Ces quelques leçons de mécanique lagrangienne font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton https://www.coursera.org/learn/mecanique-newton 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne Le formalisme de Lagrange permet une résolution efficace de problèmes complexes de mécanique. Il permet aussi d'apporter un éclairage plus fondamental sur les lois de conservation (théorème de Noether). A titre d'illustration de la méthode de Lagrange, on traitera le problème très important des oscillateurs harmoniques couplés, exprimé comme un problème de valeurs propres et de vecteurs propres. On termine avec un formalisme permettant d'analyser les résonances paramétriques, notion illustrée par l'expérience montrant la stabilité d'un pendule inversé forcé.
25.1 Méthode de Lagrange
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De la lección
Méthode de Lagrange
La méthode de Lagrange permet de résoudre de manière très efficace des problèmes d'une grande variété en utilisant des coordonnées généralisées. Ici, les équations de Lagrange sont démontrées pour des systèmes de points matériels soumis à des contraintes qui s'expriment sous la forme d'équations pour les coordonnées généralisées. Une généralisation sera vue plus loin.
Impartido por:
Jean-Philippe Ansermet
Professeur
Bonjour.
Bienvenue au cours de physique générale de l'ÉPFL.
Dans cette leçon, je vais introduire une méthode
extrêmement efficace pour obtenir les équations du mouvement.
Je l'appelle la méthode de Lagrange, et les
équations sont connues comme les équations de Lagrange.
Ce chapitre, typiquement, fait partie d'un
cours qu'on appelle mécanique analytique, la mécanique
analytique permet de révéler toutes sortes
de structures fondamentales, importantes, de la mécanique,
mais ici, ce que j'introduis, ne sert au fond que à donner une méthode
pour résoudre les problèmes de mécanique que vous avons vus jusqu'à maintenant.
Dans un premier temps, on va considérer un système mécanique avec
des contraintes simples, on va voir combien le système a de degrés de
liberté, on va devoir définir ce qu'on appelle un degré de liberté, on va voir
les déplacements virtuels compatibles avec les contraintes du problème,
cela va nous permettre de définir ce que je vais
appeler des forces généralisées, on aura des coordonnées généralisées, on aura
des forces généralisées, et enfin on va voir les équations
de Lagrange, qu'on va pouvoir appliquer à toutes sortes de situations.
Je commence avec les contraintes.
Alors, voilà le problème que je me pose.
J'ai N points matériels.
Je repère la position de ces grands N points matériels avec le vecteur r alpha.
Alpha égale un à N, c'est la notation qu'on
a utilisée jusqu'à maintenant pour un système de points matériels.
Maintenant, j'imagine que mon système est tel
que j'ai des contraintes géométriques que je peux exprimer de la manière suivante.
Vous voyez ici une série d'équations, ce sont des fonctions des positions
r un, r deux, r N, des N points matériels, cette fonction peut être aussi fonction
du temps, et j'ai k, équation de ce type-là.
Grand N, c'est le nombre de points
matériels, k, c'est le nombre de contraintes.
Quand on a des contraintes qui s'expriment ainsi par des relations
fonctionnelles des positions seulement, on dit qu'on a des contraintes holonomes.
On pourrait avoir des contraintes sur les vitesses,
ce serait différent, que ce qu'on a ici.
Ici on a ce qu'on appelle dans la littérature des contraintes holonomes.
Encore une fois, ces contraintes peuvent dépendre explicitement du temps, il
faut ici voir une nuance, on
va supposer une certaine dynamique à ce système de N points matériels.
Donc r un, r deux, r N vont dépendre du temps,
ça c'est ce qu'on appelle une dépendance implicite du temps, mais on
peut avoir une fonction explicite du temps, qui est représentée ici par le
fait que le temps devient une variable explicite de cette fonction-là.
Par exemple, on a vu le problème de la
bille qui est astreinte à se déplacer dans un
anneau et l'anneau tourne autour d'un axe vertical, là
on un exemple de contrainte qui dépend du temps, explicitement.
Alors maintenant je définis cette notion extrêmement importante
en mécanique lagrangienne, la notion de degrés de liberté.
On retrouve d'ailleurs cette notion dans toutes sortes de domaines de la physique.
Ici, on s'est donné k contraintes.
Et on avait N points matériels,
donc on avait trois N coordonnées pour représenter les positions de ces N points
matériels, on peut choisir d'exprimer k de ces
trois N coordonnées en fonction des autres.
Il nous reste à ce moment-là trois N moins k coordonnées indépendantes.
Ce nombre trois N moins k de coordonnées indépendantes qu'il
faut, et qui suffisent à décrire la position du système
de points matériels, ce nombre que j'ai noté petit n,
c'est ce qu'on appelle le nombre de degrés de liberté.
On va utiliser des coordonnées généralisées, n, petit n
coordonnées généralisées, pour définir la position des points matériels du système.
Prenons un exemple.
Vous avez un point matériel, un seul, astreint à se déplacer sur une sphère.
Il faut deux angles pour définir la position de ce point
matériel, donc on aura deux degrés de liberté.
Si maintenant ce point matériel est attaché à un
fil, de longueur fixe, sans masse, qui est accroché au pôle
Nord, de cette sphère, alors vous n'avez plus que un degré de liberté.
Votre point matériel se déplace toujours sur une surface à deux dimensions,
la sphère, mais il suffit d'un seul angle, il suffit d'une
coordonnée généralisée pour décrire la position du point matériel.
Donc dans ce cas, le deuxième cas, on dira que n vaut un.
Alors, maintenant la notation usuelle, c'est
de noter ces coordonnées, pourquoi généralisées?
Parce que ça peut être ou bien une distance, ou bien un angle.
La notation usuelle c'est de les noter q un à qn.
Et maintenant les positions de nos grands N points matériels, sont données comme des
fonctions des coordonnées généralisées, et du temps, le temps pouvant
apparaître explicitement dans ces fonctions.
Pour vous souvenir un peu mieux de cette notation, si vous pensez à un solide,
le nombre de degrés de liberté d'un solide, on l'a vu, c'est entre un et six.
Le nombre de points matériels qui définissent ce
solide peut lui être beaucoup, beaucoup plus grand.
Donc j'ai utilisé grand N pour le nombre de points
matériels, petit n pour le nombre de degrés de liberté.
Prenons un exemple de contraintes qui dépend du temps.
Je vous invite à considérer la situation suivante.
On imagine, que ceci est une horizontale,
et qu'il y a une trappe qui s'ouvre dans ce plancher.
Ici, vous avez la trappe.
Et ici j'ai défini l'angle et je
suppose ici que j'ai quelque chose comme fois t, avec a une
constante, donc j'ai une équation horaire qui est fixée.
Quel est le nombre de degrés de liberté de ce problème?
Alors, je m'excuse.
Ici, au lieu d'un point matériel j'ai un bloc.
Ça, c'est l'objet donc je veux étudier la dynamique.
Combien de degrés de liberté j'ai pour ce bloc?
Eh bien, il y en a un.
On se déplace dans un plan vertical, ça c'est un
espace à deux dimensions, mais la coordonnée thêta étant
fixée, il y a que ce déplacement marqué par la coordonnée s,
qui est notre coordonnée généralisée.
Et maintenant je pose la question suivante: quel est le
déplacement que j'aurais, je parle d'un déplacement virtuel, quel est
le déplacement que j'aurais, si le bloc se déplaçait le
long de la contrainte quand j'enlève le mouvement de la contrainte?
Eh bien je l'ai noté ici delta r.
c'est un glissement le long de cette trappe.
Ça, j'appelle le déplacement virtuel compatible avec les contraintes.
Quand on a une contrainte comme cette trappe,
qui s'ouvre, ce déplacement
virtuel delta r, n'est pas la même
chose que vdt, ça serait dr, marqué ici.
Pourquoi?
Parce que dans un temps dt, il y a bien un déplacement du bloc le
long de la trappe, mais il y a aussi le fait que la trappe descend.
Donc on a un d de r qui est distinct du delta r.
Pour rendre les choses plus concrètes, examinons les coordonnées de position
x et y, x et y étant les coordonnées ici de, du centre de masse de ce bloc.
Alors je vais écrire x égale s cos at, où at c'est la valeur
de l'angle thêta, en fonction du temps, et y égale moins sin at.
Si maintenant je calcule la dérivée de x par rapport à s, vous avez cos at.
Si je calcule la dérivée de y par rapport à s, j'ai moins sin at.
Et vous voyez que ici on a cos at moins sin at, c'est un
vecteur unité dans cette direction-là, donc dans la direction du déplacement.
Donc, quand je prends un vecteur r comme
ceci, et maintenant je calcule d de r.
Ici, j'ai calculé d de r sur d de s.
J'ai un vecteur dans la direction tangente à la contrainte.
Et donc, si je multiplie par ds, si j'ai un
déplacement ds comme ceci, alors
j'obtiens mon delta r.
Donc, on voit comment on calcule un delta r dans
ce cas-là, qui est donc un déplacement virtuel compatible avec les contraintes.
Comment est-ce qu'on va faire pour définir le
déplacement virtuel compatible avec les contraintes en toute généralité?
Eh bien, on va considérer le vecteur position
de la particule alpha quand les variables, les coordonnées
généralisées q un, qn sont augmentées d'un certain delta q un, delta qn.
Et on fait la différence avec la position de la
particule alpha quand on est à une position donnée par q un et qn.
Encore une fois, si on n'avait que une coordonnée qui
varie, comme la coordonnée s pour le problème de la trappe.
On a juste ici, la, la, s qui varie d'un certain delta
s, et on compare avec le r qu'on a quand delta s égale zéro.
Et ça, ça nous donne le déplacement virtuel compatible.
Mais ici, on a plusieurs, on suppose dans toute généralité, qu'on a un
déplacement qui est défini par plusieurs coordonnées généralisées.
Et donc, si ces déplacements sont infinitésimaux,
je peux écrire ce delta r de la manière suivante
: je calcule la dérivée d de r
sur d de qj, et j'aurais pu écrire
j égal un à n, le nombre de degrés de liberté.
Et je multiplie par delta qj.
Au fond, pour calculer cette différence, je regarde
la variation quand q un varie, la variation
quand, variation de la position quand q un varie, quand q deux varie, quand qn varie.
Et je l'exprime avec cette règle
de développement limité qu'on connaît bien maintenant.
Maintenant, je vais m'attacher à faire une description de
la dynamique où je supprime les forces de contrainte.
On verra à la fin de la théorie, que on peut très bien calculer les contraintes
par la méthode de Lagrange, mais dans un
premier temps, on va s'attacher à les supprimer.
Donc, je vais faire une décomposition des forces.
Je vais supposer que j'ai des forces de contrainte et d'autres forces.
J'utilise le symbole, simplement F pour toutes
les autres forces, et donc les forces totales.
C'est les forces de contrainte, plus toutes les autres forces F.
Maintenant, j'écris pour un seul point matériel F égale
ma, et ici, j'ai écrit force moins masse fois l'accélération égale zéro.
Je considère un déplacement virtuel compatible avec
les contraintes, et je multiplie l'équation de Newton par cette
multiplication, donc c'est produit scalaire par ce
vecteur de déplacement virtuel compatible avec les contraintes, comme ceci.
Et dans cette équation-là, j'ai un produit scalaire
des forces de contraintes fois les déplacements virtuels.
Alors, vous vous souvenez qu'on avait dit que les forces de contrainte sont des
forces normales à la courbe ou à la surface qui définit la contrainte.
Sinon, ce serait une autre physique que cette force décrirait.
Donc, on a ce produit scalaire des forces
de contrainte des déplacements virtuels qui est nul.
Alors il nous reste ceci : ça c'est pour un moint matériel, et si
on a plusieurs points matériels, il suffit de sommer sur tous les points matériels.
On a une expression de la dynamique qui est plus complexe qu'avant, mais on a
quelque part simplifié le problème parce que
on a enlevé toutes les forces de contrainte.
Maintenant, je vais regarder dans le
principe, cette équation-là est connue comme le principe de D'Alembert.
Je vais dans un premier temps regarder ce
terme-là des forces, produit scalaire avec les déplacements compatibles.
Ça, c'est les autres forces du système, pas les forces de contrainte.
Je veux regarder ces termes-là, et qu'est-ce que je fais?
Je vais exprimer, je vous rappelle qu'on avait dit delta r alpha, le
déplacement virtuel compatible avec les contraintes, c'était la somme
sur toutes les coordonnées généralisées des dérivées, des positions dérivées
par rapport à la coordonnée qj fois une petit déplacement, un petit changement
delta qj de cette coordonnée.
Cette formule-là, c'est celle-là que je mets ici,
et je mets la somme sur j en avant.
Et maintenant, j'observe que je peux faire l'écriture suivante.
Je peux écrire somme sur j de ça fois delta qj.
J'ai écrit grand Qj fois delta qj, où ce grand Qj,
c'est ce qu'on appelle la force généralisée, cette, cette somme sur
les points matériels alpha égale un à grand N de ces produits-là.
Maintenant, je reprends encore une fois mon principe de D'Alembert.
Et maintenant, je vais porter mon attention sur
les termes cinétiques, donc les termes avec la vitesse.
Alors là, je suis un peu désolé, j'aime beaucoup ce chapitre.
Vous allez beaucoup aimer cette méthode ; je le sais pour avoir enseigné pendant de
nombreuses années, mais le passage qui vient maintenant est un peu lourd.
Alors je me propose, d'abord donner le résultat, et puis ensuite de le démontrer.
Donc, ce que je vais montrer, c'est ça.
Je vais montrer pour une masse, donc on va enlever
les sommes sur alpha, et c'est assez compliqué, sens de taille.
Je vais montrer que ce terme-là, je peux l'écrire comme ceci.
Alors vous reconnaissez quelque chose de sympathique dans cette formule, c'est le
une demie de mv carré, l'énergie cinétique de la particule de masse m.
Vous voyez que vous avez une somme sur j, somme sur les, sur des
déplacements des variations des coordonnées généralisées.
Ici, j'ai réécrit m dv sur dt comme mr point point.
Et maintenant, le delta r ; donc
je m'engage dans la démonstration de cette formule.
Le delta r, j'applique sa définition, j'ai donc une somme sur j qui vient.
Ensuite, je me dit que ce terme-là, je peux l'écrire comme la
dérivée par rapport au temps de mr point fois ça, c'est ce que j'ai écrit ici.
Mais quand j'écris cela, j'introduis bien le terme mr point point qu'on a là.
Mais j'introduis aussi le terme, parce qu'on a
un produit ici, donc on va avoir deux termes.
Et quand j'écris ce terme, j'introduis un mr point fois le
d sur dt de ça qu'on n'avait pas, donc je dois l'enlever.
C'est ce que j'ai écrit ici.
Ici, on a mr point, d sur dt de ça, et je l'enlève.
Bon, maintenant il faut qu'on travaille sur ces
termes-là et celui-là pour arriver au résultat final.
Alors d'abord, je remarque que si r ; on avait vu cette
structure de r exprimée en fonction des coordonnées généralisées et du temps.
Si r est comme ceci, alors la vitesse, pour calculer la vitesse,
comme q un est une fonction du temps jusqu'à qn fonction du temps aussi.
Pour calculer dr sur dt, il faut calculer dr sur d de qj
fois qj point, et puis pour le dernier terme, d de r sur dt.
Attention que là, on a un d rond, c'est pour dire que
on fait la dérivée là où t apparaît explicitement dans cette fonction.
Maintenant dans cette formule là,
on se souvient que
r comme c'est écrit ici est une fonction des q mais pas des q point.
Donc, en examinant cette formule, on va
dire que si je dois calculer d de v sur d de
qj point, pardon, d de v sur d de qj point, ce que j'ai écrit ici,
eh bien, ni ceci ni cela dépend
des qj point donc tout ce qui reste c'est d de r sur d de qj.
On a une drôle de formule ici dont on n'a
pas l'habitude qui vient de la structure qu'on s'est donné ici.
Alors, voilà que le d de r sur d de qj que j'ai là, je vais pouvoir le remplacer par
d de v sur d de qj point et vous
allez voir que ça, ça nous rapproche de ce résultat.
Maintenant, on doit encore voir qu'est-ce qu'on fait de ceci.
Alors, le d sur dt des d de r sur
d de qj où j'ai explicitement mis les variables ici.
Je dois calculer, maintenant, la dérivée par rapport à q un, qi, qn.
J'ai écrit ici somme sur i d carré r sur dqi dqj
et je somme sur i fois les qi point.
Et puis, j'ai aussi le d de r sur
d de qj qui est une fonction explicitement du temps.
D'ailleurs je dois mettre ce terme, il est là.
Maintenant, j'ai un d de qj ici et j'ai un d de qj là.
Je mets en avant cette dérivée par rapport à qj et il me
reste d de r sur d de qj, pardon, d de r sur
d de qi, qi point et là j'ai un d de r sur d de t, ce terme là.
Et là, je reconnais la vitesse.
Donc, j'ai d de v sur d de qj.
Alors voilà un deuxième résultat un peu bizarre, d sur dt de d
de r sur d de qj, ça vaut d de v sur d de qj.
Ça je vais l'utiliser ici.
Je réécris les résultats partiels.
Voilà le terme dont je me soucie.
Ici, j'ai simplement appliqué la relation qui
définit le déplacement virtuel compatible avec les contraintes.
Je suis arrivé à ce résultat.
Je le réécris ici où j'écris au lieu de r point point, j'écris v point.
Ici je reconnais un v et ici je reconnais un v aussi.
Et maintenant, ce d de r sur d de qj, je le remplace par d de v sur
d de qj point, et ce terme là, je le remplace par d de v sur d de qj.
Et maintenant, si
je me concentre sur ce terme-là, je dois y
reconnaître la dérivée par rapport à qj point de une demie de mv carré.
C'est ce que j'ai écrit ici.
Si vous devez faire cette dérivée par rapport à qj point, vous allez avoir une
demie fois le deux fois m fois v fois la dérivée de v par rapport à qj point.
C'est ce qu'il y a ici.
De façon analogue là, on peut dire que ce terme-là c'est
d sur d de qj de une demie de mv carré.
Eh bien, j'ai le plaisir de vous dire que
on a réussi à démontrer la formule que j'avais annoncée.
Comme je l'avais dit au début, c'est un passage un petit peu délicat.
Alors maintenant on est prêt.
On est parti de D’Alembert, on a ce terme-là qu'on peut exprimer de cette
façon-là, on a le terme de force qu'on peut exprimer avec des forces généralisées
et si on écrit simplement qu'une demie de mv carré c'est l'énergie cinétique
T et l'équation de D'Alembert dit ça moins ça
égale zéro donc j'ai ce terme-là moins le
terme de force, somme sur j fois les delta qj égale à zéro.
Et maintenant, ces coordonnées généralisées
sont indépendantes les unes des autres.
Je dois avoir cette équation-là quel que soit
le choix que je prends pour les delta qj.
Donc ce qu'il faut, c'est que le terme dans la parenthèse soit nul.
Et j'ai le plaisir de vous annoncer que
ça c'est la première forme des équations de Lagrange.
Si maintenant vous avez plusieurs particules, il faut ajouter
dans tout ce que j'ai fait des sommes sur alpha.
Vous ferez apparaître l'énergie cinétique, la somme des une demie de
m alpha, v alpha au carré, somme sur toutes les particules.
Et, on l'avait déjà vu, pour la force généralisée
il suffit de sommer ces termes-là sur tous les alphas.
Et, la formule revient à la même chose et vous
avez la même conclusion: les équations de Lagrange de premier type.
Maintenant, je vais particulariser
un problème où toutes les forces dépendent d'un potentiel.
Alors écrivons-le.
On va supposer que ces forces-là, toutes dérivent d'un potentiel.
Alors, je vais simplement ajouter le
terme pot pour dire qu'on a maintenant des dérivées, des forces
généralisées qui dépendent, dérivent d'un potentiel.
Le F dérive d'un potentiel, ça veut dire
si je l'écris en coordonnées cartésiennes que je dois calculer d de v sur d de x,
alpha i, i c'est la ième coordonnée, i va de un à trois.
Et puis, ici, on a d de xi sur d de qj.
C'est ce que j'ai écrit ici.
Et maintenant vous reconnaissez dans cette
expression quelque chose qu'on voit souvent.
On a d de v sur d de x, d de x sur d de qj.
Donc, tout se passe comme si on avait un d de v sur d de qj.
C'est ce que j'ai noté ici avec le signe moins, la force c'est moins le gradient
du potentiel, où le v, évidemment, c'est la somme sur tous les potentiels.
Pour rendre les choses plus explicites, je peux faire l'écriture suivante.
Je dis v est une fonction de x alpha un et x alpha un
c'est une fonction de q un jusqu'à qn, n nombre de degré de liberté.
Puis on a x alpha deux, fonction de q un, qn et cetera.
Et maintenant, je veux calculer d de v sur d de q un, par exemple.
Alors, q un paraît ici et là partout ailleurs donc il faut
bien calculer d de v sur d de x alpha un fois d de x alpha un sur d de q un.
C'est ce genre de terme qu'on a ici.
Maintenant, je
peux reprendre mon équation de
Lagrange et je vais mettre un q de cette forme-là.
Vous voyez que ce terme, mon moins dv sur
d de qj, je peux l'introduire ici, il passe de
l'autre côté du signe égale, il change de signe donc
ça devient plus, d de v sur d de qj.
Maintenant, le potentiel ne dépend en aucun cas des q point.
C'est impossible d'avoir un potentiel qui dépend des vitesses.
Donc je peux gratuitement rajouter le v dans ce terme-là
et j'ai l'équation qui a cette structure-là.
Alors je définis ce qu'on appelle le lagrangien, L qui vaut T moins
V et mon équation de Lagrange prend cette forme-là.
Vous pourriez vous poser la question, qu'est-ce qui se passe si on
a des forces qui dérivent du potentiel et des forces qui dépendent pas?
Alors, celles qui dérivent pas d'un potentiel, celles qui dérivent
d'un potentiel on peut faire cet exercice-là, passer de l'autre côté.
Et, pour les autres, on les laisse ici.
Et donc on a, en toute généralité, un L qui est défini pour
toutes les forces qui dérivent du potentiel et ici les forces généralisées,
NC pour non conservatives, celles qui ne dérivent pas d'un potentiel.
Voilà, vous avez toutes les formes possibles
des équations de Lagrange et maintenant il
faut encore voir comment on applique cette
méthode à toutes sortes de problèmes de mécanique.
C'est ce qu'on va faire dans le module suivant.
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