[MÚSICA] Olá, bem vindos ao nosso último vídeo,
que a gente vai fazer resumo de tudo que foi visto até agora e vai
concluir mostrando o teorema da amostragem, que diz que é possível
sim recuperar exatamente o sinal desejado a partir das suas amostras.
Então, vamos ver tudo que a gente viu por enquanto.
Vamos imaginar que a gente queira amostrar sinal x(t).
Essa característica frequência, ela tem esse sinalzinho preto,
que é o que nos interessa, e vai até uma frequência máxima fm.
A gente tem esse sinalzinho azul aqui,
que é ruído dentro dessa faixa inicial de frequência.
Ruído, a gente não tem o que fazer.
Ele existe.
Eu estou gravando essa voz aqui, tem ruído e não tem muito o que fazer relação a ele.
Mas eu também tenho algum ruído, alguma coisa, fora da faixa de interesse.
E no fs sobre dois até fs, de fs até três fs sobre dois,
e vai embora, aqui se repete.
Se eu, simplesmente, pegar esse sinal e amostrar ele, eu vou ter dois detalhes.
Primeiro, a gente viu que a maior frequência digital que existe é
a frequência pi.
E a gente viu que quando a gente amostra aqui, a frequência fs sobre 2,
onde fs é a frequência de amostragem, é mapeada na frequência pi digital.
Então, se eu quero representar bem essa minha frequência fm aqui,
e a maior frequência que eu consigo representar do mundo analógico é fs sobre
dois, eu preciso escolher a minha frequência de amostragem,
tal que fs sobre dois seja maior do que fm, ou seja, a minha frequência de
amostragem tem que ser mais do que duas vezes a maior frequência do sinal.
O segundo fenômeno importante é o fenômeno do aliasing,
que diz que várias frequências vão se misturar após a amostragem.
Então, o que eu estou mostrando aqui é o que é que vai acontecer se eu amostrar
esse sinal aqui.
No sinal discreto, eu vou ter de zero até fs sobre dois
eu vou ter a mesma coisa do meu sinal aqui, não muda nada.
Lá tem preto e eu tenho o azul aqui.
De fs sobre dois até fs, a gente vai ter aquela ambiguidade que
diz que a frequência f e a frequência fs mesmo f são indistinguíveis após
a amostragem fora uma questão de fase que eu tenho que mudar.
Então, a gente vai ter aqui fs vai acabar afetando o zero,
essa frequência vai acabar afetando aqui no meio e fs sobre dois aqui
pouquinho maior acaba afetando pouquinho antes do fs sobre dois.
Então, tem espelhamento ai, porque é fs menos f, então é o espelho.
Então, esses caras vão aparecer aqui, afetando.
Esses caras vermelho vão aparecer afetando assim,
porque frequências analógicas separadas de fs se distinguem.
Então, daí eu ando daqui para cá, eu ando fs.
Então, eu vou ter o meu sinal digital, ele vai ser
composto nessa frequência aqui pela soma dessa frequência com essa amplitude fase,
mais a frequência verdinha com a amplitude fase dada pela curva verdinha,
mais a mesma frequência com a amplitude fase dada curva azul, mais
essa mesma frequência com a amplitude fase dada pela curva vermelho aqui e azul aqui.
Então, a gente vai ter que o nosso sinal vai ser o desejado mais uma
mistura de três ruídos.
Bom, o ruído azul, não tem o que eu fazer com ele,
porque ele está bem cima das nossas frequências.
Eu não tenho como distinguir aqui o que é sinal de interesse e o que é que é
sinal ruído.
Mas, o verde, ele não precisava se misturar aqui.
Eu não vou ser capaz de representar esse sinal verde de qualquer jeito,
porque ele está acima de fs sobre dois, mas ele não precisava se misturar aqui,
eu posso evitar isso.
O vermelho, também.
Como eu evito tudo isso, com filtro anti-aliasing.
Esse filtro anti-aliasing, o que é que ele tem que fazer?
Ele tem que deixar chegar na entrada do meu conversor analogico-digital,
ele tem que deixar o sinal que preserve o sinal de interesse até a frequência fm.
Então, ele tem que ter uma faixa de passagem no filtro que vai até fm
sem distorcer o sinal, mas ele não pode deixar aparecer aqui as
frequências que vão me causar aliasing na faixa de interesse depois da amostragem.
Então, eu tenho que cortar até a frequência fs menos fm,
porque lembra que fm e fs menos fm vão se misturar depois.
Então, quem eu vou amostrar, na realidade,
não é o sinal completo com azul, verde e vermelho, é o sinal com azul,
verde e vermelho depois de passar por esse filtro.
Elas vão ser altamente atenuadas.
Então, na realidade, o que eu vou mostra aqui vai ter o preto e o azul,
e esse verde aqui já atenuando bastante.
Então, o aliasing que o verde vai causar.
vai ser esse verde aqui, que vocês devem mal tá vendo,
que é altamente atenuado relação a esse verde.
O vermelho já não vai mais aparecer mais aqui,
porque ele foi muito atenuado pelo meu filtro.
Essa parte do verde que causaria a aliasing também não aparece,
o filtro atenua.
Então, o que a gente observa é que o que eu vou amostrar, ele tem exatamente o
sinal de interesse até a frequência de interesse e algum ruído aqui, que é
diferente do ruído original, mas que não afeta a faixa de interesse de frequências.
Ai eu passo para a reconstrução desse sinal.
eu poderia jogar ele num conversor digital para analógico direto.
E aí o que é que eu tenho?
Eu tenho o meu sinal digital aqui, que, até essa frequência,
tem aquela curvinha preta mais o ruído azul, aqui tem aquele ruído que é
o azul mais o verde, então preto mais azul, azul mais verde,
e aqui tem as réplicas do espectro, porque você lembra que no espectro digital
tem aquelas ambiguidades de frequência que se manifestam como réplicas.
Frequências separadas de dois pi são indistinguíveis.
Então, esse cara aparece deslocado de dois pi.
A frequência ômega e a frequência dois pi menos ômega,
fora a questão da fase, também dá a mesma coisa.
Então, essas frequências aqui ômega aparecem aqui como as frequências
dois pi menos ômega.
A hora que eu passo esse sinal pelo conversor digital para analógico,
eu vou pegar o espectro do sinal digital e vou fazer duas coisas.
Primeiro, eu desfaço a regrinha de três.
Então, as frequências pi aparecem nas frequências fs sobre dois.
Segunda coisa, eu multiplico esse espectro resultante pela transformada
de Fourier usada do pulso usado pelo meu conversor digital para analógico,
que, geral, tem uma cara mais ou menos assim.
Então, aqui preto eu já estou mostrando o resultado desse produto, aqui eu estou
mostrando a transformada de Fourier do pulso e aqui já o resultado do produto.
O que acontece?
Acontecem duas coisas.
Primeiro, aparece essa imagem aqui, essas frequências fs, que vêm dessas
réplicas aqui a hora que eu multiplico pela transformada de Fourier do pulso.
E aqui, eu introduzi pela primeira vez uma distorção na minha faixa de interesse,
porque eu estou multiplicando essas frequências aqui,
que são exatamente as mesmas frequências que tinham no meu sinal original,
eu estou agora multiplicando pela transformada de Fourier do pulso que dá
ganho menor para as altas frequências do que para as baixas frequências.
Você tem uma distorção aqui.
Então, eu tenho dois problemas.
O primeiro problema que a gente pode eliminar é o problema da imagem.
Esse problema da imagem tem que ser eliminado no mundo analógico,
porque eu não tenho como evitar essas réplicas no mundo digital.
Eu não tenho como fazer esse processamento.
No mundo digital, sempre vai aparecer a frequência zero vai ser igual a frequência
dois pi, não importa o que eu fizer com o meu sinal.
Então, para eliminar essa imagem, eu tenho que trabalhar no mundo analógico.
E aí, o que é que eu faço?
Eu passo por filtro para eliminar as imagens.
Esse filtro aqui.
Então, esse filtro vai pegar o sinal y(t),
que é esse camarada preto aqui e simplesmente vai cortar essa
imagem e todas as outras imagens que tem aqui para a frente.
Ele não vai causar nenhuma distorção aqui e vai eliminar desse ponto diante.
Então, ele tem uma faixa de passagem, que não distorce a frequência de interesse,
mas que rejeita daqui para frente, de forma que a transformada de Fourier agora,
o espectro de frequência do sinal reconstruído passa a ser
alguma coisa aqui entre zero e a frequência máxima,
o sinal original distorcido pela transformada do pulso, e, a partir daqui,
eu tenho aqueles ruídos e aqui eu tenho uma coisa altamente atenuada.
A partir daqui, eu tenho uma atenuação dada pela atenuação do meu filtro.
Tá bom?
Agora, falta só eu corrigir essa distorção.
Mas eu conheço qual é o pulso usado no meu conversor digital para analógico.
Então, para eliminar a distorção, eu, simplesmente,
passo por filtro que tenta compensar.
Se o conversor digital para analógico dá ganho de meio alguma frequência, eu,
antes de jogar lá ou depois de jogar lá,
eu multiplico isso daqui por dois e compenso esse ganho.
Então, eu passo o meu sinal, finalmente,
por filtro que vai compensar as distorções.
E aí olha o que vai acontecer.
Eu tinha originalmente aqui sinal frequência com o sinal de interesse,
algum ruído dentro da minha faixa de interesse, e outras coisas fora da minha
faixa de interesse que não me interessam, eu não quero pegar eles.
Depois que eu fiz toda essa operação aqui, conversão, analógico-digital,
digital para analógico, eliminei as imagens e compensei as distorções,
eu tenho sinal reconstruído aqui que é exatamente igual ao meu sinal original
na faixa de interesse, e fora da faixa de interesse,
eu tenho algum ruído, que não me afeta muito.
Qual é a conclusão?
É que se a gente escolher corretamente os filtros e a frequência de amostragem,
a gente consegue recuperar o sinal de interesse após uma amostragem bem feita.
E esse é o famoso teorema da amostragem.
Isso conclui o nosso curso, espero que vocês tenham aproveitado,
se divertido pouco, adquirido interesse por essa área de processamento de
sinais e eu espero vê-los outros cursos aqui do Coursera ou eventualmente,
outros cursos que eu mesmo venha a oferecer.
Obrigado pelo interesse, obrigado pela atenção e até a próxima.
[MÚSICA]
