[MÚSICA] [MÚSICA] A continuación, presentaremos un ejemplo que nos permitirá entender mejor, un proceso de Poisson y aplicar sus principales propiedades, para el cálculo de probabilidades. Se tiene un material radioactivo, el cual emite cierto tipo de partículas, a una tasa promedio de 5 partículas por hora, siguiendo una distribución de Poisson. Estamos interesados en calcular algunas probabilidaddes asociadas a dicho proceso. Primero que todo, debe ser claro que en este caso específico, el parámetro lambda, que caracteriza el proceso, es igual a 5 partículas/hora, por tanto la función de probabilidad de la variable aleatoria X está dada por, G sub x de X evaluada en X, parámetros lambda igual a 5t, es igual a 5t a la x, e a la menos 5t sobre X factorial para x igual a 0, 1, 2, y así sucesivamente. Calculemos por ejemplo la probabilidad de que en un período de t igual a 2 horas, el material emita exactamente 8 partículas. Para esto debemos reemplazar en la función de probabilidad anterior, t por 2 horas y evaluarla en X igual a 8, obteniendo probabilidad de que X sea igual a 8, parámetro lambda igual a 5, t igual a 2, es igual a G sub x evaluada en 8, parámetro lambda igual a 5, t igual a 2, es igual a 5 por 2 a la 8, e a la menos 5 por 2, dividido por 8 factorial, que es igual a 10 a la 8 por e a la menos 10 dividido 8 factorial, que es igual a 0.113. En general, es de interés calcular la probabilidad de que en un intervalo de tiempo de magnitud t, haya un máximo de por ejemplo m llegadas del proceso. Para ilustrar lo anterior calculemos por ejemplo, la probabilidad de que en una hora y media, se emitan un máximo de 4 partículas. Como la variable aleatoria de Poisson X es una variable discreta, debemos realizar la sumatoria de todos los valores de X, que cumplan con el evento mencionado, X igual a 0, 1, 2, 3 o 4 llegadas. Con una tasa promedio de llegadas de lambda igual a 5 partículas hora y un intervalo de tiempo de t igual a 1.5 horas, obteniendo la siguiente expresión. Probabilidad de que X sea menor o igual a 4, parámetros lambda igual a 5, t igual a 1.5, es igual a la sumatoria desde k igual a 0, hasta 4, de 5 por 1.5 a la k, por e a la menos 5 por 1.5, dividido por k factorial, igual a 0.132. Finalmente estamos interesados en calcular el número esperado de partículas emitidas por este material, en un período de 6 horas. Dicho valor se calcula como el valor esperado de X, parámetro lambda igual a 5, t igual a 6, es igual a lambda por t, es igual a 5 por 6, es igual a 30. Lo anterior nos permite concluir que en promedio, se espera que el material emita 30 partículas en un intervalo de tiempo de 6 horas. En la figura siguiente podemos observar cómo cambia la forma de la distribución de probabilidad de Poisson, acorde con la tasa de llegada del proceso. Observamos primero la gráfica de la función de probabilidad de Poisson de parámetros lambda igual a 5 y después la gráfica de la función de probabilidad de Poisson de parámetros lambda igual a 10. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA]