7-2.b: 隨機變數之函數 (下)

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Del curso dictado por National Taiwan University

頑想學概率：機率二

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National Taiwan University

頑想學概率：機率二

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這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。

De la lección

WEEK 7

上週提到離散的隨機變數期望值，本週我們會談到離散的隨機變數期望值該怎麼算出來？在 7-2 和 7-3 我們會了解隨機變速的函數、條件的幾率分佈、和失憶性──之前我們有提到 Geometric Distribution 跟Exponential 都是失憶性的這種幾率分佈，那什麼叫失憶性 (Memoryless) 呢？

7-0：咱們聊聊，每天都在忙，忙的有用嗎？24:12

7-1.a：期望值 II (上)14:22

7-1.b：期望值 II (下) 13:07

7-2.a: 隨機變數之函數 (上) 10:35

7-2.b: 隨機變數之函數 (下) 8:42

7-3.a: 條件機率分佈與失憶性 (上)15:07

7-3b: 條件機率分佈與失憶性 (下) 19:20

Conoce a los instructores

葉丙成 Ping-Cheng Yeh (Benson)
教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)

那我们再来看一个实际的例子

假设你现在X~Exponential（λ）

然后我们又知道y=2x 那请问一下Y的概率分布长什么样子呢

那这个我们就看看我们手上有的资讯有没有

我们知道的是X呢它是一个Exponential的distribution

所以它是PDF 那这边有一个u（x）这u（x）它是一个工程

还蛮常用到的一个函数就是说

它这个x在0以前u（x）=0

在0以后它就跳起来直接维持在1 它这个x在0以前u（x）=0

在0以后它就跳起来直接维持在1

那也就是说在工程上很多时候我们看到一个函数

后面会乘上一个u（x）这就告诉人家说

这个函数只有在x≥0的时候有值

那x≤0的时候它是等于0就没有值就跟Exponential那个PDF一样

对不对所以这是另外一个我们还蛮常用来表示

X~Exponential的这个PDF的这个方法

那我们知道它的X的PDF长这个样子那我们又知道y=2x

以及这个刚才前面的y=ax+b的a=2 b=0

那根据前面我们学到推导出来的结果我们就知道说

Y的PDF就会等于a的绝对值分之f(x)((y-b)/a)

那这个你把它带进去长成是这个样子

那这个样子你再把它整理一下最后看起来是这个样子

那你看看它长相是什么它长相是λ/2

乘以Exponential的-λ/2乘上y再乘上u(y)

那事实上这看起来就是一个Exponential（λ/2）的distribution

最后我们发现说诶你把一个Exponential乘上一个常数倍

把X乘上一个常数倍乘上一个2倍

它最后就变成Exponential的λ/2 ok

那如果你把它乘上比如说y=5x的话

它就会变成Exponential的λ/5

所以这是个蛮好玩的性质蛮有用的性质

因为有时候会用到

那我们再看看更复杂一点的case 就是说

如果你今天要算的是g(X)=aX^2+b这样的case

那结果是怎么样我们先看看直接看一个题目

假设现在Y=2X^2+1 也就是a=2 b=1的意思

然后呢也有人告诉你 X的distribution是长成这样所以

continues的UNIF是-1到7都有可能 ok

那请问Y的PDF长什么样子就是

X~UNIF（-1，7）那Y是等于2X平方加1 那请问Y的PDF是多少

那要算Y的PDF　老师上次一开始跟你讲

不要那么好高骛远　一下就想要算PDF　先算CDF

所以我们先算FY（ｙ）就是Y≤ｙ的概率

那Y≤ｙ的概率的概率是什么

Y等于２X平方加１嘛　题目都有跟你讲Y等于２X平方加１

所以我们先要算２X平方加１小于等于ｙ的概率 Y等于２X平方加１嘛　题目都有跟你讲Y等于２X平方加１

所以我们先要算２X平方加１小于等于ｙ的概率

那２X平方加１小于等于ｙ　你把这里面整理一下所以我们先要算２X平方加１小于等于ｙ的概率

那２X平方加１小于等于ｙ　你把这里面整理一下

这等于在算什么

等于在算X平方要小于等于二分之ｙ减１的概率 ok 这等于在算什么

等于在算X平方要小于等于二分之ｙ减１的概率 ok

那你的X平方会比二分之y减1小那表示什么

那表示你的X一定是落在负根号二分之y减1跟

正的根号二分之y减1之间嘛

你落在这两个之间你平方之后才会落在

才会比二分之ｙ减１小对不对那也就是说

你如果要算X落在这两个点之间的概率

那我们就要什么我们把它PDF 对不对

要把它PDF从负二分之y减1积到正二分之y减1 就结束了

对不对那大家就觉的说就这样简单就算出来啦

但是事情没有大家想的那么简单滴

这东西呢要小心这其实是很容易出错的地方

因为y的值大或小会有差别的

如果你现在y很小我们来看一下刚才讲

X是在它的PDF X~UNIF（-1，7）

也就是它的PDF只有在（-1，7）有值

而且它是uniform 所以它是平的在（-1，7）是平的 ok

你看看如果你现在y很小的时候你积分

负根号二分之y减1这个地方到正的根号二分之y减1这个地方

你看这个地方都落在（-1，7）之间

所以呢积分的范围从头到尾都是在

这个PDF都是不等于0的所以真的是实实在在的从

负根号二分之y减1积到正的根号二分之y减1

这个没有问题对不对但是你看看

随着Y越来越大的时候这个积分范围是

越来越大越来越大越来越大对不对

Y大到一个程度的时候后来发生什么事情

你会发现说

那个负根号二分之y减1好像会碰到那个-1

就碰到-1之后再过去PDF就等于0了

等于0就没有值了对不对所以

积分就不再是从负根号二分之y减1开始积

而是从-1开始积了对不对是不是像这个样子

Y大到一个程度你看这边左边这个地方已经到顶了

到顶了所以它再过去PDF就等于0了

所以它积分范围就不再是负根号二分之y减1开始了

而是从-1开始那所以

在Y等于什么时候开始会有这样的转折

事实上我们就要去算什么时候负根号二分之y减1

负根号二分之y减1碰到-1 就是说你去解一下

什么时候负根号二分之y减1会等于-1 你解出来发现等于3

所以我们就发现说

在Y＜3的时候你积分是真真正正的从

负根号二分之y减1积到正的根号二分之y减1

可以如果你Y＞３的时候　你积分就不是这个样子了

你是从-1积到正的根号二分之y减1 ok

所以呢你就看Y≤3的时候你是真的从

负根号二分之y减1积到正的根号二分之y减1

然后你去积积积最后积出来是等于这个样子

如果Y＞３的时候你的积分的下限就不再是

负的根号二分之y减1 而是-1了

从-1一直积到根号二分之y减1 然后积积

最后整理一下出来是这个样子这个呢

就是你的CDF在不同的Y的地方的时候的CDF

有了CDF之后你会怎样再去微分微分之后

我们就得到PDF了对不对

然后所以你看 Y≤3的时候

你把刚刚这个结果对y微分

这边也是用到圈入老师就不再讲了

这是一个基本的微分你可以算出来它等于

十六分之一的根号y减1分之2

那Y＞３的时候也是一样去微分

所以得到的是三十二分之一的根号y减1分之2

两个是不一样的 ok？

所以这个呢就给你一个例子

做完前面的example之后相信大家对算g(x)

特别是连续的这个随机变量的这个case

大家就比较能够掌握了

这其实是个非常有用的技巧

最后呢我们来回顾一下我们这一节

这节呢我们一开始呢是探讨这个随机函数

随机变量的这个函数g(x) 那我们上面有讲

这个东西又称作derived random variable

因为它是个衍生出来的新的随机变量

那随机变数呢如果是离散的怎么办呢

g(x)的PMF我们可以直接去推你就去

这个g(x)会等于Y的概率就是等于把那些所有 g(x)的PMF我们可以直接去推你就去

这个g(x)会等于Y的概率就是等于把那些所有

会让g(x)会等于Y的那些X的PMF值把它加起来

你就可以得到g(x)等于Y的概率也就是g(x)PMF了

但是呢如果你随机变量是连续的话

就比较复杂了我们就先要去推g(x)的CDF

那这时候CDF再去微分得到PDF会比较好算

但是前面有个例子有给你看到就是说

特别是有时候你在算CDF你会用到一些积分

那这个积分呢积分的范围要小心

有些时候可能超过某些边界条件的时候

它可能是积到哪里它到某个边界条件的时候

它肯定就积分的形式不一样这个就要小心

就刚才那个Y等于2X平方加1就希望

给大家有一个这样一个例子以后知道要怎么小心

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