[MÚSICA] [MÚSICA] En este video, haremos uso de la distribución normal para el cálculo de probabilidades. La notación que utilizaremos para esta variable aleatoria corresponde a X que tiene distribución normal de media igual a 1 gramo y varianza igual a 0.56 gramos al cuadrado. Recordamos que si queremos hacer la estandarización de esta variable aleatoria, lo que utilizaremos será la desviación estándar que en este caso correspondería a la raíz de 0.56 que es 0.748 gramos. La primera pregunta de interés es la siguiente. Si seleccionamos un automóvil al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número de gramos de hidrocarburos que emite este automóvil por milla recorrida, sea menos a 1.25 gramos? Variable aleatoria X, menor o igual a 1.25 gramos. Para resolver este ejercicio, es necesario tener en cuenta dos cosas. Estas dos gráficas representarán nuestras variables. La variable aleatoria X que tiene distribución normal, 1 gramo y varianza 0.56 y en la parte inferior, la variable aleatoria, Z que tendrá distribución normal, de media 0 y de varianza 1. Recordemos que, la media en este caso sería 0 y en este caso la media sería, 1 gramo. Representamos gráficamente la probabilidad que queremos calcular, X menos a 1.25. Tenemos que utilizar la variable aleatoria que corresponde a nuestra variable, el número de gramos, acá tenemos el 1.25 y la probabilidad que queremos calcular es, la sombreada en esta gráfica. Cuando queremos realizar el cálculo, debemos transformar la variable aleatoria X en un variable aleatoria Z que you sabemos que tiene distribución normal de media 0 y varianza 1, pero para ello, tenemos que transformar o estandarizar el valor del 1.25. Entonces, recordemos que la estandarización requiere restar la media y dividir en la desviación estándar. La probabilidad de que mi variable aleatoria Z tome valores menores e iguales a 1.25 menos 1 gramo sobre 0.748. Esto corresponde a la probabilidad de que Z sea menor igual a 0.334 y para realizar el calculo de la probabilidad debemos recurrir a la tabla. La probabilidad que queremos calcular entonces es la probabilidad de que Z sea menos igual a 0.334, vamos a verlo gráficamente, nuestro 1.25 transformado o estandarizado, es el 0.334 y la región que corresponde a esta probabilidad, es la que se encuentra sombrada. Si queremos calcular la probabilidad de que Z sea menor a 0.334, debemos recurrir a la tabla para poder calcular esta probabilidad. En la tabla tenemos la siguiente información, valores de Z particulares y en la columna de enfrente, la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores menores o iguales a el Z que tenemos en la columna anterior. Recordemos que la probabilidad acumulada hasta la media de una variable aleatoria normal, es igual a 0.5. Seguimos bajando hasta 0.334 que es el valor que nos interesa calcular y el valor que tenemos en frente corresponde a la probabilidad acumulada hasta 0.334, que en este caso es la solución a nuestro ejercicio. La probabilidad entonces de que nuestra variable aleatoria X tome valores menores o iguales a 1.25 gramos es, 0.63. Ahora, lo que queremos calcular es la probabilidad de que nuestra variable aleatoria X que corresponde al número de gramos de hidrocarburos que emite un automóvil por milla recorrida, se encuentre entre 0.9 gramos y 1.3 gramos. Visto esto en nuestra gráfica, tenemos 0.9, 1.3, la región sombreada corresponde a lo que queremos calcular en este caso. Para calcular esta probabilidad, debemos pasar de la variable aleatoria X a la variable aleatoria Z, que corresponde a los valores estandarizados. Para ello tomamos 0.9 menos la media que es 1 gramo, sobre la desviación estándar que es 0.748. Del otro lado hacemos lo mismo, 1.3 menos 1 gramo sobre 0.748. Estos valores estandarizados corresponden a menos 0.133 y 0.4. Si queremos ver de manera gráfica lo que representamos en nuestra probabilidad, venimos a nuestra gráfica, ubicamos el 0.4 y el menos 0.133. La región corresponde exactamente a la región que necesitamos de nuestra variable aleatoria X. Para calcular esta probabilidad entonces, debemos plantear lo siguiente, la probabilidad de que Z sea menor, igual a 0.4 que, en este caso corresponde a la probabilidad desde menos infinito hasta 0.4, acumulado hasta 0.4 y le resto la probabilidad de que esta variable tome valores menores o iguales a 0.133, que en este caso, correspondería a la probabilidad desde menos infinito hasta menos 0.133. Para volver a buscar, para buscar estas probabilidades, debemos recurrir a nuestra tabla de probabilidad. Valores de Z, probabilidades acumuladas hasta un Z particular. Recordemos que nuestra tabla inicia en 0, cuya probabilidad acumulada es 0.5. Bajamos, hasta encontrar el 0.4 que es el valor que nos interesa. La probabilidad acumulada hasta ese valor es, 0.65. Para calcular esta probabilidad, necesitamos recordar la propiedad de simetría de la distribución normal. Nuestra variable aleatoria normal estándar, de media 0, el valor de menos 0.133, la probabilidad que necesitamos que es la probabilidad de que nuestra variable aleatoria Z tome valores menores o iguales a menos 0.133. Para encontrar esta probabilidad, debemos volver a nuestra tabla. Buscamos entonces el 0.133. En este caso, los valores que encontramos en la tabla son solamente positivos, así que la probabilidad que estamos encontrando es, 0.133, tenemos valores acumulados, es decir toda el área que estoy sombreando en rosado. ¿Qué es importante recordar acá? Que la región por encima de 0.133 corresponde exactamente a la misma región inferior a menos 0.133. Teniendo esto en cuenta, entonces tenemos que la probabilidad acumulada hasta 0.133 es 0.55. Es decir, acumulado hasta 0.133, 0.55. La región que necesitamos para este ejercicio es, el área menor, menor a 0.133 que en este caso correspondería a 0.45. Resolviendo entonces para finalizar nuestro ejercicio, tenemos que la probabilidad que nuestra variable aleatoria que corresponde al número de gramos de hidrocarburos que emite un automóvil por milla recorrida entre 0.9 y 1.3 es, 0.2. Volvamos a la gráfica inicial, 0.2. 0.2 porque independientemente si estamos trabajando con nuestra variable aleatoria X o nuestra variable aleatoria con los valores estandarizados, la probabilidad es exactamente igual. La situación de interés ahora es la siguiente. Si seleccionamos un automóvil al azar y este emite con una probabilidad de 0.8 menos de X gramos de hidrocarburos, ¿cuál es el valor de X? La notación de esta situación sería la siguiente: la probabilidad de que nuestra variable aleatoria X tome valores menores o iguales a un X particular, el mismo que tenemos aquí, es de 0.8. Para calcular entonces, el valor de la variable aleatoria X que es ahora nuestro interés, a diferencia de los ejercicios que habíamos solucionado antes, debemos acudir a la tabla. En la tabla tenemos valores de Z, probabilidad de que Z tome valores menores o iguales al Z particular que tenemos en este lado. En este momento, entonces empezamos en probabilidad de 0.5, acumulado hasta el valor 0, recuérdenlo y buscamos 0.8 que es la probabilidad acumulada hasta nuestro punto de interés que en este caso es X. ¿Cuál es ese valor? 0.8, 0.84. Gráficamente cómo lo vemos en nuestra variable estandarizada que corresponde a la tabla. Este valor, es el valor estandarizado de Z que tiene una probabilidad acumulada hasta él de 0.8. Este valor de Z como encontramos en la tabla, de 0.84, que corresponde al valor estandarizado de X. Si queremos devolvernos, lo que hacemos entonces es des estandarizar. Para ello tenemos el punto X menos la media sobre la desviación estándar, igual a 0.84, el valor que tenemos o que encontramos en la tabla. Cuando despejamos entonces el valor de X obtenemos el 1.63 que es entonces el valor que estábamos interesados en encontrar. La probabilidad entonces de que nuestra variable aleatoria X tome valores menores o iguales a 1.63 es 0.8. Este valor de 1.63 corresponde entonces al percentil del 80% para la variable aleatoria X. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA]