Ces quelques leçons de mécanique de Newton font partie d'un cours de formation de base en mécanique Newtonienne présenté sous la forme d'un MOOC en quatre parties : 1. Lois de Newton À l’École Polytechnique Fédérale de Lausanne, un cours de mécanique fait partie de la formation de tous les futurs ingénieurs et scientifiques. Il a pour but de leur apprendre à transcrire sous forme mathématique un phénomène physique, afin de pouvoir en formuler une analyse raisonnée. Cette partie couvrira notamment la cinématique du point matériel, la balistique dans le champ de la pesanteur et l’oscillateur harmonique. 2. Mécanique du point matériel https://www.coursera.org/learn/mecanique-point-materiel 3. Mécanique du Solide Indéformable https://www.coursera.org/learn/mecanique-solide 4. Mécanique Lagrangienne https://www.coursera.org/learn/mecanique-lagrangienne
3.1 Les lois de Newton
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Del curso dictado por École Polytechnique Fédérale de Lausanne
Mécanique de Newton
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De la lección
Les lois de Newton. Balistique.
Vous allez découvrir dans ce module les deux premières lois de Newton. Ceci vous permettra d'analyser le mouvement d'un point matériel dans le champ de la pesanteur (balistique).
Conoce a los instructores
Jean-Philippe AnsermetProfesseur
Institut de Physique de la Matière Condensée, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, Suisse
Guten Tag, wilkommen an der Vorlesung für allgemeine Physik der EPFL.
In dieser Lektion werde ich die Basis der Newtonsche Dynamik vorstellen.
Sowie Newton, definiere ich zuerst den Impuls
mit Hilfe von der Analogie der Stoffmenge.
Damit werde ich den Bewegungszustand eines Systems definieren.
Da ich dann eine Physikalische Grösse habe um den Bewegungszustand zu definieren,
werde ich zwei Gesetze formulieren: das Inertialgesetz und das Aktionsprinzip.
Ich beginne mit der Definition der
Stoffmenge.
Diese Menge nennt mann normalerweise "Masse".
Die Masse ist eine "extensive" Grösse.
"Extensiv" bedeutet, dass wenn man ein System betrachtet, dass aus zwei
Unterteilen entsteht und wenn man die Masse dieser Unterteilen kennt,
die Masse des ganzen Systems
die Summe von den beiden ist.
Dieser additive Charakter einer physikalischen Grösse nennt man Extensivität.
Die Stoffmenge, die Masse, ist also eine extensive Grösse.
Die Masse ist auch eine Erhaltungsgrösse.
Was ich damit meine ist, dass wenn sich die Masse eines Systems geändert hat,
muss Materie entweder das System verlassen haben oder dazu
gekommen sein. Sie können an einer Rakete denken, die Antriebsstoff verbraucht,
und deren Masse sich also verändert. Die globale Masse bleibt aber unverändert.
Man kann dann ein System als geschlossen bezeichnen wenn
keine Materie hinaus oder hinein gehen kann.
Das Gegenteil nennt man ein offenes System.
Das heisst, wenn es mit seiner Umgebung
Materie ausstauschen kann.
Ist ein System geschlossen, bleibt die Masse konstant,
wie auch immer sich das System entwickelt.
Man sagt auch : "die Masse bleibt erhalten".
Um dem internationalen Einheitssystem treu zu bleiben,
muss ich schliesslich ein Massestandard definieren.
Das heisst, dass ich auch Kopien und Vervielfachungen des Massestandardes
besitze.
Dann muss ich auch ein Experiment definieren, mit dem ich
entscheiden kann, ob eine gewisse Masse ein Vielfaches meines Standards ist.
Als Physiker ist es wichtig Experimente zu definieren um ein gewisses Konzept
zu erklären, auch wenn sie nur virtuell sind.
Diese Art und Weise die WIssenschaft zu erklären wurde durch EInstein verbreitet.
Hier möchte ich sie anwenden. Ich will ein Experiment definieren,
dass man vielleicht nie durchführen wird weil
es zu viele Schwierigkeiten geben könnte, aber mit dem
wir das Konzept der Massen Gleichheit begreifen können.
Ich schlage Ihnen folgendes vor : Sie haben
eine Lutkissenbahn sowie diese, in der
Luft fliesst und durch diese Löcher hinaus kommt. Damit
kann man die Reibung, die mit dem gleiten entsteht, übersehen.
Ein Gleiter wird ein Vielfaches
unseres Massenprototyps sein und der andere wird die
Masse sein, die man bestimmen will. Nun stelle ich mir vor, dass beide
mit einer komprimierten Feder zusammen halten und, dass
ich diese Feder vorsichtig gehen lassen kann.
Das ganze System ist damit zuerst in einem ruhigen Zustand
verglichen mit der Bahn, die als Bezugssystem gilt.
Sind beide Massen die gleichen, müsste ich feststellen, dass sich
die Gleiter in beide Richtungen mit derselben Geschindigkeit bewegen.
Da ich die Masse definiert habe,
möchte ich jetzt den Impuls definieren.
Ich will, dass diese Physikalische Grösse den Bewegungszustand beschreiben kann.
Diese Grösse muss vektoriell sein.
Ich muss eine Bewegungsrichtung
und eine Bewegungsintensität haben.
Darum muss es ein vektorielle Grösse sein.
Es muss auch noch eine extensive Grösse sein.
Dies heisst, dass wenn ich zwei
kleinere Systeme habe, die gewisse Impulse besitzen,
der Impuls des ganzen Systems
die Summe der Impulse von den kleineren Systeme sein wird.
Also brauche ich eine extensive Grösse. Nun komme ich
zum ersten Newtonsche Gesetz.
Newton sagte : "Ein Körper verharrt im Zustand
der Ruhe oder der gleichförmigen Translation,
sofern er nicht durch einwirkende Kräfte
zur Änderung seines Zustands gezwungen wird."
Zuerst beachte
ich, dass man von "Bewegung" spricht und, dass man deshalb ein
Bezugssytem definieren muss. Wir werden mit der Übung merken, dass
dieses Newtonsche Gesetz uns eigentlich eine gewisse Art Bezugssysteme definiert.
Wir werden es übrigens später nennen.
Ich merke auch, dass das Konzept eines kraftfreien Körpers,
als trivial gilt. Wir werden sehen, dass sobald man
mit beschleunigten Bezugssystemen arbeitet, die Lage etwas komplizierter wird.
Zuletzt muss man eine aussergewöhnliche
Evolution aus Sicht der wissenschaflichen Geschichte feststellen; wir haben jetzt
die Beobachtung theoretisch erklärt, die
Galileus damals schon machte, dass ein kraftfreier Massepunkt
sich geradlinig bewegt. Galileus
nannte dies "die natürliche Bewegung".
Man sucht den Grund für eine existierende Bewegung nicht mehr.
Wir definieren nun ein "Inertialsystem" : ein
System in dem das Inertialgesetz stimmt.
Dies nennen wir ab jetzt ein Inertialsystem.
Ich möchte eine hilfreiche Bemerkung zu diesem Thema machen. Es geht
hier nicht um Mathematik, sondern um Physik. Diese Definition
haben wir pragmatisch festgelegt. Tatsächlich, wenn man jetzt ein Phenomen
betrachten will, wie zum Beispiel die Flugbahn einer Kreide, die man in
die Luft wirft, ist das Auditorium ein ziemlich gutes Bezugssystem.
Wenn wir uns mit irdischer Dynamik beschäftigen werden, erfahren wir,
dass wenn man da etwas sehr präzis messen will, dann müsste
man fesstellen, dass eine leichte Abweichung entsteht.
Diese ist winzig und man merkt
sie nicht ohne Instrumente. Sie entsteht
weil dieses Bezugssystem kein Inertialsystem ist.
Man kann auch ein sehr elegantes Experiment durchführen.
Das werden wir später tun. Man nennt es ein "Foucault'sches Pendel".
Damit kann man innerhalb zehn Minuten sehen,
dass dieser Raum wirklich kein Inertialsystem ist.
Also hängt die Wahl
eines Bezugssystem und damit auch die Entscheidung, ob es sich
um ein Inertialsystem handelt oder nicht
der Art und Weise von den Messungen die man machen möchte.
Ich will jetzt das Konzept einer Kraft definieren.
Ich will ein virtuelles Experiment vorstellen,
dass eine Kraft definieren kann.
Ich behaupte, dass eine Kraft die ich messen will auf ein Massepunkt wirkt.
Ich nehme ein Dynamometer und hänge es
mithilfe eines Fadens am Massepunkt an, der diese unbekannte Kraft spürt.
Ein Blick auf das Dynamometer gibt mir die Intensität der
der Kraft und die Richtung des Fadens zeigt die Richtung der Kraft.
Ich wiederhole: es ist wichtig, dass
diese Grössen, die man einsetzt, durch
Experimente definierbar sind. Dies auch
wenn das Experiment schwierig ist mit präzision durch zu führen.
Nun komme ich zum zweiten Newtonsche Gesetz.
Newton sagte : "Die Änderung der Bewegung
ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und
geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt."
Wir formulieren jetzt dieses Gesetz
von Newton in unserer heutigen Umgangssprache.
Zuerst, was man damals
"bewengende Kraft" nannte, wird heutzutage als
die Kraft mal die Zeit wärend der diese wirkt.
Zweitens, wenn Newton von "Änderung der Bewegung" spricht, meint er
"Änderung des Bewegungzustands", also des Impuls.
Für eine moderne
Version des zweiten Newtonsche Gesetzes
die man vektoriell ausdrücken will, schreibe ich was
hier steht: P ist der Impuls. Ich habe also die zeitliche
Ableitung des Impuls gleich Kraft.
Bisher ging ich davon aus, dass eine
vektorielle und extensive Grösse existiert,
die den Bewegungszustand charakterisiert aber ich kenne ihren Zusammenhang
mit der Masse und der Geschwindigkeit noch nicht.
Nun präsentiere ich Ihnen ein Argument um Sie zu überzeugen, dass
der Impuls die Masse mal die Geschwindigkeit ist.
Ich beginne
mit der Masse.
Dass die Masse, wie auch der Impuls beide
extensive Grössen sind spielt hier eine wichtige Rolle.
Ich betrachte jetzt ein System einer bestimmten Grösse
und, habe davon Vielfache. Diese sind reelle Vielfache
mit k ein reeller Koeffizient. Wenn ich
die Grösse des Systems k-mal erhöhe, wird
sich die Masse k-mal vergrössern weil sie
eine extensive Grösse ist.
Und für den Impuls werden wir etwas ähnliches beobachten.
Man muss also schreiben, dass der Impuls eines Systems,
das k-mal eine Masse m besitzt
und eine gewisse Geschwindigkeit hat,
k-mal grösser ist als der Impuls eines Systems mit Masse m
und mit gleicher Geschwindigkeit.
Nun merke ich, dass dieser Ausdruck
auf beiden Seiten eine Funktion von
k hat.
Hier haben wir eine einfache Funtion von k. Hier ist
p eine Funktion von km und km ist eine Funktion von k.
Und ich will die Ableitung berechnen. Ich schreibe es
so : an diesem Punkt gibt es eine kleine Schwierigkeit
weil ich ein Argument, dass km ist und was ich will,
ist p nach diesem Argument abzuleiten und
und danach das Argument nach k ableiten.
Dies wird mir m geben, die Ableitung des Arguments
(km) nach k gibt uns m.
Nun haben wir dieses m und jetzt werden wir p nach dem Argument
ableiten. Dafür nehme ich k gleich eins. Also schreibe ich
d von p durch d von m.
Dieser Ausdruck ist rein konventionell.
Er kommt vor, sobald man Funktionen mehreren Variablen hat. DIeses
ründliche d zeigt, dass es mehreren Variablen sind und hier
schreibe ich d(m) um zu zeigen, nach welcher Variable ich
ableite, mit allen anderen Variablen
die konstant bleiben.
Dies ist eine Notation die
in der Physik häufig vorkommt. Auf der anderen Seite,
muss ich nach k ableiten. p von m hat mit k
nichts zu tun, also bleibt p weil die Ableitung von k eins ist.
Also gut, jetzt habe ich gefunden, dass p dem m
proportional ist mit diesem Faktor. Dieser Koeffizient ist das Verhältnis
zwischen zwei extensive Grössen. Dazu weiss ich, dass dieser Koeffizient
von der Grösse des Systems unabhängig ist. Jetzt
habe ich Ihnen gezeigt, dass p gleich
m(v) und, dass p einen extensiven Charakter besitzt.
Dieser entspricht, dass p der Masse m proportional ist.
Nun muss ich Ihnen beweisen, dass p der Geschwindigkeit proportional ist.
Ich werde dies tun, aber ich kann
es nicht axiomatisch angehen.
Ich muss Experimente durchführen und beobachten,
dass p der Geschwindigkeit proportional ist. Ich schlage Ihnen dieses Experiment
vor, das mehr oder weniger so aussehen würde:
ich habe nochmals eine Luftkissenbahn und zwei Gleiter.
Dem einen wurde eine Spitze montiert, welche am Gleiter gut fixiert ist, und
der andere enthält eine Kugel Knetmasse
oder Plastilin, und ich gehe davon aus, dass wärend eines Zusammenstosses
den beiden Gleitern, der Spitz sich in die Masse steckt.
Am Ende sind beide Systeme also zusammen.
Ich betrachte nun Zusammenstösse, durch die
beide Gleiter am Ende eine Geschwindigkeit von null
gegenüber der Bank, die als Bezugssystem
definiert wurde.
Zuerst könnte ich zwei gleiche Massen
haben, mit gleicher, entgegensetzten Geschwindigkeit.
Ich stelle also fest, dass der Impuls null ist. Tatsächlich,
wenn beide Systeme zusammenkommen, kommt es zu einem Stillstand.
Der Impuls ist null. Und jetzt beobachte ich, dass
wenn ein Gleiter zweimal schwerer wird, muss ich die Geschwindigkeit durch ein
Faktor zwei dividieren um den System
zum totalen Stillstand zu bringen.
In diesem Experiment haben wir nur ein Faktor zwei eingesetzt
aber man könnte noch mehr Experimente durchführen und
würden dann feststellen, dass der Impuls
der Geschwindigkeit proportional ist.
Was ich Ihnen gerade erklärt habe hängt von der Art und Weise der Experimente
ab und vieles hat sich in der Physik seit Newton geändert. Sie werden
später andere Kraftfelder entdecken, mit denen der Impuls
anders aussehen wird. In diesem Kurs werden wir
ein relativistischer Ausdruck des Impulses besprechen
(i.e. Einsteins Theorie), die zu einem anderen Ausdruck der Geschwindigkeit führen wird.
Nun fasse ich unsere Dynamik des
Massepunktes zusammen. Wir haben gezeigt, dass p gleich mv für
die Art von Experimenten, die wir besprochen haben. Jetzt leite
ich dieser Ausdruck zeitlich ab. Die zeitliche Ableitung
der Geschwindigkeit gibt uns die Beschleunigung. Laut dem
zweiten Newtonsche Gesetz, ist die zeitliche Ableitung von p die Kraft.
Also : die Kraft gleich die Masse mal die Beschleunigung für einen Massepunkt.
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