[MÚSICA] [MÚSICA] En este video, haremos uso de la distribución exponencial para el cálculo de probabilidad. Para ello, vamos a tener en cuenta el siguiente contexto. Beatriz es la encargada de la atención de la línea de domicilios en un prestigioso restaurante y estima que el tiempo medio entre arribos entre llamadas consecutivas es de cuatro minutos. Sin embargo, ella debe ausentarse durante ocho minutos para hacer el cambio de turno. ¿Cuál es la probabilidad de que Beatriz no pierda la siguiente llamada? La variable aleatoria que representa la situación descrita corresponde al tiempo que transcurre desde el instante T0 hasta que ocurre la siguiente llamada. Gráficamente, ¿cómo lo vemos? El instante T0, que es el momento en el que Beatriz se ausenta de la línea de domicilios, y el minuto 8, que es cuando ella regresa a la línea a domicilios. La variable aleatoria X tiene distribución exponencial de parámetro lambda. ¿Qué es importante aquí? Que tengamos en cuenta que el valor esperado de una variable exponencial es igual a uno sobre lambda, como lo vimos en el video anterior. Uno sobre lambda corresponde a la media. Teniendo en cuenta esta información y la información dada en el enunciado, donde nos dicen que la media del tiempo que transcurre desde el instante T0 hasta la siguiente llamada de la línea a domicilios es igual a 4, podemos entonces obtener el valor de lambda. Teniendo en cuenta que uno sobre lambda es igual a M y M corresponde a 4, entonces el valor de lambda es igual a 1 sobre 4 llamadas por minuto. Nuestra pregunta de interés en este caso es, ¿cuál es la probabilidad de que no se pierda la siguiente llamada? Esto, en términos formales, correspondería a la probabilidad de que la variable aleatoria X, que corresponde al tiempo que transcurre desde el instante T0 hasta que ocurre la siguiente llamada, sea mayor que ocho minutos. Gráficamente, ¿cómo se ve? La siguiente llamada debe ocurrir después de los 8 minutos. ¿Qué debe ocurrir en los 8 minutos anteriores? Nada. Esta probabilidad se puede escribir de otra manera. La probabilidad de que X sea mayor a 8 minutos es igual a 1 menos la probabilidad de que nuestra variable aleatoria exponencial sea menor o igual a ocho minutos. Teniendo en cuenta esto, debemos recordar la función acumulada de la variable aleatoria exponencial evaluada en ocho. Recordando la función acumulada del video anterior, tenemos que esto se resuelve como uno menos E a la menos lambda por X. ¿A qué corresponde X y a qué corresponde lambda? Vemos lo siguiente. Uno menos E a la menos lambda, nuestro lambda lo encontramos al inicio del ejercicio, un cuarto, y debemos multiplicarlo por el valor de X, que corresponde al valor de X donde estamos evaluando nuestra función acumulada. Esto es igual a 1 menos E a la -2. Finalizando entonces el ejercicio, tenemos que esto es igual a 1 menos uno menos E a la -2. Simplificando, tenemos que esto corresponde a E a la -2. E a la -2 es la probabilidad de que Beatriz no pierda la siguiente llamada a través o haciendo uso de la distribución exponencial. Otra forma de resolver el ejercicio es hacer uso de la distribución de Poisson. ¿Qué hacemos entonces? Nuestra pregunta de interés es, ¿cuál es la probabilidad de que Beatriz no pierda la siguiente llamada? Esto corresponde entonces a la probabilidad de que en nuestra variable aleatoria exponencial, el tiempo que transcurre desde el instante T0 hasta que ocurre la siguiente llamada sea mayor a ocho minutos. Teniendo esto en cuenta, si ahora nuestra variable aleatoria corresponde a la variable aleatoria de Poisson, la que teníamos antes era la variable aleatoria exponencial, que hablaba del tiempo, tenemos que el tema de interés aquí es calcular el número de llamadas y la línea a domicilios [AUDIO_EN_BLANCO] en un delta de tiempo, que en este caso es igual a 8 minutos. ¿Por qué 8 minutos? Porque lo que nos interesa calcular en este momento es la probabilidad de que ella no pierda la siguiente llamada. Habíamos dicho que para que ella no pierda la siguiente llamada, en estos 8 minutos no debe ocurrir nada. Eso significa que si lo que queremos es contar el número de llamadas que ingresan a la línea de domicilios en 8 minutos, pues nuestra variable aleatoria de Poisson debe tomar el valor de 0. Tengamos claro algo, y es que la variable aleatoria de la solución anterior corresponde a una variable de tipo exponencial, recordemos que esta variable es continua, y ahora queremos resolver el mismo ejercicio, la misma pregunta, pero con una variable aleatoria discreta que corresponde a la variable de Poisson. Estas dos variables aleatorias tienen exactamente el mismo parámetro que corresponde a lambda, que lo teníamos de la solución anterior. Entonces, la variable aleatoria X, la que estamos ahora analizando, tiene distribución de Poisson de parámetro lambda igual a un cuarto, que era el que habíamos encontrado antes, y T igual a 8. 8 minutos, que son los 8 minutos en los cuales estamos haciendo el conteo de la cantidad de llamadas que ingresan a la línea de domicilios. Para calcular esta probabilidad, necesitamos recordar cuál es la función de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson. Teniendo en cuenta esta función de probabilidad, vamos a calcular la probabilidad de interés. La probabilidad de que X de Poisson sea igual a 0 corresponde entonces a un cuarto, que es lambda; T, que es 8, a la 0, que es el valor en el cual estamos evaluando la probabilidad; por E a la menos lambda por T sobre 0 factorial. Al resolver, tenemos que esto es igual a 1, 0 factorial es igual a 1, nuestro resultado entonces es E a la -2. Esto concuerda con el resultado que habíamos encontrado en la parte anterior, o en la solución anterior, en la cual la probabilidad de que no se pierda ninguna llamada con la variable de Poisson es igual a E a la -2, y la probabilidad teniendo en cuenta nuestra variable exponencial que mide el tiempo que transcurre desde el instante T0 hasta que ocurre la siguiente llamada, nos dio también E a la -2. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA]