這是一個機率的入門課程，著重的是教授機率基本概念。另外我們的作業將搭配臺大電機系所開發的多人競技線上遊戲方式，讓同學在遊戲中快樂的學習，快速培養同學們對於機率的洞察力與應用能力。
7-3b: 條件機率分佈與失憶性 (下)
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Del curso dictado por National Taiwan University
頑想學概率：機率二
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De la lección
WEEK 7
上週提到離散的隨機變數期望值，本週我們會談到離散的隨機變數期望值該怎麼算出來？在 7-2 和 7-3 我們會了解隨機變速的函數、條件的幾率分佈、和失憶性──之前我們有提到 Geometric Distribution 跟Exponential 都是失憶性的這種幾率分佈，那什麼叫失憶性 (Memoryless) 呢？
Conoce a los instructores
葉丙成 Ping-Cheng Yeh (Benson)教授(Professor)
電機系(Department of Electrical Engineering)
我们把这个东西整理一下
如果X是一个连续的随机变数
它的PDF是原来的 是Fx(x)的话
如果我们已经知道原来的B 某个事件已经发生的话
那很简单 它的条件的PDF就是这个
也就是 如果你这个X 是有符合条件的
现在已经有人告诉你 B已经发生了
那你的X一定是在B里面的某个X
你的X只有在有属于B的 它的PDF才不等于0
那它的PDF只会等于原来的PDF
normalize By 这B发生的概率
但是如果你今天这个X不属于B
那人家跟你讲B发生了 那你这个X如果不在B里面
那当然这个事情发生的机会就是0
这就是Conditional PDF
那同样的 我们刚才讲的话 X|B
如果X是个连续的随机变数的话
X|B应该也是一个非常健全 非常可爱的随机变数
任何一个健全的 可爱的随机变数该有的
X|B它也应该要有
所以CDF它也应该要有
所以就是说Conditional CDF就跟一般的正常的CDF很像
正常的CDF是什么 就是把它 这个PDF从负无穷大积到x
它也是一样 负无穷大积到x 只是把Conditional的PDF
从负无穷大积到x
OK 所以它也是有它的CDF
那这个地方 就是给大家知道
什么叫做Conditional PDF 跟Conditional CDF
那刚才老师讲了 一个健全可爱的随机变数
什么东西它都应该有
所以X|B X有期望值 X|B可不可以有期望值
它当然应该有期望值
只是 它现在乘的是什么
它现在乘的就不是原来X的PMF或PDF
它乘的是在B发生的情况之下X的PMF
如果是离散的话就乘上Conditional PMF
如果你这个X 原来的X是连续的话
那你乘上去就是什么 就是在B发生情况之下的这个X的PDF
就是这个Conditional PDF
OK 所以它应该也要有X|B的这个期望值
那它可不可以有g(x)的期望值
在B发生的情况之下 我想要知道g(x)的期望值可不可以
当然可以 所以它这个也应该要有的
原来X该有的东西我也要有 它也应该要有
所以g(x)|B的期望值是什么
当然就是原来的g(x)乘上什么
乘上什么PMF
乘上B发生的情况之下 X的PMF
离散的话乘以PMF
如果是连续的话 就是g(x)乘上
B发生的情况之下的什么——PDF
所以这跟前面几乎是 根本是一模一样
只是你现在乘的 多了一个|B
很啰嗦的这个样子 B发生了 B发生了
就只有加一个|B而已
其他这个精神本质都是一模一样的
那当然 人家一个正常、健全的一个
可爱的一个随机变数都应该有的Variance
我们Conditional的case应不应该有
当然也应该有
所以我们就应该有X|B的 variance
就是Conditional的Variance
那这个 就跟这个
定义也是跟这个前面的发了的前面很像
就是在B发生的情况之下
X去减掉在B发生情况之下X的期望值
这整个东西的平方的期望值
那如果你还记得我们这个期望
variance不是有一个简化的算法
任何一个random variable
它的这个variance就等于它的平方的期望值
减掉它期望值的平方
所以在conditional的case的话 是不是可以
当然也可以 也应该要可以才对
我是一个正常健全可爱的random variable
你们该有的可以用的我当然也要可以用
所以它就有什么
它就是也有一个平方的期望值 X平方的期望值
只是怎么样 后面又多一个啰嗦的在跟你讲说
B发生了 B发生了
是在B发生的情况之下 X平方的期望值
减掉期望值的平方 有没有期望值的平方
有的 就是什么
X|B B发生了 B发生了
情况之下的X的期望值的平方
所以本质跟一般的random variable没有两样
只是一直多了一个|B在那边很罗嗦告诉你
B发生了 其他的式子一模一样
所以不要被那个符号吓到 OK
这个是条件的概率分布
那接下来老师要介绍一个很有趣的性质叫
这个memoryless 失忆性
我们来看这个例子
就是说 这个宅宅跟店员妹相约 约好要出门
然后宅宅出门前 这个不知死活
店员妹愿意陪他出去 他应该偷笑应该自己很感恩的
结果店员妹陪他出去之前他居然还敢在那边玩LOL
然后 他的打着LOL的场数
我们知道说他打LOL 一打起来他通常会打多少场
那个X 一打就打多少场才结束 那个X
根据我们的观察 它是个geometry概率分布
是Geometry(0.2)
那这个店员妹是一个非常温柔贤淑的人
她这个 等了这个宅宅打了两场之后
她就 宅宅居然还在玩 店员妹终于很受不了了
生气了 就开始催宅宅
宅宅就说：好了、快好了
再等一下 快玩完了
那我们请问一下
这个宅宅剩余的场数X'的概率分布是什么
也就是说这个阿宅 他玩game的场数
X 原本是一个Geometry(0.2)
那店员妹等了他两场了 你已经打了两场了
是不是 你如果是一个正常的人
你已经玩了两场的game
你接下来再玩剩下的这个场数 X'
是不是应该就要会玩得比较少场一点
是不是 那我们就很好奇
你如果已经玩了两场了 你剩下还有玩多少场
还会玩多少场才结束 这个X'场
这个X'的概率分布是什么 这是我们很好奇的
那我们来看一下
我们来看一下 这也其实是一个条件概率的问题
因为有没有一个条件发生了
有 什么条件 就是宅宅玩了两场之后还想继续玩
所以某个条件发生了 什么条件
就是X>2 我们已经知道X
我们原来在X是个Geometry(0.2)的概率分布
但是 我们又知道了 新的条件发生了
X>2 这个我们也知道
另外一个 他剩余的场数X'
X'是什么 X'是打了两场之后还剩下多少场
所以它是不是就是原来的这一个
这个场数X|B
|B是在这边告诉人家说 已经超过两场了
B这个事情已经发生了
所以X'剩余的场数就是
原来这个打的场数X减掉2嘛
你原来打多少场你扣掉2那就是
两场之后剩余的场数 我们就很好奇X'的概率分布是什么
那我们来看一下
这个既然是一个条件的概率分布
那我们就要找它的条件概率分布
所以 其中一个case 我们知道
如果不在B里面 也就是说X比2还要小的这个条件概率
conditional的一个PMF就等于0我们就不用看了
我们只要看这个case
X有在B里面 也就是说X已经大于2了
X已经大于2 根据前面讲的
条件的 这个conditional的这个PMF是什么
就是你原来的PMF
除以B发生的概率
原来的PMF是什么
原来的PMF就是0. 就是个Geometry(0.2)
所以就是0.8的x-1次方乘以0.2 就是你原来的X的PMF值
原来X的PMF
那你的分母是什么
分母是B发生的概率
就是要把所有大于2的这些X的PMF值都把它加起来
所以就是下面这个 看起来像个等比级数的样子
从3 一直加到无穷大
你如果把它整理一下 你会发现说
分母 继续维持 分子 继续维持不变
但是分母你把它整理一下它这个等比级数的结果是这个样子
你把它整理一下 上下消消约约
最后变成结果是0.8的x-3次方乘以0.2
OK 0.8的x-3次方乘以0.2
那这个东西
会长什么样子 这个只是X
X|B的条件概率分布
我们要的是什么 我们要的是X'
剩余场数 所以我们必须要把这个X
|B的这个X还要再减掉2才是X'
所以 我们看一下 这个X'
这个X'剩余的场数会等于x场的 x场的概率是什么
因为我们知道 这个X'
这个剩余场数会等于x 代表说你总共的场数减掉2
会等于x 因为剩余的场数就等于总共的场数减掉2
这也就代表说在B发生的情况之下
你总共的场数要等于x加2
x加2 这一件事情要发生
所以 X'等于x的概率就是等于在B发生的情况之下
你打了x+2场的这个概率 OK
那你说打x+2场的概率是多少
我们刚才不是已经算出来 这个X|B它的PMF
这个东西不是都出来了吗 这已经出来了
所以 你只要把这个 它等于x+2代进去就
把这个 上面这个x换成x+2 代进去
你会说 这个地方刚刚就变成是
0.8的x+2再减掉3 (次方) 那再乘以0.2
整理一下 变成是0.8的x减1乘以0.2
你看一下这个式子是0.8的x减1乘以0.2
0.8的x减1乘以0.2 这个跟什么
这跟原来GEO取0.2的
跟原来的总场次的概率分布会不会一样
跟前面选0.2的PMF是一模一样
也就是说 这个阿宅他已经玩了两场
店员妹已经等了他两场了
店员妹去催他
你既然已经玩了两场
你是不是剩下的场数
理应应该比原来玩的场数更少
结果 他居然是跟原来概率分布是一样的
也就是他玩了这两场以后
好像有玩跟没玩是一样的
他剩余的场数
还是跟从头一开始玩的场数的概率分布是一样的
所以这个家伙是什么 太过分了
你这个阿宅 这个店员妹愿意跟你在一起
你就应该偷笑了
还这么不珍惜 玩了游戏已经玩了两场
你居然把这两场当作没完一样
你剩余的场数
居然跟原来从头开始玩那个场数是一模一样
完全不用觉得你自己多玩了两场
你剩余的场数就应该要少玩一点
居然没有 居然跟原来 等于从头一开始玩的
那个场数的概率分布是一样 你真是太过分
这个 因为X'的概率也还是0.2的distruBtion
所以这个是太过分了
这个就是失忆性 Memoryless
就是你已经玩多久了 你都不知道
跟你一开始就好像完全没有玩过一样
这个就是失忆性
那我在给大家看另外一个例子
这个店员妹 今天又是跟阿宅相约出门
店员妹在出门前化妆的时间是个连续的时间
是以小时为单位 连续的x小时
那x 根据我们这过去的经验发现
它是Exponention（1）
λ等于1的概率分布
经过一个小时之后还没化好
所以阿宅非常生气
就是说一直催店员妹赶快、赶快
店员妹说：快好了、快好了
请问一下店员妹 她化妆的剩余时间X'概率分布是多少
同样的 我们看一下
现在的条件是什么 现在的条件就是
B这个条件就是x大于1
我们已经知道她化了一个小时还没化
然后我们也知道X'剩余的时间应该就是
你原本的总化妆时间去减掉1
因为你是一个小时之后
阿宅是在1个小时后催
剩下的时间就应该是原来的时间减掉1
这个就是X'等于x减1
那也是一样 我们来算一下
X'就是这个剩余时间
X'小于等于x的概率是什么
X'小于等于x的概率就是
一开始讲过X'剩余的时间
就是总化妆时间减掉1
总化妆时间减掉1小于等于x
那就表示总化妆时间要小于等于x加1
总化妆时间要小于等x加1
那总化妆时间小于等于x加1 而且是什么
是condition on B已经发生的
condition你已经化妆超过1个小时 这个时间
然后 就去算condition on B已经发生的情况下的
你小于等于x加1 也就是这个conditional CDF在x加1的值
也就是它 conditional的PDF从负无穷大积到x加1
你这样计出来之后 最后这个结果等于多少
也就是你积出来的话就等于你的X'
这个FX'(x)
X'的CDF 所以这个在微分
你就可以得到X'的PDF
这个地方 这边的推导 老师推给你看
也是一样 条件是x大于1
这种情况之下X|B 它的条件的PDF是什么
如果u不属于B的 那就等于0了 不用看了
如果是属于B的 什么是属于B
就是u大于1的case 那就是你的条件PDF就等于
原来的PDF去除以B发生的概率
原来的PDF 这是个Exponention λ
Exponention1 λ等于1的PDF 长这个样子
除以它大于1的概率
那Exponention大于1的概率等于1减去Fx（1）
你整理一下 这个老师就不细讲 你应该
希望你能够一步一步自己把它看出这个结果是会什么
反正最后 一步一步到最后整理出来是
Exponention负的u减1次方
这个东西 你应该会算
因为Fx一个正常的Exponention的CDF是多少
前面我们第五周其实有那个式子
所以你应该要会算这个东西
这个要来检验自己会不会算
总之你最后算出来
conditional的PDF长这个样子
conditional的PDF是这个样 我们刚才讲我们要算的是
conditional的CDF 而且是CDF在x加1的值
所以 你最后算这个事情
就是算conditional CDF再x加1的值
那就是等于什么 等于conditional PDF
conditional PDF 我们已经算出来就是这个框框
就这个东西把它从负无穷大积到x加1
把它 也等于从这个东西去积到最后出来的结果
你会发现这个东西前提是什么
u要大于1
所以你不需要从负无穷大开始积
因为我们已经有个先决条件
B已经发生了 化妆时间一定是大于1
所以整理一下会变成这个样子
你把它整理到最后 你会发现
X'的CDF长成这个样子
长成这个样子 这个好熟悉
把它微分看
你把它微分后一看 你会发现
天哪 X'等于x的这个PDF值是多少
是1乘以e的-1乘以x的次方
这不就是原来的exponential λ吗
也就是说 剩余的时间
它跟原来从头开始化妆是一样的
你这家伙 你这个店员妹 你已经化妆超过一个小时了
你剩余的时间居然
跟前面有化过妆一个小时一点关系都没有
感觉跟从头化妆所需要的时间是一样的
你这个店员妹碰上这个阿宅 这两个是天造地设的一对
你们两个不要再互相骂对方了好不好
因为你们两个真的是很无耻的
这个会碰在一起的也是应该的
所以你看看 这个也是个Memoryless
所以失忆性 这边看到一件事情 就是说
Geometric的random variable
离散的这种 跟Exponential的random variable
它是连续的 这两个的概率分布都有失忆性的性质
ok 是唯一具有失忆性的两种概率分布
一个是discrete 一个是continue
这两个是难兄难弟 两个在一起不是没有道理
那不管事情已经发生多久
对于事情之后的进行一点影响都没有
它就是不会因为我已经打了两场了
剩下的场数就会比较少 没有
它还是跟原来从头开始打是一样的
他也不会因为说我化妆已经超过1个小时
已经过了1个小时 我剩下的时间
比我从头化妆所需要的时间要短 也没有
所以这两个都是超无耻的
所以 很多时候 就看你如果要运用
Geometric distribution
Geometric它就有两个运用的地方
一个就是我们上次讲过
他一直革命 一直到成功为止才停止
Geometric来model
但是如果你做一件事情
有件事情是你废寝忘食
然后你完全不知道时间已经过了多久
这样的东西
其实也可以用Gemetric来model它
Exponential也是一样 只是差别是连续的
有没有什么事情 他所花的时间让你废寝忘食
前面已经花了多少时间
对后面几乎是根本没有影响的
那这样子你也可以用Exponential
有同学在问什么时候可以用Exponential
这就是其中一种机会可以用
这是Exponential专门就是model这样的事情的
这个概率分布
我们来回顾一下
就是我们这节探讨就是条件概率分布
这是主要探讨 因为某个事件发生的时候
某个随机变数行为 它的概率分布也会跟着改变
改变之后新的结果叫做
conditional的概率分布
条件的概率分布
在这个条件概率分布之下 你看
其实任何一个条件的随机变数
conditional随机变数
它都是非常健全可爱的随机变数
人家该有的 它也应该都要有
身为一个健全 可爱的随机变数
人家该有的这些 PMF
PDF、CDF、期望值、Mean、Variance
种种东西它都应该要有
大家不要被那符号吓到
不要那|B吓到
那|B只是告诉你说
B发生了 B发生了 它的行为分布不一样
that s all 然后
我们最后探讨的随机变数里面
几何分布里面 随机变数里面最无耻的两个是什么
就是Geometric跟Exponential
这两个根本就是完全就忘了时间
就是完全没有记忆
这个失忆性
所以 这个也是它们两个非常特别的一个地方
那之前 失忆性怎么来的
我们有推导过 今天就是推导给大家看
希望大家对失忆性怎么来的
有更深刻的一个感受和了解 ok
谢谢大家 这个就是我们第七周的概率课程
下礼拜再见 拜拜
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