Introduction à l'optique non-linéaire, qui correspond au régime d'interaction laser-matière que l'on peut explorer à l'aide de lasers intenses, comme par exemple les lasers femtosecondes.
Modèle simple de la susceptibilité linéaire (2/2)
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Del curso dictado por École Polytechnique
Optique non-linéaire
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De la lección
De l'optique lineaire à l'optique non-lineaire
Après une brève description de l’origine microscopique de la réponse linéaire d’un matériau, ce chapitre introduira l’origine physique de l’absorption et de l’indice de réfraction. On montrera ensuite comment un régime d’excitation plus élevé impose de sortir du cadre d’une réponse strictement linéaire. Enfin, une introduction au langage Scilab permettra de disposer d’un outil de calcul numérique qui sera utilisé dans toute la suite du cours.
Conoce a los instructores
Manuel JoffreDR CNRS et Professeur associé à l'Ecole polytechnique
Département de Physique
Vincent KemlinChargé d'enseignement à l'Ecole polytechnique
Physics
Alors ça,
évidemment c'est en régime statique, et quand on s'intéresse à l'interaction d'un
matériau avec un faisceau lumineux le champ électrique va osciller,
et donc il va falloir s'intéresser à l'évolution de cet oscillateur en
fonction du temps lorsqu'il est soumis à un champ électrique oscillant.
Alors pour ça on va commencer par s'intéresser à l'oscillateur seul,
donc en supposant ce qui se passe si on coupe le champ électrique,
donc si j'enlève la force électrique, il n'y a plus que les forces de rappels,
et mon oscillateur va évidemment osciller sous l'action de la force exercée par le
ressort, c'est un oscillateur mécanique, avec une équation d'évolution,
où j'aurai la loi de Newton qui me dit que la masse fois l'accélération est égale à
la force de rappel, donc la force de rappel qui est égale à moins kx,
et ici j'ai remplacé la raideur k du ressort par m oméga zéro carré,
oméga zéro est homogène à une fréquence,
ou une pulsation, et pour une raison qui va être claire dans un instant.
Donc vous voyez que cet oscillateur pendant que je parlais,
l'oscillateur s'est arrêté d'osciller, si je le relance eh bien vous voyez qu'au fur
et à mesure l'amplitude de l'oscillation diminue, ça c'est parce que on a affaire à
un oscillateur amorti, à une vibration moléculaire qui va elle aussi s'amortir,
et on va modéliser ça en rajoutant ici une force de frottement fluide,
qui va être proportionnelle à la vitesse de l'oscillateur, et c'est ça qui fait que
l'oscillateur va petit à petit tendre vers sa position d'équilibre.
Alors j'ai introduit ici dans cette force de frottement fluide une constante gamma,
qui va donc être proportionnelle au frottement,
et qui sera elle aussi homogène à une fréquence.
Alors, la solution à ce problème de l'oscillateur harmonique amorti,
vous la connaissez certainement, donc il y a plusieurs régimes,
il y a un régime pseudo-périodique,
c'est celui qui va m'intéresser quand l'amortissement est suffisamment faible,
et je vais même supposer que le taux d'amortissement gamma est en
fait très inférieur à oméga zéro, ce qui correspondra au cas que l'on rencontre
habituellement dans des vibrations moléculaires, et donc dans ce cas-là,
la solution peut directement s'écrire sous la forme qui est indiquée ici,
on a une décroissance exponentielle avec un taux de décroissance qui est gamma,
le taux d'amortissement, et puis une évolution sinusoïdale,
avec ici cosinus oméga zéro t, plus phi.
La seule différence si j'avais pas supposé que gamma est très petit devant oméga zéro
mais simplement suffisamment petit c'est que la fréquence qui interviendrait ici ne
serait pas exactement la fréquence qu'on a dans la définition de la raideur du
ressort k égal oméga zéro carré, mais dans tous les cas on aurait dans le
régime pseudo-périodique l'expression qui est indiquée ici.
Donc ça c'est la solution générale à l'équation du
second ordre qu'on a en-haut, donc on a ici deux constantes qui interviennent,
la phase phi de la vibration, et l'amplitude de la vibration.
C'est normal de retrouver deux constantes, puisque l'ensemble des solutions de
cette équation différentielle du second ordre à coefficients constants ici,
est un espace vectoriel de dimension deux.
Ce qui est important,
c'est que cette solution générale va toujours tendre vers zéro,
et elle va tendre vers zéro assez vite, en fonction de ce taux d'amortissement.
Pour fixer les idées, pour une vibration moléculaire comme la molécule de monoxyde
de carbone, la période d'oscillation est de l'ordre de 15 femtosecondes,
et le taux d'amortissement va dépendre de l'environnement de la molécule,
mais ça pourra plutôt de l'ordre de la picoseconde,
donc beaucoup plus long que la période d'oscillation, mais dans tous les cas
vous voyez que cette vibration moléculaire va très, très vite s'atténuer.
Bien donc on va maintenant s'intéresser à notre oscillateur lorsqu'il est soumis à
un champ électrique oscillant E de t,
donc ce sera l'oscillateur harmonique en régime forcé.
Dans ce cas-là, l'équation d'évolution est la même que tout à l'heure,
simplement il faut ajouter la force causée par le champ électrique, donc delta q,
E de t, la force exercée sur chacun des atomes.
Je dois préciser ici que la masse qui intervient,
je ne l'ai pas dit tout à l'heure mais la masse qui intervient ici ce n'est pas la
masse d'un des deux atomes, c'est la masse réduite,
puisqu'on s'intéresse au mouvement relatif entre les deux atomes.
Enfin, qualitativement ça ne va pas changer le résultat du problème,
mais c'est bien la masse réduite qu'il faut utiliser.
Donc on va s'intéresser au cas particulier où le champ E de t
est une onde sinusoïdale, alors, ça peut vous paraître arbitraire comme choix,
en fait on verra dès la semaine prochaine que tout champ électrique E de t
peut se mettre sous la forme d'une superposition d'onde sinusoïdale,
donc il est naturellement intéressant de considérer le cas des ondes sinusoïdales,
on pourra toujours ensuite par superposition linéaire trouver la
réponse du système à n'importe quel champ électrique.
Donc comme le champ électrique sera une fonction sinusoïdale, eh bien ça nous
incite à utiliser la notation complexe, c'est-à-dire que je vais introduire le
champ complexe E rond de t, qui dans ce cas monochromatique est très simple.
C'est donc une grandeur complexe E, qui comprendra l'amplitude et la phase,
multipliée par exponentielle moins i oméga t.
Et le champ électrique E de t réel sera simplement la partie réelle de
E rond de t.
Et de la même manière, je vais écrire que la solution du problème x de t
sera la partie réelle d'une fonction ksi de t,
qui sera elle aussi en exponentielle moins i oméga t.
Alors ce que je vais faire ici,
c'est qu'il me suffit de trouver une solution particulière au problème.
Puisqu'on sait que la solution de l'équation différentielle que vous avez
en-haut, c'est la solution générale dont on a vu qu'elle s'amortissait et qu'elle
tombait très vite vers zéro, donc elle va disparaître en régime stationnaire,
plus une solution particulière, donc il suffit de
trouver une solution particulière donc c'est celle-là qu'on va chercher,
avec ce choix d'une fonction ksi de t qui sera en exponentielle moins i oméga t.
Donc si je remplace x et E par les grandeurs complexes ksi et E rond de t,
ben j'obtiens cette équation, c'est la même équation, simplement j'ai écrit d'un
seul côté tout ce qui dépendait de ksi, et de l'autre côté, en divisant par m,
l'action, le terme source provenant de l'interaction avec le champ électrique.
Donc comme ksi est supposé évoluer en exponentielle moins i oméga t,
évidemment quand je vais dériver ksi par rapport au temps,
eh bien il y a le facteur moins i oméga ici qui va sortir, donc la dérivée de ksi
par rapport au temps que l'on ici, c'est tout simplement moins i oméga fois ksi.
Et la dérivée seconde, ce sera moins i oméga au carré,
c'est-à-dire moins oméga deux, ksi.
Donc finalement cette équation différentielle,
ce sera tout simplement oméga zéro carré, moins oméga deux,
moins deux i gamma oméga ksi, égal au terme source.
Donc on pourra en divisant par ce pré-facteur qui dépend de la fréquence,
on pourra directement écrire la solution, sous la forme de ksi proportionnel à E
avec donc le terme de proportionnalité que vous avez ici.
Alors on va pouvoir comme ceci distinguer différents régimes en fonction de
la fréquence.
Alors dans le cas que vous avez à l'écran,
c'est la cas où la fréquence oméga est très faible devant oméga zéro.
Donc je vais représenter ici dans le plan complexe le champ complexe E rond,
donc qui ici pointe vers le haut, et puis la valeur de ksi.
Comme oméga est en fait ici devant oméga zéro, on va pouvoir considérer
que oméga ici va être négligeable, oméga deux va être négligeable,
ce terme-là aussi on va pouvoir le négliger, et vous voyez qu'on trouve
simplement que ksi est proportionnel à E avec un pré-facteur qui est réel, c'est en
fait exactement le même pré-facteur qu'on avait trouvé dans la réponse statique,
si vous vous rappelez que m oméga zéro carré est égal à k, c'est la formule qu'on
avait trouvée tout à l'heure dans le cas d'une réponse statique.
Et donc on voit que ksi est effectivement proportionnel au champ électrique.
Alors je vais maintenant augmenter la valeur de la fréquence.
Si j'augmente la valeur de la fréquence,
donc je fais osciller mon champ de plus en vite, vous observez que d'une part,
l'oscillation est de plus en plus importante, et par ailleurs on voit que
ksi n'est plus directement dans la même direction que E dans le champ complexe,
c'est-à-dire qu'on va avoir un déphasage de ksi par rapport au champ complexe,
et je vais me placer pour cette fréquence-là pour laquelle ksi est
exactement déphasé de pi sur deux par rapport au champ incident.
Alors ça d'où ça vient?
Ça vient tout simplement du fait que je me suis mis à la résonance,
donc maintenant c'est ce terme-là qui disparaît, oméga est égal à oméga zéro,
et donc vous voyez qu'il va rester ce facteur i,
je vois que ksi va simplement être égal à i fois un certain pré-facteur, fois E.
Donc comme on le voit dans la représentation dans le plan complexe,
ksi qui est i fois E va donc faire un angle de 90 degré par rapport à E
dans le champ complexe, on aura donc, l'oscillation va être en
quadrature par rapport à l'excitation, et c'est effectivement ce qu'on voit sur
l'animation, vous voyez que à chaque fois que le champ électrique passe par zéro,
eh bien ça correspond au moment où l'élongation est soit maximale,
soit minimale, donc mes deux grandeurs, E et ksi sont bien en quadrature.
Bien je vais maintenant continuer à augmenter la fréquence,
donc maintenant je vais avoir oméga qui est
très grand devant oméga zéro, et donc dans ce cas-là,
ce qui va se passer, c'est que c'est ce terme-là, qui va devenir prépondérant,
et donc le, ksi va être à nouveau réel, mais avec un signe moins,
donc ksi va être en opposition de phase par rapport au champ électrique et c'est
effectivement ce qu'on observe, on voit que quand le champ pointe vers le haut,
eh bien la molécule est comprimée alors que quand il pointe vers le bas,
la molécule est étirée, c'est le contraire de ce qu'on avait tout à l'heure.
Et c'est aussi ce qu'on voit dans la représentation dans le champ complexe,
ksi pointe dans la direction opposée par rapport au champ électrique.
Bien, donc ceci nous permet maintenant de calculer,
d'exprimer la polarisation en fonction du champ électrique.
Donc j'ai reporté ici l'équation que nous venons d'établir, dans le cas général,
où ksi est proportionnel à E, la polarisation induite,
on a vu que c'était égal à la densité de dipôle fois delta q fois x de t,
donc ce sera la partie réelle de ksi exponentielle moins i oméga t.
Donc, on peut,
évidemment ceci nous incite à utiliser la notation complexe complexe également
pour la polarisation induite, donc je vais introduire la grandeur P rond.
Et j'aurai une polarisation induite qui sera la partie réelle de P
rond exponentielle moins i oméga t.
Donc la polarisation induite va elle aussi osciller à la fréquence oméga.
Si je remplace, j'obtiens cette formule, où je vois que effectivement comme on
l'attendait dans le régime linéaire, la polarisation est proportionnelle au
champ électrique, et donc ce pré-facteur ici, qui est devant le champ électrique,
ce sera tout simplement epsilon zéro fois khi de oméga, et donc je vais pouvoir en
déduire l'expression de la susceptibilité linéaire, donc un
pré-facteur ici et le terme dépendant de la fréquence, le terme complexe
dépendant de la fréquence que nous avons discuté tout à l'heure dans le cas de xi.
Donc si on se place maintenant dans un cas où on est proche de la résonance,
si oméga est proche de oméga zéro, eh bien.,
dans l¡expression qui est en-dessous, je vais pouvoir, ben déjà oméga zéro au
carré moins oméga deux, je peux l'écrire sous la forme oméga zéro moins oméga
multiplié par oméga zéro plus oméga.
Mais comme oméga est proche de oméga zéro eh bien oméga zéro plus oméga,
je vais pouvoir le remplacer par deux oméga zéro,
et j'ai également ici le deux oméga que je pourrais remplacer par deux oméga zéro.
Et donc vous voyez que en mettant deux oméga zéro en facteur,
j'obtiens l'expression que vous avez ici, où on a simplement un terme en
un sur oméga sur oméga moins oméga zéro plus i gamma.
Donc ça c'est l'expression de la susceptibilité quand on s'approche de la
résonance, c'est-à-dire plus précisément quand oméga moins oméga zéro
est très inférieur à oméga zéro.
On va pouvoir dans ce cas-là calculer la partie réelle et la partie imaginaire de
la susceptibilité, simplement en multipliant l'expression de
khi par oméga moins oméga zéro moins i gamma.
Donc la partie imaginaire d'abord, donc c'est le terme en moins i gamma,
moins i gamma fois le moins qui est ici,
finalement j'aurai i gamma, donc la partie imaginaire va
simplement faire apparaître un facteur gamma au numérateur, et au dénominateur,
j'aurai évidemment oméga moins oméga zéro au carré, plus gamma deux.
Donc on obtient une fonction lorentzienne, qui est une fonction qui
intervient très souvent en physique, qui est représentée ici,
donc qui est centrée sur oméga zéro, sa largeur à mi-hauteur, ce sera deux gamma,
puisque si je remplace oméga moins oméga zéro par gamma,
ben j'aurais au dénominateur deux gamma deux au pic de la fonction.
Donc j'ai bien la moitié de la valeur au pic.
Donc la largeur à mi-hauteur, c'est bien deux gamma.
Donc cette fonction va nous représenter la courbe de résonance de
mon oscillateur mécanique soumis à un champ électrique oscillant.
Quant à la partie réelle de khi de oméga, eh bien, c'est la même chose,
simplement en multipliant par oméga moins oméga zéro moins i gamma,
le terme que je vais garder maintenant c'est oméga moins oméga zéro,
et avec le signe moins, eh bien je vais avoir ici oméga zéro moins oméga.
Donc on obtient la courbe que vous avez, qui est représentée ici en bleu,
qui s'annule quand oméga est égal à oméga zéro,
et si je regarde pour oméga inférieur à oméga zéro, eh bien je vais avoir en fait
une branche d'hyperbole, si je suis assez loin de gamma, je vais pouvoir négliger le
terme en gamma deux ici et j'aurai effectivement ici quelque chose qui est en
main sur oméga moins oméga zéro, c'est la branche d'hyperbole que vous voyez ici.
Même chose pour oméga supérieur à oméga zéro,
où j'ai la même chose avec un signe opposé.
Et puis, au voisinage de oméga zéro, j'ai cette variation.
Donc voilà pour conclure la réponse de notre oscillateur mécanique à
un champ oscillant.
C'est évidemment un problème de physique très général,
vous rencontrez exactement le même comportement physique pour un circuit RLC
soumis à une tension sinusoïdale, et il se trouve que la formule qu'on a établie
ici pour un oscillateur mécanique en mécanique classique reste en fait valable,
en tout cas très très similaire en mécanique quantique, c'est la
même formule qu'on obtiendrait, et c'est ça qui fait que ce modèle très simplifié,
même s'il a le défaut d'être classique, va nous permettre de comprendre un
certain nombre des propriétés qu'on rencontre dans des matériaux réels.
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