Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
3.1 Les lois de Newton
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Del curso dictado por École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
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De la lección
Les lois de Newton. Balistique.
Vous allez découvrir dans ce module les deux premières lois de Newton. Ceci vous permettra d'analyser le mouvement d'un point matériel dans le champ de la pesanteur (balistique).
Conoce a los instructores
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Bonjour Bienvenue au cours de Physique Générale de l'EPFL
Dans cette leçons je vais introduire les bases de la dynamique Newtonienne.
Suivant Newton, je vais commencer par définir
la quantité de mouvement par analogie avec ce qu'on appelle la quantité de matière.
Je vais ainsi définir l'état de mouvement d'un système.
Ayant une grandeur physique pour définir l'état de mouvement je vais pouvoir
énoncer comme Newton deux lois, la loi dite d'inertie et la loi sur la dynamique.
Je commence avec la définition de la quantité
de matière.
La quantité de matière, d'habitude on l'appelle la masse.
Cette masse est une grandeur physique dite extensive.
Ce qu'on veut dire par extensive c'est que si on considère un système formé de deux
sous-parties, et qu'on connait la masse de chacune
des sous-parties, alors pour le tout, le système
entier a une masse qui vaut la somme des masses.
Ce caractère additif d'une grandeur physique on appelle l'extensivité.
Alors la quantité de matière, la masse, est une grandeur extensive.
La masse est aussi une grandeur conservée.
Ce que je veux dire par là c'est que si un système devait changer de masse c'est
ou bien de la matière quitte le système ou arrive
dans le système. Vous pouvez penser à une fusée, une fusée
éjecte de la matière alors sa masse varie. Mais la masse globale reste conservée.
Par exemple, on peut définir un système fermé, un
système qui n'échange pas de matière avec le monde extérieur.
À propos, l'opposé s'appelle un système
ouvert, un système qui échange de la
matière avec l'extérieur est un système ouvert.
Si on a un système fermé la masse,
quelle que soit l'évolution du système, est constante.
ou, comme on dit aussi, est conservée. Pour me
conformer avec le Système International des unités,
j'imagine que j'ai une fois pour toute, défini un étalon de masse.
Ça veut dire que j'ai aussi des copies de cet étalon et des multiples de cet étalon.
Et je dois maintenant définir une expérience par laquelle je
décide si la masse que je considère est égale à un certain multiple de l'étalon.
C'est important en physique de définir des
expériences même virtuelles mais qui explicite un concept.
Einstein avait popularisé cette façon d'expliquer les sciences
et ici j'applique cette approche, je veux définir une
méthode expérimentale qu'on ne réalisera peut-être pas parce
qu'il y a trop de difficultés mais qui conceptuellement
nous permet d'identifier ce qu'on appelle l'égalité des masses.
Alors je vous propose le schéma suivant : Vous avez
un banc à air, ceci est un banc à air, on
insuffle de l'air ici, l'air sort par les trous, on
peut ainsi négliger le frottement qui s'exerce sur les deux plots.
Un des plots sera multiple
de l'étalon connu, un multiple connu, et l'autre c'est la
masse qu'on veut mesurer. Alors, j'imagine qu'entre les deux il y a
un dispositif tel un ressort comprimé et j'imagine
que je peux délicatement relâcher le ressort.
à partir d'un état au repos, donc le système entier est au repos
par rapport au banc à air qui est présumé être dans le référentiel.
Alors je dois observer si les deux masses sont égales je dois observer des
vitesses d'éjection des deux plots égales et opposées.
Maintenant ayant défini une quantité de matière, la masse,
j'aimerais définir une quantité de mouvement.
Je veux une grandeur physique qui caractérise l'état du mouvement.
Cette grandeur doit avoir un caractère vectoriel.
Je dois avoir une direction du mouvement, un
sens du mouvement et une intensité du mouvement.
Donc je veux une grandeur vectorielle.
Je veux aussi une grandeur extensive
à nouveau. Cela veut dire que si j'ai
deux sous-systèmes qui ont des quantités
de mouvement données la quantité de mouvement du système
entier est la somme des quantités de mouvement des deux sous-systèmes.
Donc je veux une grandeur extensive. Je peux maintenant
passer à la première loi de Newton.
Newton disait : Tout corps persévère dans l'état
de repos ou de mouvement uniforme en ligne
droite, à moins que quelque force n'agisse sur
lui, et ne le contraigne à changer d'état.
D'abord je
note qu'on parle de mouvement donc on doit s'être
donné un référentiel et on verra avec la pratique que
cette première loi de Newton au fond, nous définit un certain type de référentiel.
D'ailleurs on va leur donner un nom tout à l'heure.
D'autre part je constate que l'idée d'avoir un corps libre de toute
force, est présumé être une idée évidente. On verra que lorsqu'on
travaille avec les référentiels accélérés cela devient moins évident.
Enfin, il faut noter du point de vue de
l'histoire des sciences, une évolution extraordinaire; on a maintenant
érigé en principe l'observation selon laquelle, observation que faisait
déjà Galilée, selon laquelle un point matériel libre de
force suit un mouvement rectiligne uniforme, Galilée
avait appelé ce mouvement le mouvement naturel.
On n'est plus du tout en train de chercher une cause à un mouvement existant.
On va définir comme référentiel d'inertie, un
référentiel dans lequel la loi d'inertie est vérifiée.
On appellera ce référentiel un référentiel d'inertie.
J'aimerais faire une remarque à ce sujet, on n'est pas en train
de faire des maths, on fait de la physique, il y a
un coté pragmatique à cette définition, en effet, si vous voulez considérer quelque
chose, un phénomène comme la trajectoire d'une craie que vous lancez
dans l'auditoire, alors, probablement que l'auditoire est un assez bon référentiel.
On verra quand on fera la dynamique terrestre, on verra que si on
s'aventurait à faire des mesures extrémement précises, on serait
obligé de se dire il y a une petite déviation c'est
une très petite déviation, il y a une petite déviation dont
on ne rend pas compte et cela vient du
fait que le référentiel n'est pas un référentiel d'inertie.
On peut aussi faire une expérience particulièrement subtile et
on la fera, c'est l'expérience du pendule de Foucault
qui permet en l'espace de dix minutes de voir
que décidément cet auditoire n'est pas un référentiel d'inertie.
Donc le choix
du référentiel, déclarer si ce référentiel est
d'inertie ou pas va dépendre du type de
mesure, de la nature de l'expérience et de la précision des mesures qu'on va faire.
Je veux maintenant donner une définition de la force.
Je veux donner une expérience
même virtuelle qui me définit la force.
Alors je suppose qu'un point matériel subit une force que je veux mesurer.
Je me munis d'un dynamomètre et j'accroche ce dynamomètre
avec l'aide d'un fil à mon point matériel qui subit la force que je veux mesurer
et bien la lecture du dynamomètre me donnera l'intensité de la
force et la direction du fil me donnera la direction de la force.
Encore une fois, il est important que
les grandeurs physiques que l'on veut traiter puissent
être définies par des expériences, même si
ces expériences sont délicates à conduire avec précision.
Je passe maintenant à la deuxième loi de Newton.
Newton disait : les changements de mouvements
sont proportionnels à la force motrice et
se font dans la ligne droite dans laquelle cette force est imprimée à l'objet.
Alors il faut un peu traduire en langage
moderne, l'expression de Newton, la deuxième loi.
D'abord ce que l'on
appelait force motrice à l'époque de nos jours c'est la
force fois le temps pendant lequel la force est appliquée.
Ensuite quand Newton dit le changement de mouvement, il faut y comprendre
le changement de l'état du mouvement donc le changement de la quantité de mouvement.
Si je veux transcrire
la deuxième loi de Newton dans le langage
moderne avec la notation vectorielle, je vais écrire ce que j'ai
indiqué ici, P c'est la quantité de mouvement, et j'ai donc la dérivée
par rapport au temps de la quantité de mouvement qui est égale à la force.
À ce stade-là, j'ai admis qu'il existe
une grandeur vectorielle, extensive qui
caractérise l'état du mouvement mais je ne sais pas encore comment exprimer
la quantité de mouvement en particulier en fonction de la masse et de la vitesse.
Je donne maintenant un argument qui va nous convaincre que
la quantité de mouvement c'est la masse fois la vitesse.
Je commence
avec la masse.
Alors, le fait que la masse est une grandeur extensive et la quantité de
mouvement est aussi une grandeur extensive a une conséquence dans cette histoire.
En effet, si maintenant je considère un système de taille
donnée et j'en prends des multiples, alors je vais en prendre des multiples
réels, je vais appeler k ce nombre réel, j'imagine
que j'augmente la taille du système par un coefficient k.
La masse du système est une grandeur extensive
alors on aura k fois la masse d'un système.
Et pour la quantité de mouvement on aura quelque chose de semblable;
on doit écrire que la quantité de mouvemement d'un système
qui a k fois la masse m à une
vitesse donnée on va prendre tous les systèmes à la
même vitesse, ça doit être k fois la quantité
de mouvement qu'on aurait pour un système à cette vitesse.
Et maintenant je considère cette expression là
comme contenant de chaque coté du signe égal une fonction
de k.
Alors ici on a un fonction de k assez simple, ici on a
p qui est une fonction de k(m) et k(m) est une fonction de k.
Et je veux en calculer la dérivée. Je vais l'écrire
de la manière suivante : Ici, j'ai une petite difficulté
parce que j'ai un argument qui vaut k(m) ce que je veux
c'est dériver p par rapport à cet argument et
ensuite je dois dériver l'argument par rapport à k.
Cette dernière va donner m, la dérivée de l'argument, c'est
à dire k(m) par rapport à k, ça nous donne m.
Voilà le m, et maintenant on a la dérivée de p par rapport
à l'argument, on va le prendre à k égal un donc on va écrire
d de p sur d de m.
Cette notation là est tout à fait conventionnelle.
Elle intervient chaque fois qu'on a des fonctions de plusieures variables Ce
d rond indique qu'il y a plusieurs variables et ici en
écrivant d(m) je spécifie quelle est la variable par rapport à laquelle
on dérive en supposant que toutes
les autres variables sont maintenues constantes.
C'est une notation qu'on
utilise beaucoup en physique. De l'autre coté du signe égal,
je dois dériver par rapport à k p de m n'a rien à voir avec
k donc j'ai simplement la dérivée de k qui vaut un, donc j'ai p.
Alors voilà, je trouve que p est proportionnel
à m et à ce coefficient là. Ce coefficient là est le rapport de
deux grandeurs extensives. Alors je sais en plus que ce coefficient
là ne dépend pas de la taille du système. Maintenant
je vous ai annoncé le résultat p égal
m(v) je viens de montrer que le caractère extensif
de p nous impose que p soit proportionnel à la masse m.
Il me reste à vous montrer que p est proportionnel à la vitesse.
Alors cela je vais le faire mais je ne
peux pas le faire par une approche disons axiomatique.
Je dois envisager des expériences, faire des expériences et observer
que p est proportionnel à m. Je vous propose une expérience
si on la faisait, qui pourrait prendre l'allure suivante :
on a encore une fois mon banc à air et j'ai deux plots.
Un plot est monté avec une pointe fixe, elle est fixée au plot et
l'autre plot contient une boule de pâte à
modeler ou de suif et je présume que lorsque je fais une collision entre
les deux plots la pointe s'enfiche dans la pâte à
modeler et y reste donc les deux systèmes sont ensemble.
Je considère maintenant des collisions qui
laissent les deux plots assemblés à une vitesse nulle par
rapport à mon référentiel défini par le banc
à air.
Alors je pourrais avoir dans un premier temps
deux masses égales et des vitesses égales et opposées.
Je constate que j'ai donc la quantité de mouvement totale nulle et en effet
lorsque les deux systèmes se rassemblent, le système entier est immobile, la
quantité de mouvement est nulle.Et maintenant j'observe que si un
des plots est deux fois plus lourd je vais devoir diminuer la vitesse d'un facteur
deux pour obtenir le même effet, c'est
à dire l'immobilité du système après le choc.
Par conséquent avec des expériences de ce type, j'ai juste pris un facteur deux
mais on pourrait multiplier les expériences et
on devrait conclure que la quantité de mouvement
est proportionnelle à la vitesse.
Ce que je viens de vous dire dépend de la nature des expériences
que je considère et depuis Newton la physique a évolué, vous allez voir
d'autres circonstances d'autres champs de force pour lequel la quantité
de mouvement a une autre allure et dans le cadre de ce cours, nous allons voir
une expression relativiste de la quantité de mouvement donc la
théorie d'Einstein qui va nous donner une autre expression de la vitesse.
Si je résume notre dynamique du point
matériel nous avons conclu que p égal mv pour
le genre d'expérience qu'on veut bien considérer et si maintenant
je dérive cette expression là par rapport au temps, la dérivée de la vitesse
par rapport au temps ça va nous donner l'accélération la dérivée de p par
rapport au temps, la deuxième loi de Newton nous dit que cela vaut la force
donc j'ai la force qui vaut la masse fois l'accélération pour un point matériel.
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