那我们再看看更复杂一点的case 就是说
如果你今天要算的是g(X)=aX^2+b这样的case
那结果是怎么样 我们先看看 直接看一个题目
假设现在Y=2X^2+1 也就是a=2 b=1的意思
然后呢也有人告诉你 X的distribution是长成这样 所以
continues的UNIF是-1到7都有可能 ok
那请问Y的PDF长什么样子 就是
X~UNIF（-1，7） 那Y是等于2X平方加1 那请问Y的PDF是多少
那要算Y的PDF 老师上次一开始跟你讲
不要那么好高骛远 一下就想要算PDF 先算CDF
所以我们先算FY（ｙ）就是Y≤ｙ的概率
那Y≤ｙ的概率的概率是什么
Y等于２X平方加１嘛 题目都有跟你讲Y等于２X平方加１
所以我们先要算２X平方加１小于等于ｙ的概率 Y等于２X平方加１嘛 题目都有跟你讲Y等于２X平方加１
所以我们先要算２X平方加１小于等于ｙ的概率
那２X平方加１小于等于ｙ 你把这里面整理一下 所以我们先要算２X平方加１小于等于ｙ的概率
那２X平方加１小于等于ｙ 你把这里面整理一下
这等于在算什么
等于在算X平方要小于等于二分之ｙ减１的概率 ok 这等于在算什么
等于在算X平方要小于等于二分之ｙ减１的概率 ok
那你的X平方会比二分之y减1小 那表示什么
那表示你的X一定是落在负根号二分之y减1跟
正的根号二分之y减1之间嘛
你落在这两个之间 你平方之后才会落在
才会比二分之ｙ减１小 对不对 那也就是说
你如果要算X落在这两个点之间的概率
那我们就要什么 我们把它PDF 对不对
要把它PDF从负二分之y减1积到正二分之y减1 就结束了
对不对 那大家就觉的说就这样简单就算出来啦
但是 事情没有大家想的那么简单滴
这东西呢要小心 这其实是很容易出错的地方
因为y的值大或小会有差别的
如果你现在y很小我们来看一下 刚才讲
X是在 它的PDF X~UNIF（-1，7）
也就是它的PDF只有在（-1，7）有值
而且它是uniform 所以它是平的 在（-1，7）是平的 ok
你看看如果你现在y很小的时候你积分
负根号二分之y减1这个地方到正的根号二分之y减1这个地方
你看 这个地方都落在（-1，7）之间
所以呢 积分的范围从头到尾都是在
这个PDF都是不等于0的 所以真的是实实在在的从
负根号二分之y减1积到正的根号二分之y减1
这个没有问题 对不对 但是你看看
随着Y越来越大的时候这个积分范围是
越来越大 越来越大 越来越大 对不对
Y大到一个程度的时候后来发生什么事情
你会发现说
那个负根号二分之y减1好像会碰到那个-1
就碰到-1之后再过去PDF就等于0了
等于0就没有值了对不对 所以
积分就不再是从负根号二分之y减1开始积
而是从-1开始积了 对不对 是不是像这个样子
Y大到一个程度 你看这边左边这个地方已经到顶了
到顶了 所以它再过去PDF就等于0了
所以它积分范围就不再是负根号二分之y减1开始了
而是从-1开始 那所以
在Y等于什么时候开始会有这样的转折
事实上我们就要去算什么时候负根号二分之y减1
负根号二分之y减1碰到-1 就是说你去解一下
什么时候负根号二分之y减1会等于-1 你解出来发现等于3
所以我们就发现说
在Y＜3的时候 你积分是真真正正的从
负根号二分之y减1积到正的根号二分之y减1
可以如果你Y＞３的时候 你积分就不是这个样子了
你是从-1积到正的根号二分之y减1 ok
所以呢 你就看Y≤3的时候 你是真的从
负根号二分之y减1积到正的根号二分之y减1
然后你去积积积 最后积出来是等于这个样子
如果Y＞３的时候你的积分的下限就不再是
负的根号二分之y减1 而是-1了
从-1一直积到根号二分之y减1 然后积积
最后整理一下出来是这个样子 这个呢
就是你的CDF在不同的Y的地方的时候的CDF
有了CDF之后 你会怎样 再去微分 微分之后
我们就得到PDF了 对不对
然后所以你看 Y≤3的时候
你把刚刚这个结果对y微分
这边也是用到圈入老师就不再讲了
这是一个基本的微分 你可以算出来它等于
十六分之一的根号y减1分之2
那Y＞３的时候也是一样 去微分
所以得到的是三十二分之一的根号y减1分之2
两个是不一样的 ok？
所以这个呢就给你一个例子
做完前面的example之后相信大家对算g(x)
特别是连续的这个随机变量的这个case
大家就比较能够掌握了
这其实是个非常有用的技巧
最后呢 我们来回顾一下我们这一节
这节呢 我们一开始呢是探讨这个随机函数
随机变量的这个函数g(x) 那我们上面有讲
这个东西又称作derived random variable
因为它是个衍生出来的新的随机变量
那随机变数呢如果是离散的怎么办呢
g(x)的PMF我们可以直接去推 你就去
这个g(x)会等于Y的概率就是等于把那些所有 g(x)的PMF我们可以直接去推 你就去
这个g(x)会等于Y的概率就是等于把那些所有
会让g(x)会等于Y的那些X的PMF值把它加起来
你就可以得到g(x)等于Y的概率也就是g(x)PMF了
但是呢 如果你随机变量是连续的话
就比较复杂了 我们就先要去推g(x)的CDF
那这时候CDF再去微分得到PDF会比较好算
但是前面有个例子有给你看到 就是说
特别是有时候你在算CDF你会用到一些积分
那这个积分呢 积分的范围要小心
有些时候可能超过某些边界条件的时候
它可能是积到哪里 它到某个边界条件的时候
它肯定就积分的形式不一样 这个就要小心
就刚才那个Y等于2X平方加1就希望
给大家有一个这样一个例子 以后知道要怎么小心
葉丙成教授 (Professor)
