Comme l'ont montré de plus en plus d'expériences effectuées dès le début du vingtième siècle, les lois de la mécanique newtonienne cessent d'être valables dès qu'on tente de les appliquer à très petite échelle, celle des atomes, des molécules ou des noyaux. On entre alors dans le domaine de la mécanique quantique, où les lois physiques prennent une tout autre nature qui a pu être formalisée de manière rigoureuse à la fin des années 1920. Cette véritable révolution intellectuelle est non seulement indispensable pour comprendre la véritable nature du monde physique, des particules élémentaires au big bang, mais elle est également à l'origine de la plupart des technologies modernes comme la micro-électronique, les lasers ou les télécommunications optiques. Ce cours constitue une première introduction à la mécanique quantique. En employant une approche historique et en s'appuyant sur une confrontation entre expériences et théorie, il vous permettra de comprendre les principes de base de la mécanique quantique et d'entrevoir quelques-unes de ses applications. Le cours se composera des huit séances ci-dessous. 1. Dualité onde-corpuscule 2. La fonction d'onde 3. Transformée de Fourier 4. De l'impulsion à l'hamiltonien 5. La particule quantique confinée 6. Mesures quantiques individuelles 7. Puis de potentiel à une dimension 8. Effet Tunnel
7.1 Etats liés et états de diffusion
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Del curso dictado por École Polytechnique
Mécanique quantique
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De la lección
Puits de potentiel à une dimension
Ce chapitre discute en détail les états propres d'un puits de potentiel à une dimension, avec les cas particuliers importants du puits symétrique et du puits semi-infini. Les TD porteront sur l'existence d'états liés dans un puits de potentiel à une dimension.
Conoce a los instructores
Jean DalibardProfesseur
Collège de France
Philippe GrangierProfesseur à l'Ecole polytechnique, Directeur de recherche au CNRS
Physique
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Mathieu de NauroisDR CNRS et Professeur associé
Département de Physique
[MUSIQUE]
Bonjour à toutes et à tous. Dans ce nouveau chapitre,
nous allons nous intéresser au
mouvement d'une particule dans un puits de potentiel à une dimension.
Dans un puits, par définition,
l'énergie potentielle prendra des valeurs plus faibles au centre du puits.
Ce qui aura pour effet, dans certains cas, de piéger,
on dira encore confiner, la particule considérée au voisinage du centre.
À l'issue de ce chapitre, nous pourrons donc comprendre
l'origine physique du confinement d'une particule en mécanique quantique.
Les puits de potentiel que nous allons étudier nous permettront aussi de
modéliser de façon simplifiée, c'est-à-dire à une seule dimension
spatiale, des problèmes plus compliqués, qui comportent en réalité trois dimensions
spatiales, comme par exemple le problème de l'atome d'hydrogène,
où l'électron est piégé dans le puits de potentiel coulombien créé par le proton.
Mais le puits de potentiel à une dimension a aussi une pertinence technologique,
car on sait aujourd'hui fabriquer des dispositifs électroniques,
ou optoélectroniques, en empilant, à l'échelle atomique, différents matériaux
semi-conducteurs, ce qui permet de faire de l'ingénierie quantique, en
façonnant à volonté le puits de potentiel en fonction de l'application souhaitée.
Le puits de potentiel à une dimension est donc d'une grande importance en mécanique
quantique, à la fois parce que c'est une première étape dans la compréhension des
phénomènes physiques, mais aussi par ses implications technologiques.
Dans ce chapitre, nous allons en fait nous intéresser à des puits de potentiel qui
ont la particularité de tendre vers une valeur constante, lorsque x tend vers
l'infini, soit de part et d'autre du potentiel, soit d'un seul côté.
Dire que le potentiel est constant assez loin du centre du puits,
revient à dire que, dans de telles régions de l'espace,
la force qui dérive de ce potentiel est nulle.
Cela signifie que la particule est libre lorsqu'elle est assez loin du centre du
puits, et que c'est seulement au voisinage du centre que le mouvement sera affecté
par la présence du puits de potentiel.
Sachant que le puits de potentiel tend vers une valeur constante
pour de grandes valeurs de x, on choisira l'origine des énergies,
de façon que cette valeur constante soit, par définition, égale à 0.
Dans le cas où la valeur limite n'est pas la même des deux côtés du puits,
on choisira par convention la plus petite valeur comme origine de l'énergie.
Voyons maintenant ce que nous dit la mécanique classique pour ce problème du
puits de potentiel à une dimension.
Considérons donc le mouvement d'un mobile de masse m dans un potentiel V de x.
L'énergie mécanique de notre mobile est la somme de l'énergie cinétique
et de l'énergie potentielle, soit : E = p²/2m + V(x), où p est, bien entendu,
la quantité de mouvement.
Cette énergie mécanique est, comme vous le savez, une constante du mouvement.
Considérons, dans un premier temps, le cas où l'énergie est négative,
donc inférieure à la valeur prise par le potentiel lorsque x tend vers l'infini.
Il existe alors deux points que nous appellerons x1 et x2,
qui correspondent respectivement à la plus petite et la plus grande valeur de
x pour laquelle le potentiel est égal à l'énergie.
Comme l'énergie cinétique est évidemment positive ou nulle,
l'énergie potentielle sera toujours inférieure ou égale à l'énergie,
ce qui contraint notre mobile à rester à l'intérieur de l'intervalle [x1, x2].
Le mobile ne pourra donc pas pénétrer dans la zone grisée, car l'énergie potentielle
y serait supérieure à l'énergie totale, ce qui est évidemment impossible.
Le mouvement est ainsi confiné à l'intérieur de l'intervalle [x1, x2].
Plaçons, par exemple, le mobile au point x1.
Comme, en ce point, l'énergie potentielle est exactement égale à l'énergie totale,
cela signifie que l'énergie cinétique y est nulle.
En d'autres termes, le mobile est lâché au point x1 sans vitesse initiale.
En raison du gradient de potentiel au point x1,
une force de rappel ramène alors le mobile vers le centre du puits.
Le mobile commence donc par accélérer, avant de ralentir pour venir s'immobiliser
au point x2, puis repart dans l'autre sens pour s'immobiliser à nouveau en x1.
Nous avons un mouvement périodique confiné,
comme prévu, à l'intérieur de l'intervalle autorisé.
Nous aurons naturellement le même comportement qualitatif pour toute valeur
négative de l'énergie.
à savoir un mouvement périodique confiné
au voisinage du minimum du puits de potentiel.
Considérons maintenant le cas où l'énergie est positive.
Il n'y a alors plus aucune restriction sur le mouvement du mobile puisque,
même dans la zone où le potentiel prend sa valeur maximale, en l'occurrence 0,
on aura bien la possibilité d'avoir une énergie cinétique positive.
Plaçons, par exemple, le mobile à gauche du puits,
dans une zone de l'espace où le potentiel peut être considéré comme quasiment nul.
L'énergie sera alors égale à la seule énergie cinétique, soit p0²/2m,
où p0 est, par définition, la valeur initiale de la quantité de mouvement.
Comme on s'intéresse uniquement au cas où le mobile se dirige en direction du puits
de potentiel, on peut supposer ici que p0 est positif, soit p0 = racine de 2mE.
Si on laisse maintenant évoluer le système,
on observe dans un premier temps un mouvement uniforme.
En effet, tant que le potentiel est plat, le mobile se déplace à vitesse constante,
puis le mobile pénètre dans le puits de potentiel et gagne en énergie cinétique ce
qu'il perd en énergie potentielle.
Enfin, le mobile ralentit en sortant du puits et reprend finalement sa
quantité de mouvement initiale p0.
Le mouvement est donc non borné.
Le mobile vient de moins l'infini et poursuivra son mouvement jusqu'à plus
l'infini, après avoir été transitoirement perturbé
par la présence du puits de potentiel.
En résumé, la mécanique classique prévoit deux types de mouvement.
Si l'énergie est négative,
le mouvement est confiné au voisinage du puits de potentiel.
À l'inverse, si l'énergie est positive, on a affaire à un mouvement non borné.
Nous verrons dans la suite que cette distinction est toujours bien présente en
mécanique quantique.
Dans le premier cas, pour une énergie négative,
on dira que le système est dans un état lié.
Un tel état permettra en effet de comprendre comment un électron est lié au
proton dans l'atome d'hydrogène,
ou comment deux atomes sont liés par une liaison chimique dans une molécule.
Nous verrons en particulier que,
pour un état lié, la densité de probabilité de présence est
concentrée dans la région de l'espace où le potentiel prend des valeurs non nulles.
À l'inverse, dans le cas où l'énergie est positive,
on parlera d'un état de diffusion.
Ce qui correspond, par exemple,
au processus de collision entre deux particules.
La fonction d'onde occupera alors tout l'espace.
[AUDIO_VIDE] Dans cette leçon, je vous ai présenté les différents types
de puits de potentiel que nous allons rencontrer dans la suite du chapitre.
En particulier, nous avons introduit les notions d'états liés et
d'états de diffusion.
Dans la prochaine leçon, nous allons étudier la forme des états de
diffusion en mécanique quantique, avant de nous intéresser aux états liés.
Nous pourrons ensuite considérer quelques cas particuliers,
comme le puits symétrique, et enfin le puits semi-infini,
dont nous étudierons successivement les états de diffusion et les états liés.
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