課程介紹與教學目標 (About the course) 房屋為我們遮風避雨，讓我們安心工作、生活，而結構系統又是房屋的骨幹，讓房屋能站的又高、又直、又穩。你知道橫者為梁，直者為柱，但你知道在結構工程師的眼中，梁與柱有什麼其他的不同嗎？他們其中藏著什麼秘密，能支撐起整個結構？工程師要怎麼決定梁該有多深？柱該有多粗？該用矩形、圓形還是其他形狀？該用實心還是空心？在有地震的地方，設計上是否又有不一樣的考量？ 材料力學是通往上述問題解答關鍵的一步。在材料力學(一)裡，我們會由大家熟知的虎克定律開始，以蓋房子的重要材料「結構鋼」為例，深入探討「力量」與「變形」這兩個令結構工程師愛恨交加的物理量之間的關係。然後依序探討結構桿件受軸力（拉/壓）、受扭、受彎、受剪四大外力作用下，會在桿件內部產生怎樣的相對應變形與受力，並探討建築結構設計概念與提供桿件設計演算範例。 本課程是希望精通「鋼筋混凝土設計」、「鋼結構設計」、「木構造設計」者必備的先修課程，也為對「彈性力學」有興趣者，提供許多基礎知識與這些知識如何實際應用於工程設計。 主要授課對象為土木、建築相關從業人員與在學學生，其他包括工學院各科系同學或對材料力學有興趣的人士，也歡迎選修。 授課形式 (Course format) 本堂課將以影片的形式為主, 搭配課後作業及期末報告的形式來進行。 修課背景要求 (Recommended background) 靜力學 ( Statics )
4-3-1 畫剪力彎矩圖：力平衡法 (上)
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Del curso dictado por National Taiwan University
材料力學一 (Mechanics of Materials (1))
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De la lección
彎矩圖與剪力圖
學習目標：1. 了解剪力彎矩圖對土木工程的重要性。 2. 能正確做出靜定系統的彎矩剪力圖。
Conoce a los instructores
黃尹男副教授 (Associate Professor)
土木工程學系 (Professor Civil Engineering)
各位同學，我們要開始來講解怎麼樣畫彎矩圖跟剪力圖，在這個禮拜我們會介紹兩種方法，
首先呢就是力平衡的方法，那就像我們剛剛講的，我們的目的呢就是要找出這根梁裡面
它每一個斷面我們切開的時候，那邊的剪力跟彎矩到底是多少？ 依循我們前面介紹的一個正負的定義，
OK，力平衡是最重要而且一定要遵守的，所以我們看到像現在這樣子
的一個簡支梁，如果在這個簡支梁的正中央，二分之L 梁的地方，第一點這個地方承受這個
P的集中載重，那這一根梁的彎矩圖、剪力圖要怎麼樣來計算，這是最基本的一個情況，
好， 那我們的第一步呢，首先是解反力，將反力解出來，
那因為它是一個靜定的梁，所以我們反力，只要靠力平衡很簡單的就可以解出來了，
所以呢，原本這邊是一個 hinge，所以它應該是要有兩個
的反力的，一個是水平 ，一個是垂直的，但是我們觀察所有的力量都是在
外力都是在垂直的方向，所以 summation f(x) =0
的時候呢，這邊是唯一一個會有水平反力的地方，
所以這個東西你馬上就會知道，它一定是等於零的，
好，所以我們其實已經用掉一條力平衡式，那我們呢就可以知道說， 剩下的一定大概反力就是這個樣子，
好，所以我們有兩個未知數那我們就可以用 summation f(y) = 0
跟對這一點 A 點的 summation f(m)，
summation m 等於零，就可以把這兩條式子列出來，那我們就可以用兩條式子來解兩個未知數，
所以我們就可以解出來說， RA 呢跟 RC是要相等的，都是二分之P，都是二分之P，
好，那我們把它解出來之後呢，第二步
就會是切分離體，因為我們要看的就是每一個切開的斷面的地方，
它的彎矩跟剪力是多少？所以我們當然要把它切開來看看，好，
所以呢，在這邊呢，我們要把它分成兩個狀況來切，一個就是
我們要把它從距離零到二分之 L 之間 去切，或者是
二分之 L 到 L 之間去切，兩種情況來看，那我們先看， 如果你切的是這邊的情況的時候會這樣？
當你把它切開之後，現在我們已經知道這邊有一個反力是二分之 P，
然後呢，這邊也有二分之 P的反力，
然後我的 P 呢，因為現在我的 X 切在 0 到 二分之L 之間，所以我的
P 是在旁邊這一段，OK？那我們切開之後呢，
當然我們就會看到有剪力，我先用，這邊的剪力的方向，我
是可以自己假設的，那我都依據我們前面介紹的正負五，都是用正的假設，所以我們
之前假設的正負方向是像這樣子，這個是正的剪力，對不對？好，所以這個是我假設的
P(x)， 然後呢，它當然也會有彎矩，好，在這邊我切開的時候，
所以我這邊會有一個彎矩，好，就是 M(x)，
都是作正的一個假設，所以呢這時候我再把我的 free body diagram
把這一塊，我標紅色的這一塊看成是我的系統，
然後這個系統本身一定要力平衡，對不對？所以我可以根據這個力平衡就可以讓我知道說這個
V(x) 跟 這個 M(x) 是多少？
好，這個是我假設的方向，所以我就必須要按我的假設去列式，
好，所以我們先看 summation f(x)=0
會告訴我們什麼？注意這個來講，所有往下的力量要等於所有往上的力量，
所以我們就會得出來原來這個 V 呢， 就會等於 二分之P，
對不對？它根本只要我切的是在這個範圍裡面，
這一個 V 根本就跟 X 沒有關係，
OK？再來呢，我可以對這一點，我切開的這一點去 summation(M)
=0, summation(M)=0，所以呢我就可以得出來，所有
逆時針的彎矩要等於所有順時針的彎矩，逆時針的彎矩有哪些？就是這個 M(x)，對不對？
順時針的彎矩，因為這個 V(x) 通過這個
支點，所以順時針的彎矩就只有這 二分之P 乘上這個
X， 所以我就靠著
這一塊的力平衡，我很快的就可以把這個算出來，
其實你不見得要用這一塊的力平衡來做，你用這一塊的力平衡一樣可以解出同樣的結果，各位可以自己在家裡試試看，
好，所以這是第一個情況，再來如果我因為我推導這個方式 只有我切的是在這個
P 的這一邊的時候才可以符合，對不對？
那如果今天我切的時候是已經超過它了，那它就會變成這個樣子，
OK？那我們一樣在利用這一塊的力平衡來做，所以這個時候這邊有一個二分之P ，
這邊有一個二分之P ，這個是反力，然後呢我們一樣就是假設了我們的
剪力，我們一樣都是做正方向的假設，然後還有我們的彎矩
都是正方向的假設，然後我用著一塊來看，我用這一塊來看，
好，因為我的 X 現在是從這邊算過去啊，好，所以呢，
一樣，我們的，現在往下的有這一個跟這一個，往上的只有這一個，
所以我們的這個 V 呢，我的 V 加 P 就要等於 二分之P ，
所以我就可以算出來我的 V(x) 呢，其實是負的二分之P ，
然後再來呢我一樣我對這一點 我對這一點取 summation(M) = 0 ，
所以 逆時針的彎矩有哪一些呢？逆時針的彎矩有這個 P造成的，還有這個 M，
對不對？所以我就是 P，那它的力臂就只有這一段，
這一段就是 X 減掉 二分之L ，這是我的力臂，
然後再加上這一個 M，
然後呢要等於那個順時針的彎矩，就是這個，
二分之P 乘上這個 X，
所以我就可以從這條式子把我們的的 M 解出來，
OK，所以我們就可以把我們的 M(x) 把它解出來，
所以呢我們在這邊得到了一組，然後在這邊也得到了一組 V 跟 M，
那我們就可以利用這些式子，然後去畫我們的剪力圖跟彎矩圖。
好，我們先來看剪力圖的部分，剪力圖的部分在這一個範圍裡面，好，它是
二分之P ，所以是正的，在這邊，
二分之P 的大小，
但是等到一旦到了這一個範圍的時候呢，它就變負的二分之P ，
所以它就變成負的二分之P ，OK？
好，所以你看在這個，P 的這個載重的地方呢， 我們就產生了一個 P 的往下墜的一個情況，
OK？然後彎矩圖在這邊是 二分之P 的 X，
所以是這樣子，OK？所以呢，它這邊的大小是
二分之PL ，對不對？
然後呢一旦過了這一點之後呢，就要用這一條式子，
所以你會發現，它變成一個斜率是負二分之P
這樣子的一個情況，
這邊呢，雖然我們還沒有講解到，但是我請大家觀察一下一些現象， 好，這個是我們做完題目之後我們其實應該要具
有一點了解的，首先就是它是一個簡支梁的一個情況，所以呢，它兩端又沒有
外加的集中載重，所以又沒有外加的那個集中的彎矩載重，所以這兩端的彎矩都是零，OK？
好，這個是，當我們看到之後就有一點信心，
其次就是我們會看到一個現象就是，大家有沒有發覺，像這邊的這個彎矩圖的斜率是一個
constant，而且它的值是多少？是 P，
就跟這個剪力圖的，哦，對不起，是二分，啊，寫錯了，這邊應該是
PL/4，抱歉啊，那所以大家可以觀察到，這邊的這個斜率是
二分之P ， 就跟這個剪力圖在這一段的值是一樣的，那這一段，
這一段的斜率呢，是負二分之P，就跟剪力圖在這一段的斜率是一樣的，
同時呢，它這邊有一個P的載重，就會造成在作用點就會在剪力圖上面造成一個
不連續的一個斷裂點，而且呢它往下的量就跟這邊往下去的
這個值呢是一樣的，好，這些是我們從這個題目裡面可以觀察到的，後續我們都會來解釋為什麼會有這些現象，
那我們接下來再看另外一題，我們繼續來講一個也蠻經典的一個例子， 一樣是一個簡支梁，然後承受均佈載重，
各位可以想像如果有一個簡支梁的橋梁 啊，然後，呃，它本身的自重其實對它來講就是好像一個均佈載重一樣，
啊，那如果有人在上面走的話就好像一個會動的集中載重，
好，
那這樣一個題目的話，我們要怎樣把它的剪力圖跟彎矩圖，把它找出來呢？
一樣，如果我們用力平衡法的話，那，兩個步驟，先求反力，反力求出來之後呢再切
Free body Diagram，來進行，它的，呃，剪力跟彎矩的一個計算，
好，求反力，我們把這一個切開，切開，那一樣，這邊原本要
有兩個反力，但是因為我們觀察，全部，都沒有其他水平方向的反力
呃，或者是作用力，所以只有它一個，所以它一定是0，
好，好，然後呢，再來呢我們就利用，y方向的合力為0，所以，我們就列出這樣一條式子，
好，兩個加起來又等於q乘上L，
然後呢，再來就是我們對於A點去summation M等於0，就可以得出這個RB乘上L就是等於qL平方除以二
所以其實大家就知道，我的RB呢就是等於qL/2，那RB是qL/2，RA
當然又也是qL/2，所以，其實這一題你根本連算也不需要算，因為
統統都是對稱的，所以它如果要平衡的話，這兩邊頂上去的反力當然
就是各分一半，好，所以你就可以知道，兩邊都是qL除以2，
好，那反力求出來之後，接下來我們就開始，把它開始切，切開來之後， 我們就會看到剪力的內力跟彎矩，那個就是我們要拿來作圖的，
好，所以我們把它，找一個地方把它切開之後呢，
隨便一個距離x的地方，切開之後，我們把這一段拿出來，
好，把這一段拿出來，就是在這邊，所以這一段的距離是x，
然後上面當然就是有均佈載重的部分 然後還有這邊的我們剛算出來的反力，
然後，就是我一樣是用正方向的假設，你有沒有看到，就是有
剪力的部分跟彎矩的部分，這是從另外那一段作用在它上面的，所以一旦切開來之後，
原本，這邊是內力，然後到這邊，對這一小段來講，這些也是外力，
好，那我們就是要求這個，所以我們一樣，我們有兩個未知數，我們可以用這一段的summation
F(y)=0跟summation M=0, 來把它這兩個未知數把它求出來，
所以，這個是summation F(y)=0的部分，我們就可以找出這個剪力
的這個式子，好，然後這個是，對於這一點summation M=0的部分，力是真的有，這一個
好，還有，就是這個均佈的外力對這一點也會產生一個
逆時針的彎矩，那算法就是，我把這個q乘上它的長度，當作一個集中載重
作用在這一個的形心，這個分佈的形心，那因為這是均佈，所以就作用在正中間，
所以這個大小就是q乘上x，然後力臂，以這一點的話就是二分之x ，
這是逆時針的部分，那順時針的部分當然就是這個力量對這一點會有順時針，的彎矩
好，所以就是這樣子，那我們從這條式子也可以找到彎矩的式子，
然後呢，不知道各位有沒有發現這邊我們為什麼就不切？ 像剛剛前面那一題我們也切兩段，因為我們前面那一題呢
你在這個集中載重作用前面跟後面的那個力平衡的式子有一些不一樣， 那這一題，不管你x是切到哪裏
我們的這個分力體都是適用的，所以這個式子就是從頭到尾都是對的，
好，所以我們把這個式子畫出來，你把x代零的時候，你有沒有發覺，誒，它是正的 二分之qL，
x代L的時候，它又變成負二分之qL，
對不對？然後，這邊也一樣，x代零的時候， 然後整個是零，
然後，x代L的時候呢，它變二分之qL平方減二分之qL平方也是0，
好，然後所以它畫出來，它最大值呢會發生在這個地方，好，中間， 因為發覺如果我x代二分之L的時候
它出來是qL平方除以8，那，呃，我們來觀察一下這個
呃，式子，就是這樣子的一個載重狀況，希望各位同學可以慢慢建立起一些engineering sense，
就是這樣的一個簡支梁受均佈載重，它在兩端的時候，它是沒有任何彎矩的 Ok？
那它什麼地方，這根梁裡面什麼地方會被凹得最嚴重呢？ 是在正中央的地方，那邊它的彎矩最大，Ok
那，如果這個梁是一個混凝土做的梁，它會怎樣被凹，它是受正彎矩，所以
另外一個很重要的東西就是，大家要知道正負到底代表了什麼，
對這一根梁來講，它整個承受一個正彎矩，意思就是它好像嘴角
往上翹，我們前面講的定義，它從頭到尾都是這個方向這樣子在被彎的，
所以對這根梁來講，下面的材料是不是會有好像承受一點拉力
上面的材料也承受了一點壓力，如果它是一個鋼筋混凝土梁
混凝土本身的抗拉能力是很差的，所以才需要鋼筋在裡面幫忙抗拉，所以你要放
鋼筋的話，你會把它放在下面還是上面呢？很明顯的，如果是這種情況，你會把它放在下面，
你如果把它放到上面去的話，那下面只有混凝土，
它抗拉的能力很差，那你再這樣從上面這樣壓下來的時候 它下面一下子就裂了，
Ok，所以去知道，到底它裡面受力的狀況是怎麼樣？彎矩是正的還是負的？
大小多少？對我們土木工程師來講是一件最基本的事情，
Ok，所以在這個最基礎的地方，希望大家就好好地把它學好，
還有另外這個梁在什麼地方的剪力最大呢？就是在兩側的地方，在兩側的地方，
同時我們再來觀察一下，就是這兩條式子，
大家有沒有發覺，如果我把彎矩的這條式子，把它對x微分， 這邊會變成二分之qL，這邊會變成
二分之qx，就跟這一條式子一模一樣，然後呢，如果我再把這一個式子微分，
它會產生一個負q 的值，Ok？所以這個我們在這邊先把它看了，那
下一個，講解的部份我們就來說明，其實q，V，M它們之間是有一些關係的。
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