Следствие номер 1 из этого тождества получается при n = 1. Если мы подставим n = 1 в это тождество, то сейчас мы будем смеяться. Ну давайте это подставим, это такой смешной момент. Я начинаю специально с чего-то, что будет так, кажется, нелепо. Ну зачем это вообще нужно? Так, хорошо, n = 1, что получится? Будет слева С из m + 1 по 1, правильно? Я просто сюда подставил 1 вместо n. Соответственно, справа — справа если я вместо n подставляю единицу, то у меня все время 0 в качестве верхнего индекса цешки получается. Ну то есть будет C из m просто по 0 + С из m − 1 по 0 + … + простите, С из 0 по 0. То есть единица конечно, как всегда. Все эти слагаемые вообще равны единице. Что у нас слева написано? Слева написано m + 1. Что у нас справа написано? У нас написана сумма слагаемых, каждое из которых равняется единице. Друзья мои, а сколько у нас этих правых слагаемых? m + 1 О чудо! Передоказали тождество. Ну это абсолютно очевидно. Гора, называется, родила мышь. То есть мы старались тут, пользовали какие-то сочетания с повторениями, какие-то формулы применяли, жонглировали соотношениями, а получили фигню. Позор. Так, давайте считать, что будет при n = 2. Это будет чуть-чуть интереснее. Пафос — он постепенно нарастает, понимаете? Тут надо аккуратно. Что будет при n = 2? При n = 2 у нас слева стоит С из m + 2 по 2. Слева стоит С из m + 2 по 2, а справа стоит С из m + 1 по 1 + С из m по 1 +... + С из 1 по 1. Отлично. Супер. Так, давайте поймем, что такое ну, например, вот это слагаемое. Это совсем очевидно. Это m + 1. Это у нас m, и это у нас 1. То есть на самом деле то, что находится справа — это сумма чисел 1, 2, 3, ..., и последнее слагаемое m + 1. Ну я думаю, что вас в школе учили считать такие суммы, и вообще вы понимаете, что это не безумно трудная задача посчитать, да? Ну а давайте посмотрим, что получается по тождеству. Что такое С из m + 2 по 2? Ну это m + 2! разделить на 2! на m! то есть m + 2! и m! они сокращаются очень существенно, да? Остается просто (m + 2) * (m + 1) пополам. Это, кстати, тоже элемент того, чему нужно научиться, в каком-то смысле, просто вот чтобы оно среди ночи у вас всплывало. То, что С из m по 2 там это m на m − 1 пополам — это должно быть абсолютно там очевидно, абсолютно известно. Ну то есть как следствие мы получили формулу для суммы арифметической прогрессии. Ну это уже не так позорно, как в первом случае. Чуть-чуть поинтереснее. Давайте следствие 3. Возьмем n = 3 и посмотрим, чего у нас получается. Получается С из m + 3 по 3 равняется C из m + 1 или + 2? + 2 наверное, да? Из m + 2 по 2, прибавить С из m + 1 по 2 + … + C из 2 по 2. Ну давайте поймем, чего получилось. Ну начнем давайте слева. Чего-то мне как-то надоело слева не начинать. Давайте начнем слева. Что такое C из m + 1, или там из m + 2 по 3? Ну опять, мы m + 2! делим на 3! и там на n − 1!, да? То есть остается сверху только произведение трех сомножителей. Если кто-то не услеживает — проверьте это руками, это совсем просто. Остается (m + 1)(m + 2) (m + 3), и это все делится на 3!, то есть на 6. 3! — это 6, конечно же. Вот. А справа у нас получается — ну мы, в общем, только что писали, я сейчас еще раз то же самое напишу. Значит, (m + 2)(m + 1) пополам, + (m + 1)m пополам + … + 2 * 1, и все это поделить на 2. Так, давайте я то, что написано справа, перепишу. Вот это вот сейчас я еще разочек перепишу. Значит, у меня будет (m + 1) в квадрате поделить на 6. Это я сейчас раскрываю скобки в первой дроби. Я как бы вот здесь вот в m + 2, вынес отдельно m + 1. А отдельно у нас еще остается слагаемое единичка здесь. m + 2 — это m + 1 + 1. И эта единичка нам дает m + 1 поделенное на 6. Ой, друзья мои, спасибо огромное. Да, зарапортовался. Ничего, на дискретном анализе я буду лажать больше. Ну, в смысле что он у меня следующий, и я уже дойду до состояния, когда будет тяжелее не ошибаться. Нет, ну конечно пополам. Откуда шесть-то, господи? Так, здесь точно так же пишем m в квадрате / 2 + m / 2 + … + И последнее слагаемое расписываем так же. То есть это 1 в квадрате / 2 + 1/2. Значит, 1 в квадрате / 2 + 1/2 Плюс одна вторая. Ну и я думаю, что присутствующие видят пафос. Мы получили формулу для суммы квадратов натуральных чисел. Давайте я уж не буду ее тут высчитывать, выводить. Я просто напишу, что из всего этого следует, что, если просуммировать числа от единицы до m, скажем, в квадрате, то получится m(m + 1)(2m + 1) / 6. Ну и теперь вы понимаете, что это за тождество. Оно означает, что при каждом конкретном n мы в итоге можем получить формулу просто для суммы энных степеней натуральных чисел. Вот здесь была формула для суммы нулевых степеней. Дальше была формула для суммы первых степеней. Тут мы получили в итоге формулу для суммы вторых степеней. Если вы подставите что-то большее, там четверка, скажем, то будет формула для суммы третьих степеней, и так далее.