課程介紹與教學目標 (About the course) 房屋為我們遮風避雨，讓我們安心工作、生活，而結構系統又是房屋的骨幹，讓房屋能站的又高、又直、又穩。你知道橫者為梁，直者為柱，但你知道在結構工程師的眼中，梁與柱有什麼其他的不同嗎？他們其中藏著什麼秘密，能支撐起整個結構？工程師要怎麼決定梁該有多深？柱該有多粗？該用矩形、圓形還是其他形狀？該用實心還是空心？在有地震的地方，設計上是否又有不一樣的考量？ 材料力學是通往上述問題解答關鍵的一步。在材料力學(一)裡，我們會由大家熟知的虎克定律開始，以蓋房子的重要材料「結構鋼」為例，深入探討「力量」與「變形」這兩個令結構工程師愛恨交加的物理量之間的關係。然後依序探討結構桿件受軸力（拉/壓）、受扭、受彎、受剪四大外力作用下，會在桿件內部產生怎樣的相對應變形與受力，並探討建築結構設計概念與提供桿件設計演算範例。 本課程是希望精通「鋼筋混凝土設計」、「鋼結構設計」、「木構造設計」者必備的先修課程，也為對「彈性力學」有興趣者，提供許多基礎知識與這些知識如何實際應用於工程設計。 主要授課對象為土木、建築相關從業人員與在學學生，其他包括工學院各科系同學或對材料力學有興趣的人士，也歡迎選修。 授課形式 (Course format) 本堂課將以影片的形式為主, 搭配課後作業及期末報告的形式來進行。 修課背景要求 (Recommended background) 靜力學 ( Statics )
6-2-1 梁的剪應力：矩形斷面(上)
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Del curso dictado por National Taiwan University
材料力學一 (Mechanics of Materials I)
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De la lección
梁受剪力作用之內力
學習目標：1. 了解矩形、圓形、Ｉ形梁斷面受剪力作用形成的應力分布狀況。 2. 了解Ｉ形梁斷面的工程意義。 3. 了解剪力流的成因並能進行組合斷面抗剪的接合設計。
Conoce a los instructores
黃尹男副教授 (Associate Professor)
土木工程學系 (Civil Engineering)
各位同學大家好，這一周我們要來探討，當一根梁它
受到剪力的內力作用的時候，它對於材料所形成的剪應力 彼此之間又是什麼樣的一個關係。
上個禮拜我們講了彎矩，那 舉例來說，像一根簡支梁
哦，對不起，懸臂樑，懸臂樑端點自由端的地方受到集中載重
那大家可以知道，根據我們之前學的，它的剪力圖
可能是一個均佈剪力的狀況，然後呢 它的彎矩圖呢就是這樣子，整根都是一個負彎矩的狀況
OK，那所以呢，意思就是說當我把它從這邊切開的時候
我其實是會看到的是 有剪力，有這樣一個正剪力，我從一個地方切開，它會是
你是會看到正剪力，然後呢，你會看到這樣的一個負彎矩在這邊
這個負彎矩，對於這一個斷面，梁的斷面所形成的正向應力的
分佈我們上個禮拜已經講過了，那這個禮拜我們的重點就是在於說這個剪力
的部分，這個內力的這個剪力呢，它對於整個斷面形成的剪應力又是什麼樣的一個狀況
OK，好，那這邊有一根
簡支梁，然後受到各式各樣的載重，集中載重，集中彎矩
然後還有分佈的一個載重作用 然後呢我們如果隨便一個地方切開的時候，我們會看到，它上面有
剪力，當然也有可能有彎矩，那但是我們這邊，這個禮拜的重點是剪力的部分，所以
這個剪力，這個剪力到底在這個斷面上會是怎麼樣的一個分佈
好，那這邊切了一個小方塊，這樣一個長條出來，這個是切得有點
誇張，我們可能，你可以把它想成，這個切的這個長度呢是很小很小，幾乎就是一條線
這樣一條線上面的高度，它上面的這個剪應力分佈的一個狀況到底是怎麼樣
好，那這是我們希望來找到的，那我如果現在把這一個小方塊把它拿出來
然後呢，我如果從這邊，一個人從這邊，眼睛這樣子，在這邊這樣看過去
那，這一側，大家會看到就像這個樣子 好，所以呢這邊我們在旁邊這邊看到這一個
剪應力呢就是在這邊，然後就是，就是在這一側
然後跟我們以前有學過，就是這樣一個小小的應力方塊，如果這邊往下的話
那在對面那一邊的應力就是要往上 然後如果是只有這兩個，感覺這一塊就會開始順時針地旋轉
所以它上下又會生出另外一個方向的這個，好像
它是應力啊，不應該講說是力偶，但是就是你可以用
類似的概念來理解，就是說所以上下它又生出來這樣子一個相反方向的這個應力
所以只要一邊的方向跟大小決定了，其他三個方向的剪應力的大小跟方向也會跟著決定
所以呢，其實呢我們現在是希望求到這個斷面的剪應力分佈是怎麼樣的
但是呢，等一下就會發覺，我要求這一個呢，其實我用這一個或這一個
來去求，然後就可以讓我連帶知道這一邊的大小
OK，這個是我們的，會採取的一個手段
好，那我們一樣，我們就是永遠從力平衡
開始，所以這樣一根梁，我如果切了一小段出來，像這樣的mn 然後n1m1，這樣子的一小段出來
然後呢原本就是兩邊的剪應力，因為這上面可能還有別的力量哦，就是
所以它的剪應力會，可以在不同的切面，本來就可以不同的值
然後彎矩也會有不同的值，那大家注意到我們這邊都是正方向的一個假設
好，這樣這一個小部分我給它拿出來看
OK，那這一個，這邊的彎矩是M，它所形成的正向應力分佈就是我們上個禮拜講的，已經
大家可以知道是這個樣子，然後呢，現在
在這一邊呢，就是，它是由這個M加dM所形成的一個 正向應力分佈是這個樣子。
那在這邊呢，這個例子，我們 講的是矩形斷面，就是說如果這個還是，這邊是x對不對？
就還是這個是x，如果你一個人從 如果你一個人從
這邊看的話，就是你看到的是一個矩形斷面，我們看到的是這個矩形斷面
OK，好，那
所以矩形斷面的話，那我們知道它的中性軸一定是通過形心就在正中央的地方，所以它的C1- 跟C2那些都是一樣的
好，那這邊，這個σ1 我們看的是，可能是
這個σ1 ，整個斷面σ1分佈是可以用這一條式子來代替，對不對？
好，這個我們上個禮拜講的公式，那σ2是代表 的是這一邊的一個正向力分佈，那差別只是把
M換成，把這邊的M換成M加dM而已。
OK，好 接下來如果我再從這邊再切一刀，就是說我看的是
從這邊再切一刀，我看的是這邊切進去的這樣一小塊
這樣一小塊我把它拿出來。
OK，好 從這邊原本的這個dx我再切一刀，這邊呢兩邊這邊是σ1
這邊是σ2，對不對？但是因為兩邊的moment不一樣大，所以其實它的大小也不一樣
OK，然後呢，這一邊是x軸，所以這一個呢是y跟z，就是我一樣，我眼睛
就一樣我從這邊看過去
從這邊看過去看到的是這一個斷面 看到這個斷面，然後呢這一個，我這邊橫切，切過來
在這個，眼睛看到這個斷面呢就是這一條線的地方 OK，所以這一個是y1，這個是y1。
好，大家可以看到一下 那個相對關係，那為什麼講這個？因為我們現在就是要開始來看這一塊
這一塊的這個，這邊是dx，然後 從這個，這邊看過去呢，看到這個是梁整個斷面的寬度b
我們要看到的是上面這一小塊，這邊形成的，你如果，我如果畫3D的來看
對不對？這一段就是我的b，這一段呢，就是就是這一段，對不對？
我要看的就是上面這一整塊的一個力平衡 上面這一整塊的力，你看到的就是兩邊在互相推的力量
我把這一邊的，這個合成的這個力量合起來，因為這些 都是應力嘛，我把它對它的這個面積，把它積分起來就形成一個
好像一個集中力F1的大小在這邊，另外一邊 這是這個M加dM造成的，然後我切出來這一塊之後
作用在這個面上面的 因為這邊，這個這些應力，正向
應力所形成的這個力量，在這邊積分起來之後形成那個力量叫F2
好，所以呢，你可以想象就是 像假如這個就是，這個就是它切出來的這一塊斷面
等於這邊有一個力量，這邊有一個力量，然後我從這邊給它切開
那我現在兩邊在拗它的時候，在推的那個力量是不一樣的
是不一樣的，所以我給它切開之後，勢必在我切開的 那個面上面呢，就要形成這樣子的一個F3
因為現在F1跟F2的大小不一樣，然後這一塊要能夠平衡，就勢必
要這個F3的力量產生，它才能夠平衡，而這一個F3的力量是哪裡來的？
是我從這邊切開之後，我從這邊切開之後，下面這一段
下面這一塊物體，它把上面的這一半拉住的時候施給它的一個剪力
所以這個，這個F3呢就是下面這一塊作用在上面，我切開的這一塊上面的一個剪力
好，那很自然地，這個F3的大小就應該要從F2減掉F1去把它求出來
OK，好，那可是大家如果記住的話，我們其實是很
想知道說，是在這一個斷面，我這邊看過去的這個斷面上面的剪應力分佈
結果，你看我們現在要來看這F3，其實是它切開之後的 下面那一塊上面的力量，好
所以呢我們F3的大小，F3的大，F1的 大小就是把這邊，這個σ1對於它這個切開來的那一個
這個A呢去做積分，A是指哪裡？A就是指這一塊
[無聲] A就是指這一塊，對不對？
因為這個，這一塊在這一邊跟這一邊 都是一樣的，就是這個如果你是一個3D的來看的話
這塊就是在這邊，對不對，那不管在這邊還是這邊都是一樣的
好，所以F1呢你就要把這邊的這個σ1對這一塊面積去積分
F2呢你就要把這個σ2對這一塊的面積來去做一個積分
然後兩個相減就會跑出F3 好，所以我們就看到F1的大小就是這樣子來計算
Okay，然後F2的大小就是把M改成M+dM 然後F3就是用F2減掉F1
所以呢我們把上下這兩個式子把它代進來之後呢
我們就會發覺：哦，原來F3的大小是這麼大 Okay，好，那其中呢
這個，在這個A裏面就是對dM跟I來講，它都 不是A的函數，所以我們可以把它提出來然後就出現了這個東西
Okay，好，那這時候我們引進另外一個假設
就是說呢我們現在假設就是這個F3呢 它這整個力量，就是因為大家不要忘記
這一段是dx，是我們把一整根梁切了一小段下來的 然後這邊其實是還有一個斷面，對不對？
這邊其實是還有一個斷面
這個深度是b在這邊
對不對，然後呢就是我的 我假設這個F3是很均勻地分佈在
很均勻地分佈在下面這一塊
這一塊這個面積上面，所以這一塊面積上面的剪應力有多大？
就是假設它的剪應力是τ的話，我把τ乘上這個dx再乘上這個b就是等於我這個F3
所以我的F3是等於τbdx，那 這個時候大家注意，這個時候的τ就會變成分佈在下面的
這邊的這個剪應力，但是我真正想找的是
從這邊這一個方向的，在這一面上面在這個高度的剪應力是多少
就是這個紅色這邊的剪應力是多少，但是我們從之前學過的
這一個，這個地方的向下剪應力呢跟下面這邊
往這邊的剪應力這兩個是一樣的，所以我們這邊算出來這個τ其實是在下邊那一邊的這個剪應力
但是就可以被我們拿來當作我想要找的這一邊的這一個剪應力 Okay，所以我們現在目的就變成是找這個τ
但是這個τ，我們知道τbdx就等於這個東西啊，我們剛算出來這個
因為兩邊擠壓的時候的不平衡力，造成我切開的時候那邊會有一個
水平的力量，所以我利用這個東西等於這個東西，我們就可以把τ找出來
所以你看我的F3等於上面這一個，又等於下面這一個
兩個相等然後我目的是找τ，所以我把我的b跟dx都移過去
所以我在這邊會形成一個dM/dx，大家還記得dM/dx是什麼嗎？
就是我們的剪力，我們上次說彎矩圖對x的微分就是剪力
所以dM/dx就是我們的剪力，所以這兩項移過去之後呢我們的τ
就會等於我們一個剪力，然後底下又除以Ib 然後呢還要乘上這樣子的一個積分，那這樣的一個積分
就是我們用Q來代表，所以我們就有這個τ=QV/Ib
這樣的一個很重要的剪力的，剪應力的一個公式 那所以這個公式就告訴我們
那個這個斷面的V你如果知道的話 那它相對應的在某一個高度的τ是多少你就知道了
然後各位要注意這個Q的算法 這個Q是ydA，是面積的對y的一次矩
對不起，面積乘上y的一次矩 那這個A並不是積整個斷面
而是要積，你看，你想要的那個高度 [空白錄音]
這個A並不是積整個斷面 而是要看你想要的那個高度，上面
到頂部的這一塊面積 這一塊面積你要去做這樣的一個積分
因為它最開始的原因就是，因為我如果要求這個地方的這個 剪應力，我就是把它從這邊切開，然後我這整根梁
左右兩邊推的力量不一樣，造成我切開的地方有一個這個方向的
力量，所以會在這邊形成一個相對應這種剪應力 所以你要算的只是切開之後上面這塊的力平衡
所以這個Q不是整個斷面積的，而是看你要看哪個地方的τ，你從那邊切開之後去找
接著我們來用一些例子，接著我們來看一下就是這個
τ是不是真的存在呢？我們有沒有什麼 物理上面的感覺可以印證說它真的是存在的
Okay，我們如果看到像這邊這樣子的一個簡支梁
簡支梁，然後在中央的地方受集中載重，如果這只是三個
像這樣子，彼此之間沒有任何連接
沒有用膠水或釘子把它釘在一起的三個木板這樣放在一起 那你壓下去的時候，你很明顯看到旁邊這邊是不是會脫開
會脫開，像這樣方向 就會形成這樣的一個性狀，但是如果
這之間，這三塊木板之間的交界，你完全用很強很強力的膠水把它粘在一起
然後你壓下去之後你就會發覺，它好像一整體的在 變形，這之間就沒有，這之間就沒有脫開了
這就告訴我們其實 因為當我有膠水的時候，我就可以提供那樣子的
一個力量產生，一個跟那個切面是
同方向的，其實就是剪力，那樣的剪力造成說它這整個東西
在這邊形成一個 在這邊形成一個平整的這樣子的一個斷面
那你如果這個剪力如果你沒有辦法讓它提供的話，它就是會散成這個樣子
所以它不會這樣子，而是這樣子，就是因為這之間有剪力造成的 它之間變形的差異，所以那個剪力是真實存在的
Okay，然後 再來你可以想想，想像得到就是說
當我切的像這樣子一根梁，就是如果看成這樣子的一根梁
當我這樣子取了一段，那 剛剛我們是從某個高度切下去，那我知道兩邊的不平衡力會
造成，我們可以去求在你切開的那個地方，那個斷面地方的剪應力
如果我再把它往下面切一點，越切越下面，只要是在中性軸之上的話
我切越下面，你可以想得到我兩邊的差的那個不平衡力是會越來越大的
那也就是說它在這一個方向所對應出來的這個向下的這個剪應力呢
這個值其實也會跟著越來越大，我們 其實這件事情是可以從公式上面得到一些驗證的，但是
所以大家如果在看這邊的這個斷面 的這個剪應力的分佈，你會開始，你會發覺剛開始上面是小的
到下面越來越大，最大的地方會發生在中性軸，然後再到下面就越來越小
原因就是，為什麼過中性軸之後開始變小，因為過中性軸之後開始
就是它的那個力量，應力的方向，正向應力的方向是跟上面是相反的
所以它開始在抵消兩邊的那個不平衡力，那為什麼最上面的時候是最小的
因為剛開始切上面一點點的時候，兩邊幾乎沒有什麼面積來形成那個 不平衡力，好
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