más grande que x.
Así que el número y que he construído está en el conjunto A, y sin embargo es mayor que x.
Bien, eso es una contradicción. Ya que x es una cota superior de A, esa
suposición debe de ser falsa. Así que x al cuadrado tiene que ser mayor que
o igual a 2, ¿de acuerdo?. Así que lo que he hecho ha sido coger una cota
superior de A. Voy a demostrar que hay una menor.
Y como primer paso para hacer eso, lo he demostrado por contradicción.
Esa, esa cota superior tiene que tener su cuadrado mayor que o igual a 2.
Ahora, vamos a avanzar, usando esta información extra, para demostrar que hay una
cota superior más pequeña, aumenta la posibilidad de que no haya ninguna x que sea un extremo superior.
Permíteme recapitular donde vamos. Sea A el conjunto de todos los racionales diferentes
de cero y que cumplen que r al cuadrado es menor que 2.
Hagamos que x sea una cota superior de A y pongamos x en la forma de p partido por q, donde p y q
son enteros. De acuerdo, asi, así que tenemos eso.
Y nuestro fin es demostrar que A tiene una cota superior más pequeña que x, por tanto,
no puede ser un extremo superior, lo cual demostraría que los racionales no están
completos y acabamos de demostrar que x al cuadrado es mayor que o igual a 2.
Por tanto, ya que la raiz cuadrada de 2 es irracional, x al cuadrado es estrictamente mayor
que 2. x es irracional, x al cuadrado no puede ser igual
a 2, así que es estrictamente mayor que 2. Así, ya que x igual a p partido por q, p al cuadrado
es mayor que 2 q al cuadrado. Voy a usar este hecho para encontrar una
cota superior de A más pequeña que x. Para hacerlo, voy a escoger n, un
entero tan grande, que lo siguiente es cierto.
n al cuadrado dividido por 2 n más 1 es mayor que 2q al cuadrado partido por p al cuadrado menos 2q
al cuadrado esto es, arreglando eso, p al cuadrado n al cuadrado mayor que 2q al cuadrado veces n
más 1 al cuadrado. Asi que arregla ésto con un poco
de álgebra y obtienes ésto, ésto es, p al cuadrado partido por q al cuadrado veces n partido por n
más 1 al cuadrado es mayor que 2. De nuevo, arregla eso y realiza un
poco de álgebra para conseguir eso. Sea y n partido por n más 1 veces p partido por q.
Entonces, y es un elemento de Q, y es un número racional.
Es un cociente de enteros. Así que pertenece a Q y aún más,
y al cuadrado es mayor que 2, por otra parte, ya que n dividido por n más 1 es menor que
1, y es menor que x, porque p partido por q es x y y es este tipo, veces x.
Así es, 6 es menor que x. Pero, para cualquier a en A, a al cuadrado es menor
que 2, es menor que y al cuadrado, así que a es menor que y.
por tanto, y es una cota superior de A, que es más pequeña que x.
Así que A no tiene extremo superior
Y esto prueba el teorema. Espero que mis matemáticas sean mejores que mi
escritura. Esto prueba el teorema.
Apunte final. La construcción de r de Q, puede hacerse
de muchas maneras diferentes, pero en todos los casos el fin es prevenir que un argumento
como el de arriba pasando por r. Y con eso, estás en la real pasarela
hacia el análisis moderno real. Para nuestro tema final en este curso, me
gustaría hablar un poco sobre las secuencias de números reales.
Estas están conectadas con una de las formas de construir los número reales desde los
racionales. Y nos dan también una técnica o un
concepto para realizar una terrible cantidad de trabajo en análisis de los reales.
Para decirlo de otra manera, las secuencias de los números reales son un gran instrumento en el análisis real
moderno, lo que quiere decir que son un gran instrumento para el cálculo.
Y cualquier cosa que sea un gran instrumento en cálculo, es un gran instrumento en ciencia e
ingeniería y tecnología. Así que sea como sea, las secuencias son un gran instrumento.
Ahora, ¿qué es una secuencia? Bien, coloquialmente, es una lista, a1,
a2, a3, y pongamos algunas comas aquí, de números.
Así que tenemos un número, un número, un número así hasta el inifinito.
La manera que expresamos normalmente esto e intentamos comprender esto, con extensión infinita aquí,
es escribiendolo y donde n va de uno a infinito, y esto es lo que
se llama una secuencia infinita. Si miras en libros de texto, encontrarás una
definición más formal de las secuencias de función desde el conjunto de los números
naturales en los números reales pero, para la propuesta que yo, el tipo de
cosas de las que quiero hablar aquí, es suficiente pensar en ello simplemente como una
lista infinita de números reales. Por ejemplo, la secuencia de los números
naturales 1, 2, 3, etcetera. Eso es una secuencia infinita.
En términos de nuestra notación, me gustaría escribir eso como n, para n yendo de 1 a
infinito. O podría tener la secuencia que
consiste simplemente en una secuencia infinita de 7s.
7 para siempre, y eso se expresaría de esta manera.
O podría tener la secuencia siguiente. 3, 1, 4, 1, 5, 9, etcétera, en cualquier posición
en los dígitos decimales de pi. Pero no hay una fórmula simple como ésta
para entender ésto. Debo usar alguna expresión como ésta,
o, déjame darte otro ejemplo. Podría tener la secuencia que consiste de
menos 1 hasta n más 1 desde n igual a 1 hasta inifinito.
Esa es una secuencia que consiste en más 1, menos 1, más 1, menos 1, más 1,
menos 1, etcétera. Ese es un ejemplo de lo que se conoce como una
secuencia alternante, lo que quiere decir que el signo alterna segun sigues la
secuencia. Bien, así que ésto es lo que son las secuencias, una
lista infinita de números. Ahora, vamos a ver el ejemplo siguiente,
mira la secuencia que consiste en los números 1 partido por n desde n igual a 1 hasta
infinito. De nuevo, esta es la secuencia 1, un medio, un
tercio, un cuarto, y así sucesivamente. Y de lo que tenemos que darnos cuenta es
que los números se acercan más y más a 0.
De hecho, escogerlo arbitrariamente cercano a 0. O este otro
1 más 1 partido por 2 elevado a n, desde n igual a 1 hasta infinito.
Ese consiste en los números 1 y un medio, 1 y un cuarto, y 1 y un
octavo, 1 y un dieciseisavo, y estos números son arbitrariamente cercanos a 1.
Y volviendo a este ejemplo, aquí, la secuencia 3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415,
3.14159, 3.141592, 3.1415926. Esa secuencia se coloca arbitrariamente cercana a
pi. Eso es hasta donde conozco la expansión
de los decimales, por cierto. Así que esas secuencias de la propiedad según
las recorres, tienden arbitrariamente cercanas a un número fijo.
0 en el primer caso, 1 en el segundo caso, y pi en el tercer caso.
Y hay una propiedad general aquí que vamos a comprender, mediante
una definición. Si los números en una secuencia n, n desde 1
hasta infinito, tiende arbitrariamente a aproximarse a un número fijo a, decimos que la secuencia
tiende al límite a, y lo escribo n flecha a según n flecha inifinito.
Una alternativa de notación es que lo escribamos de esta manera, límite con n
tendiendo a infinito de a sub n igual a a. No todas las secuenciencias tienden a un límite.
mira ésta por ejemplo, esta secuencia alternante, más uno, menos
uno, más uno, menos uno. Eso no se aproxima a ningún
número en particular, salta atrás y adelante entre más uno y menos uno
Este, de una manera trivial, no tiende a un límite, Este tiende al límite
siete. No tiende a él, sino que nunca
se aleja de él. Este no tiende a un límite de ninguna manera.
Estos números crecen y crecen y crecen.
Podríamos decir a veces que la secuencia tiende a infinito.
Pero eso está más allá del alcance limitado de lo que quiero hablar sobre
secuencias en este curso. La cuestión es, algunas secuencias no tienden
a un límite. Otras secuencias sí que tienden a un límite
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