Comme l'ont montré de plus en plus d'expériences effectuées dès le début du vingtième siècle, les lois de la mécanique newtonienne cessent d'être valables dès qu'on tente de les appliquer à très petite échelle, celle des atomes, des molécules ou des noyaux. On entre alors dans le domaine de la mécanique quantique, où les lois physiques prennent une tout autre nature qui a pu être formalisée de manière rigoureuse à la fin des années 1920. Cette véritable révolution intellectuelle est non seulement indispensable pour comprendre la véritable nature du monde physique, des particules élémentaires au big bang, mais elle est également à l'origine de la plupart des technologies modernes comme la micro-électronique, les lasers ou les télécommunications optiques. Ce cours constitue une première introduction à la mécanique quantique. En employant une approche historique et en s'appuyant sur une confrontation entre expériences et théorie, il vous permettra de comprendre les principes de base de la mécanique quantique et d'entrevoir quelques-unes de ses applications. Le cours se composera des huit séances ci-dessous. 1. Dualité onde-corpuscule 2. La fonction d'onde 3. Transformée de Fourier 4. De l'impulsion à l'hamiltonien 5. La particule quantique confinée 6. Mesures quantiques individuelles 7. Puis de potentiel à une dimension 8. Effet Tunnel
6.1 Résultat de mesure et valeur propre d'un opérateur
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Del curso dictado por École Polytechnique
Mécanique quantique
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De la lección
Mesures quantiques individuelles
Ce chapitre introduit la version forte du postulat de la mesure. Les TD porteront sur les potentiels constants par morceaux. Vous aurez également à rédiger - et à corriger - un devoir portant sur l'effet tunnel.
Conoce a los instructores
Jean DalibardProfesseur
Collège de France
Philippe GrangierProfesseur à l'Ecole polytechnique, Directeur de recherche au CNRS
Physique
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Mathieu de NauroisDR CNRS et Professeur associé
Département de Physique
[MUSIQUE]
Ce nouveau chapitre va être consacré au problème
de la mesure en physique quantique, plus précisément à la description d'une mesure
individuelle et à ce que l'on appelle le postulat de réduction du paquet d'onde.
Nous pourrions bien sûr énoncer d'emblée ce postulat et commencer à l'utiliser sur
des cas concrets, mais il nous a semblé plus pertinent de motiver d'abord les
différents éléments de ce postulat en réfléchissant aux contraintes que l'on
peut raisonnablement imposer à une opération de mesure, quelle qu'elle soit.
Pour cela, dans la première partie de ce chapitre, nous allons partir d'une
particule, préparée dans une fonction d'onde donnée psi(x) et nous allons nous
intéresser à une seule mesure d'une quantité physique A sur cette particule.
Les questions que nous allons aborder sont les suivantes : première question,
quels résultats peut-on trouver dans cette mesure?
Deuxième question, nous savons depuis notre analyse des mesures de position
d'impulsion que les résultats de mesures en mécanique quantique ont un caractère
aléatoire ; si plusieurs résultats a1, a2 etc sont possibles nous allons
donc chercher à connaître les probabilités p1, p2 pour les voir apparaître.
Et la troisième question porte sur la fonction d'onde de la particule à un
instant immédiatement après la mesure.
Supposons que l'on ait trouvé le résultat a1 :
quelle est la fonction d'onde à cet instant?
Est-ce encore la même que la fonction psi(x) avant la mesure
ou est-elle différente?
La réponse à ces trois questions va constituer la base
du postulat de mesure en physique quantique.
Ce postulat viendra renforcer la version faible
que nous avons vu au chapitre précédent.
Pour motiver cette forme forte de ce que nous avons appelé le principe 3,
nous allons tout d'abord analyser le lien
entre résultat de mesure et valeur propre d'opérateur.
Je vous rappelle tout d'abord la version faible du principe de mesure que
nous avons vue au chapitre précédent.
À toute grande physique A, on associe un opérateur linéaire hermitien Â.
La grandeur physique en question peut être l'énergie de la particule, son impulsion,
son moment cinétique ou toute autre grandeur que l'on jugera utile pour
décrire un problème donné.
Considérons un ensemble de particules de fonction d'onde psi(x).
Effectuons sur chaque particule, la mesure de A.
Alors, la moyenne des résultats trouvés est donnée par l'intégrale de psi*(x)
fois la fonction trouvée en faisant agir l'opérateur  sur psi.
Cette intégrale s'écrit également de manière compacte,
comme le produit scalaire de psi avec la fonction Â(psi).
Il est important de bien préciser la procédure expérimentale sous-jacente
pour tirer partie de ce résultat.
Tout d'abord, on sait que la mesure de la quantité physique A peut donner un
résultat qui varie d'une particule à l'autre : on peut trouver a1, a2, aj, etc.
La moyenne <a> peut donc être comprise au sens suivant : on
prépare un grand nombre N de particules, toutes dans la fonction d'onde psi(x).
Sur chaque particule, on effectue une et une seule mesure de A.
On obtient, pour chaque particule, un résultat qui est un des nombres a1,
a2, aj.
On moyenne les N résultats obtenus, et on trouve alors,
aux erreurs statistiques près, la moyenne <a> annoncée.
Pour illustrer notre point nous avons représenté sur cet histogramme un exemple
de résultat pour une observable A qui conduirait à 4 résultats possibles : a1,
a2, a3, a4.
La procédure à suivre, consiste à compter combien de fois chacun des
4 résultats de mesure est apparu, et faire la moyenne correspondante.
La relation centrale que nous venons de mentionner, <a> égal produit scalaire de
psi par Â(psi), décrit donc la moyenne d'ensemble des résultats de mesure.
La question que nous voulons maintenant aborder porte sur la valeur de chaque
résultat aj des mesures individuelles effectuées sur chacune des N particules.
La réponse que nous allons apporter est la suivante : les seuls résultats possibles
pour une mesure individuelle sont les valeurs propres de Â.
L'outil essentiel pour montrer le résultat que nous venons d'annoncer
sera le théorème spectral, que nous rappelons ici.
On peut former une base de l'espace des fonctions d'onde avec les fonctions
propres de Â, notées ici psi alpha(x), et associées aux valeurs propres a(alpha).
Dans la suite de ce cours, pour éviter certains problèmes dus à la dimension
infinie de l'espace des fonctions d'onde, nous nous limiterons au cas où le spectre,
c'est-à-dire l'ensemble des valeurs propres a(alpha), est discret.
C'est par exemple le cas de l'opérateur énergie,
pour une particule dans un puits infini que nous avons étudié au cours précédent.
Nous avons vu que les valeurs propres a(alpha) de cet opérateur
sont repérés par un nombre entier n et sont de la forme n² fois E1.
Pour commencer notre raisonnement, intéressons-nous à un cas particulier de
fonctions d'onde psi(x), celles qui garantissent que le résultat est certain.
Ceci signifie que toutes les mesures faites sur les N particules
donnent le même résultat.
Si nous reprenons notre histogramme à 4 valeurs possibles, nous nous plaçons donc
dans le cas où la fonction d'onde psi(x) conduit à une seule des 4 éventualités.
Le résultat a3, sur notre dessin.
Le caractère certain des résultats se transcrit mathématiquement
en imposant une variance nulle des résultats de mesure.
En d'autres termes, la valeur moyenne du carré des résultats de mesure
est égale au carré de la valeur moyenne.
Nous allons maintenant montrer que cette situation correspondant à un résultat
certain se produit si et seulement si la fonction d'onde
psi(x) est une fonction propre de l'opérateur  associée à la mesure.
Puisque nous énonçons ici une équivalence entre deux propositions,
résultat certain et psi fonction propre,
il nous faut démontrer les deux sens logiques de cette équivalence.
Commençons par montrer le sens direct.
Si la fonction d'onde psi(x) est fonction propre de Â,
alors le résultat est certain.
Choisissons donc la fonction psi(x) égale à une fonction propre psi alpha(x) de
 associée à la valeur propre a(alpha).
Calculons la moyenne des résultats et la moyenne des carrés de ces résultats.
La moyenne des résultats est donnée par le produit scalaire de psi avec Â(psi).
Comme psi est supposée fonction propre de  et également choisie de norme 1 ce
produit scalaire est simplement égal à la valeur propre a(alpha).
Passons à la moyenne des carrés des résultats.
L'application du principe de correspondance
nous dit que l'opérateur associé à ce carré est simplement ².
Et si psi est fonction propre de  elle est également fonction propre de ²,
avec la valeur propre a(alpha)².
La moyenne du carré des résultats vaut donc a(alpha)².
On déduit de ces deux résultats que la moyenne du carré des résultats est
égale au carré de la valeur moyenne ce qui veut dire que la variance est nulle,
et donc que le résultat est certain.
Nous avons donc démontré le sens direct de l'équivalence.
Passons au sens réciproque : on suppose que le résultat de la mesure de
A est certain, pour un certain choix de psi(x),
et on veut montrer que ce psi(x) est nécessairement fonction propre de Â.
Nous faisons donc l'hypothèse que toutes les mesures donnent le même résultat,
un nombre réel a0.
La variance des résultats est nulle, ce qui encore une fois signifie que la
moyenne des résultats est égale à zéro et que la moyenne des carrés est égale à a0².
Considérons alors la fonction auxiliaire phi(x) égale Â
psi(x) moins a0psi(x) et calculons le carré de sa norme,
c'est-à-dire le produit scalaire de cette fonction par elle-même.
Puisque phi(x) est formée par la différence de deux termes,
le produit scalaire va contenir 4 termes.
Le premier est le produit scalaire de Â(psi) avec lui-même.
Le deuxième et le troisième terme font intervenir le produit scalaire de psi
et Â(psi) et le dernier terme fait intervenir le carré de la norme de psi.
Intéressons-nous d'abord au premier terme : le produit scalaire de
Â(psi) avec lui-même.
En utilisant le fait que  est hermitien,
ce terme est égal au produit scalaire de psi avec ²psi.
Ceci n'est rien d'autre que la moyenne du carré de nos résultats donc a0².
Les deuxième et troisième termes quant à eux
nous redonnent la moyenne des résultats de mesure a0.
Et le dernier terme fait intervenir le carré de la norme de psi,
qui est égale à 1.
Au final, on trouve que le carré de la norme de la fonction auxiliaire
phi est nul ce qui veut dire que cette fonction auxiliaire est elle-même nulle,
ou encore que  agissant sur psi(x) est égale à a0psi(x).
Ceci prouve que si le résultat de mesure est certain et égal à a0,
la fonction d'onde psi(x) de la particule
est fonction propre de l'opérateur  avec la valeur propre a0.
Nous avons donc démontré les deux sens de l'équivalence
sur laquelle nous allons maintenant pouvoir bâtir notre raisonnement,
qui va conduire ultimement au postulat de la mesure en physique quantique.
Pour arriver à ce principe, il nous faut encore examiner une autre
notion importante, celle de mesure répétée sur une particule.
Cette notion va faire l'objet de la séquence suivante.
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