Learn how to think the way mathematicians do – a powerful cognitive process developed over thousands of years. Mathematical thinking is not the same as doing mathematics – at least not as mathematics is typically presented in our school system. School math typically focuses on learning procedures to solve highly stereotyped problems. Professional mathematicians think a certain way to solve real problems, problems that can arise from the everyday world, or from science, or from within mathematics itself. The key to success in school math is to learn to think inside-the-box. In contrast, a key feature of mathematical thinking is thinking outside-the-box – a valuable ability in today’s world. This course helps to develop that crucial way of thinking.
Tutorial for Assignment 8
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Del curso dictado por Stanford University
Introduction to Mathematical Thinking
1371 calificaciones
De la lección
Week 6
This week we complete our brief look at mathematical proofs
Conoce a los instructores
Dr. Keith DevlinCo-founder and Executive Director
H-STAR institute
Creo que la tarea ocho realmente era difícil.
Aunque por el otro lado, viendo las discusiones en los foros, creo que
la mayoría pensó que era difícil porque aún no han hecho esta transición de pensar
de forma matemática. Estaban tratando de hacer algo que,
realmente no era necesario. Definitivamente este fue el caso
con esta pregunta. Recuerden las cosas que sigo
repitiendo; una de las esencias del razonamiento matemático es que tú
te preguntes antes que nada, ¿Qué se me está pidiendo?
¿Qué es lo que sé? ¿Qué es lo que esto me dice?
¿De qué clase de objetos se me está hablando? Y ¿qué es lo que necesito hacer en base...
...a mi objetivo? Así que tienes que hacer una pausa
haces una pausa, reflexionas y piensas al respecto. Lo que no haces
al menos al principio, es decir ¿me recuerda a algún problema que resolví con anterioridad
en el que pueda inmediatamente aplicar esa técnica anterior? Porque eso te puede
llevar en la dirección equivocada. Por ejemplo, hay varias palabras aquí.
En secundaria, una buena estrategia era buscar palabras clave
y tratar de relacionarlas con técnicas.
Pero realmente no es una buena estrategia, desde el punto de vista de matemáticas avanzadas
¿De acuerdo? Hay muchas preguntas, muchos problemas
que tenemos sobre cuadrados perfectos. O sobre los números naturales.
¿Y qué? Esta no es sobre los números naturales,
es sobre los enteros. Conjuntos de números completamente diferentes.
Bueno, no completamente diferente, es un conjunto de números más grande.
Entonces esta es sobre los enteros y el hecho de que algunas palabras se usan con frecuencia
en discusiones sobre los números naturales, muy bien, que así sea.
Me refiero a que las palabras son usadas para toda clase de contextos.
Muy bien, entonces esta es una pregunta sobre los enteros.
Y si es sobre los enteros, entonces por qué no hacemos que m sea igual a n igual a cero.
Entonces m al cuadrado más m n, más m al cuadrado es igual a cero, que es cero al cuadrado
y terminamos. Amigos, esta no es una pregunta capciosa.
Esta es una pregunta que llega al corazón del razonamiento matemático, y el corazón
del pensamiento matemático no es conocer muchas técnicas de matemáticas.
El corazón del pensamiento matemático es, ¿qué es lo que sé? Y ¿qué es lo que necesito hacer
con lo que ya sé? Y de qué estoy hablando.
Deténte, ve más despacio, reflexiona, piensa, el razonamiento matemático a este nivel no es
una carrera de velocidad. Todas las técnicas que te enseñaron en
secundaria, eran muy buenas para ser exitoso en secundaria.
Y sin duda te dieron habilidades
muy valiosas. Pero ya pasó, ya lo hicimos.
Si ya salimos de secundaria, si ya dominamos eso.
Entonces intentamos hacer algo más. Digamos que la secundaria te enseña cómo
colocar ladrillos. Lo que estamos haciendo ahora es ver cómo
tomar todos esos ladrillos, que son cosas valiosas qué tener, y usarlos para
construir una casa. Pasamos ahora de albañiles a
arquitectos. Sin duda necesitamos todos esos ladrillos
No estoy menospreciando a la secundaria ¿de acuerdo?
Usamos esas cosas todo el tiempo. Pero solo nos dieron las herramientas
básicas. Ahora estamos aprendiendo cómo usar
esas herramientas.
De eso es de lo que trata el pensamiento matemático.
Y a veces necesitamos muchas herramientas y a veces la podemos sobrellevar con algo
muy simple porque solo nos preguntamos, ¿qué es lo que estoy intentando hacer?
Y no nos dejamos seducir en creer que esta es solo otra variante
de algo que ya nos encontramos antes. Piensa que cada problema es un nuevo problema.
Entonces verás que las cosas son mucho más realizable porque te estarás concentrando en
pensar y no en aplicar técnicas. Muy bien, ese es el fin de mi sermón.
Bueno, no es realmente el fin de mi sermón porque de eso es de lo que trata el curso.
Pero por ahora permítanme seguir con la pregunta número dos.
En este probablemente nunca has visto
nada como esto antes. Así que empieza por preguntarte,
¿cómo puede ser que la respuesta sea un cuadrado perfecto?
¿Me refiero a cómo puede suceder? ¿Qué clase de cosa debe ocurrir?
Bueno, escribámoslo de esta manera. ¿Cómo podemos tener mn+1 igual a p al cuadrado
para algún p? En este punto, uno de esos ladrillos
que me enseñaron en secundaria se vuelve útil.
Porque si mn más 1 es igual a p al cuadrado, eso significa que mn es igual a p al cuadrado menos 1.
Y uno de esos ladrillos que practiqué en la secundaria fue que p al cuadrado
menos 1 es p menos 1, p más 1. Así que lo que estamos por hacer es tomar
algo que practicamos en la secundaria y hacer un buen uso de ello.
¿Todo bien? Porque, si mn es p menos 1 p más 1,
entonces podemos tener que m es igual a p menos 1 y que n es p más 1.
En ese caso, p sería m más 1. Ahora, m es el númeor que nos dan.
Estamos tratando de encontrar algún n. Y estoy usando esto solo para decir, ¿qué
podría ser n? ¿Cómo debe ser n?
Así que dada una m, seremos capaces de tomar p igual a m más 1.
Y después de este, n es igual a p más 2.
Y ahora ya encontramos a la n. Es m más 2.
¡Ups! m más 2.
¿Está bien? p es m más 1.
P es m más 1 y n es p más 1. Así que n es m más 1.
Así que dada la m, ya encontramos n. Así que dada m, solo estoy resumiendo ahora.
Dada m, toma n igual a m más 2. Entonces mn más 1 es igual a m, m más 2 más 1
lo que es m al cuadrado más 2 m más 1 que es m más 1 al cuadrado.
Así que encontramos la respuesta, Hemos dicho que dada una m
toma n igual a m más 2 entonces mn más 1 es m más 1 al cuadrado que es
un cuadrado perfecto. Ahora, si no hubiera pasado por esto.
Parecería que fue un truco como un conejo del sombrero de un mago.
E infortunadamente, es una consecuencia de la forma en que los matemáticos escriben
con frecuencia sus artículos, no incluyen todo el razonamiento, ellos solo te dan las
conclusiones. Este fue solo un ejemplo relativamente
sencillo. Pero si yo hubiera solo dicho dada una m n es m más 2, ¿por qué
tomamos m más 2? Tú hubieras dicho ¿de dónde se le ocurrió eso?
¿Qué le hizo pensar así? ¿Me entienden?
Entonces parecería que tengo algún tipo de habilidad mágica.
Y no la tengo. Solo dije, bueno, ¿cómo podría
obtener esa respuesta? Y después fue solo algo que aprendí
en la secundaria. ¿Está bien?
Así que ¿saben? Una de las técnicas es, solo decir,
¿cómo podría yo obtener la respuesta que se me pide encontrar?
Estoy diciendo esto en términos de, preguntas de salón de clases.
Pero el mismo asunto surge cuando estás tratando con problemas matemáticos
en el mundo real. Mira el problema, ¿qué es lo que te dice?
¿Qué tienes que hacer? ¿Cómo puedo obtener la respuesta
que estoy buscando? Puede que sea un simple ejemplo de salón
de clases pero tiene muchos de los elementos de un buen razonamiento matemático.
Y en este caso es ¿cómo puede surgir una respuesta y tan pronto la comienzo a analizar
simplemente sale ¿Está bien?
Reconocer esto, fue la clave completa a todo el problema.
Una vez hecho eso. Es sencillo.
Muy bien prosigamos y veamos la siguiente pregunta la número 3.
La pregunta 3 es otra de esas que cuando la ves por primera vez
Da la impresión de que está preguntando algo realmente
profundo. ¿Cómo puedo llegar a una cuadrática
que todos sus valores sean compuestos?
¿Cómo puedo garantizar que todos los valores son compuestos?
¿Saben? Suena como que va a ser realmente profundo,
pero no tan solo si tomas un respiro profundo.
Te tomas tu tiempo y dices, ¿cómo podría pasar?
Que los números sean compuestos. Bueno si son compuestos, tienen que ser
el producto de otros dos números. Muy bien, espera un minuto.
¿Por qué no tomamos? Si siempre va a ser el producto
de dos números enteros, hagámoslo el producto de dos números enteros.
Y contemplen que esto es sin duda de la forma n al cuadrado más bn más c, donde b y
c son positivos. Y eso es todo.
Acabamos de escribir uno de forma directa. No tuvimos que probar que uno existe,
con el que nos acabamos de topar lo demostró, lo hicimos con tan solo escribir uno.
Y todo lo que tenemos que decirnos a nosotros mismos es: "Oh, esto suena complicado, pero
no, todo lo que significa es que los valores son productos. Y formas cuadráticas son productos.
Así que solo lo escribimos. Explícitamente lo hacemos el producto de dos
cosas. El valor siempre será el producto de
dos números, n más 1 y n más 2.
Y eso es para todos los enteros positivos. Así que tendremos tal vez 2 y 3, o lo que sea.
Así que estos son siempre mayores a 1. Así que esta cosa es compuesta.
n al cuadrado más 3n más 2 siempre es compuesto.
Eso es todo. No necesitamos nada de maquinaria avanzada.
Solo pensamos lo que el problema nos pidió hacer.
Muy parecido con este otro. Suena profundo, es sobre
la conjetura de Goldbach. Un problema que ha estado por cientos
de años, y no se ha podido resolver, cómo será posible que hagamos algo con la conjetura
de Goldbach. Bueno, la respuesta es, solo mira
lo que nos dice y lo que nos pide hacer con ella.
La cosa número 1 es observar que esto nos habla sobre números n mayores que 5
y que sean impares. Bueno, si n es un entero impar mayor que 5,
entonces n es de la forma 2k más 3, donde k es mayor que 1.
Me refiero, normalmente pensamos sobre los números como de la forma 2k más 1.
Pero ya que estoy buscando por números primos aquí.
Voy a escribirlo como 2k más 3. Y puedo hacer eso porque n es mayor que
5. Así que los números mayores que 5, cualquier
número impar mayor que 5 es de la forma, 2k más 3 donde k es mayor que uno.
Bueno, en ese caso, ya que 2k es mayor que 2, porque k es mayor que 1, 2k es
un número par mayor que 2, así que por la conjetura de Goldbach 2k es igual a p más q
donde p y q son primos. En ese caso, n que es 2k más 3 es p
más q más 3. La suma de tres primos.
Terminamos. De hecho, no fue nada difícil.
Una vez que pensamos un poco sobre lo que dice.
Toda la complejidad está en este problema sin solución, la conjetura de Goldbach.
Si asumimos la conjetura de Goldbach, lo cual tenemos permitido porque dice
si es cierta, entonces cada número par mayor que 5 es la suma de tres primos, uno
de los cuales en el caso de nuestra demostración es 3. ¡Eso era todo!
¿Todo bien? De hecho no fue nada difícil.
Solo parecía que podía ser cuando lo vimos por primera vez.
Así que otra lección que podemos aprender es no te deprimas solo porque algo luce
complicado. Hasta que lo piensas, realmente no sabes
si es complicado o no. Muy bien.
Un par más en esta hoja de tarea y terminamos con ella.
Las preguntas cinco y 6, las últimas dos tratan de demostraciones por
inducción, y entonces lo que voy a hacer es voy a hacer el número 5, y después
te dejaré hacer el 6, si ya lo intentaste y no pudiste y viniste aquí buscando
una respuesta. No la vas a encontrar de forma explícita.
Pero con suerte, al verme hacer el otro ejercicio, específicamente el 5,
deberás ser capaz de regresar y hacer el número 6. Porque ambos son muy similares.
Al menos estos que te estoy dando son todo muy similares.
No todas la demostraciones por inducción son similares. Pero estas, las que te estoy
dando de teoría de números son muy similares. Muy bien.
Ahora, la primera cosa que tienes que hacer es expresar esto en la forma de alguna
ecuación que conozcas, con una fórmula en ello. Porque de otra forma vamos a tratar con
esta expresión, la suma de los primeros n números impares.
Así que vamos a tener que escribir una fórmula para la suma de los primeros n
números impares. Así que lo que nos pide hacer es demostrar que 1
más 3 más 5 más y luego el enésimo es 2n menos 1.
Ahora tenemos que mostrar que es igual a n al cuadrado. Muy bien.
La parte más difícil de todo esto es discernir qué es el último término.
Muy bien. Así que eso es lo que tenemos que demostrar
y lo vamos a hacer por inducción. Nos dicen que hay que usar inducción,
así que tenemos que comenzar mirando al primer caso.
Para n igual a 1, esto se vuelve solo 1 igual a 1 al cuadrado lo que es cierto.
Así que es verdadero para n igual a 1. Muy bien, ahora asumamos el resultado.
Llamemos a eso estrella. Así que ahora asumo estrella.
Y ahora tengo que probar el mismo, resultado correspondiente con n más uno
en lugar de n. Así que porqué no solo agrego el siguiente
término a ambos lados. El siguiente término sería 2n más 1.
Así que ambos lados de estrella, en cuyo caso ahora tengo 1 más 3 más 5, más 2n menos 1,
más 2n más 1. Este es el primer n más 1.
Muy bien, ese es el primer, n más 1, número impares.
Este es el siguiente caso en la inducción. Y ahora cuando agrego 2n más 1 al
lado derecho, se vuelve qué. Un momento, ahora puedo usar otro
de esos ladrillos que aprendí en secundaria.
Gracias a mis maestros de matemáticas de secundaria. Porque ahora, puedo
obtener este directamente. Este me lo hicieron aprender.
Es muy bueno tener estas cosas al alcance de mi mano.
Eso es n más 1 al cuadrado. Terminamos.
Es la misma fórmula con n más 1 en lugar de n.
No fue para nada difícil. De hecho, todo lo que necesité
para resolver este, lo aprendí en secundaria. Lo que no aprendí en secundaria
al menos no muy bien fue cómo hacer una estrategia ante un problema nuevo.
Y de eso es de lo que se trata este curso. Esto es, cómo tomas todas esas grandes
cosas que aprendiste en secundaria, y haces estrategias, y las usas y obtienes
nuevos resultados, y piensas en nuevos problemas. Pero antes de so, tienes que
preguntarte, cuál es el problema que me dan, qué es lo que sé acerca de él, y qué es lo
tengo que demostrar. Y si lees mal una oración, vas a terminar
haciendo el problema equivocado. Y hubo mucha gente en los foros
que escribían sobre ya sabes, demostré todas
mis habilidades de secundaria con gran dominio, y resolví un problema
que no era el que tenía que resolver. Bueno, en este curso hay poco castigo
por hacer eso, bueno otro que el que te sientas mal.
Pero bueno, si este no fuera un curso, si estuvieras en una gran compañía
puede ser que te quedaras sin trabajo o te cambiaran a un trabajo menos interesante.
Así que esta es una experiencia con poco castigo por pensar matemáticamente.
Esta es la razón por la que estos MOOC son geniales. ¿Muy bien?
Bueno, como dije, voy a dejar que hagas la pregunta 6, y habiendo visto
otro ejemplo, espero que no te decepcione tantas fórmulas y la complejidad en la
pregunta 6. Solo es pensamiento lógico, ¿está bien?
Razonamiento matemático. Muy bien.
Eso fue toda la tarea 8. Parecía difícil en su momento, de hecho
fue difícil. Pero espero que ya no lo parezca
ahora. No es difícil, si te vuelves un buen
pensador matemático, y eso es un logro, de eso se trata todo esto.
Muy bien.
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