[MÚSICA] [MÚSICA] [MÚSICA] En este video realizaremos un ejercicio de aplicación de la distribución uniforme continua. [MÚSICA] Un fabricante de correos de repartición de motores de cierto tipo de vehículos, recomienda el cambio de estas piezas cada 120.000 kilómetros. Debido a que si el vehículo ha recorrido esta cantidad de kilómetros, la correa puede fallar en cualquier momento en los siguientes 40.000 kilómetros con la misma concentración de probabilidad en cada punto de dicho rango. De acuerdo con la descripción anterior podemos identificar una variable aleatoria x la cual describe miles de kilómetros recorridos antes de que la correa falle. Esta variable antes de que la correa falle, exacto. Esta variable me describe entonces los miles de kilómetros recorridos de cierto vehículo particular antes de que la correa del motor falle. Acorde con la descripción sabemos que esta variable está en un rango entre 120.000 y 160.000 y que en ese rango la concentración de probabilidad en cada punto es la misma. Es decir que esta variable aleatoria x sigue una distribución uniforme entre 120 y 160.000 kilómetros. Si you sabemos que esta variable sigue una distribución uniforme podemos decir entonces que su función de probabilidad f de x para un punto particular x está dada por 1 sobre b menos a, donde b es el límite superior del rango y a es el límite inferior del rango. Por lo tanto será 1 sobre 160 menos 120, es decir un cuarentavo. Si esta es nuestra función podemos de nuevo dibujar esta función en este plano en donde acá en este eje tenemos 1 sobre 40 y por acá tenemos desde 120 hasta 160.000 kilómetros. De nuevo recordemos que la función uniforme se caracteriza por tener una distribución plana por lo que la concentración de probabilidad es la misma. Esto quiere decir que entre 120 y 160 se tiene la misma concentración de probabilidad que es igual a 1 sobre 40. Ahora evaluemos el siguiente caso. Si una correa you ha recorrido 120.000 kilómetros, ¿cuál es la probabilidad de que falle antes de cumplir los 150.000 kilómetros? En términos de nuestra variable aleatoria x, la pregunta que estamos resolviendo es calcular la probabilidad de que esa variable aleatoria x sea menos o igual a 150. De acuerdo con nuestra función de probabilidad, esa probabilidad que nos están pidiendo es si acá está el punto 150 queremos encontrar el área bajo la curva desde el punto 120 hasta el punto 150, es decir queremos encontrar el área que estoy subrayando en esta gráfica. Esa área la podemos calcular como la integral desde 120 hasta este punto 150 de la función de densidad de probabilidad la cual está dada por 1 sobre 40 integrando en términos de mi variable x. Esta integral es x sobre 40 evaluado en el punto 120, 150. Resolviendo la integral obtenemos 150 menos 120 sobre 40 que es 0.75. Es decir que la probabilidad de que una correa que you ha recorrido 120.000 kilómetros falle antes de cumplir los 150.000 kilómetros es 0.75. Ahora evaluemos el siguiente caso. Si una correa you cumplió los 120.000 kilómetros de recorrido, ¿cuál es la probabilidad de que dicha correa falle entre los 140.000 y los 155.000 kilómetros de recorrido? Matemáticamente la expresión de probabilidad que queremos hallar es la siguiente, queremos calcular la probabilidad de que la variable aleatoria x esté entre 140.000 y 155.000. Esta probabilidad la podemos calcular como la probabilidad de que mi variable aleatoria x sea menor a 155 menos la probabilidad de que la variable aleatoria x sea menor o igual a 140. Es decir que en términos la gráfica lo que queremos encontrar es el área bajo la curva entre los puntos 140 y 155, es decir que ahora nos interesa calcular la siguiente área que estoy sombreando, esta área de acá. Lo podemos calcular de la siguiente forma. Entonces, para calcular esta primera probabilidad, la probabilidad de que x sea menor a 155 lo podemos hacer calculando la integral entre 120 que es el mínimo del rango y 155 de 1 sobre 40 de x. Donde recuerden que 1 sobre 40 es la función de densidad de probabilidad de mi variable aleatoria x. Y esta probabilidad, la probabilidad de que x sea menor a 140 lo podemos calcular como la integral entre 120 y 140 de 1 sobre 40 de x. Vamos a resolver de este lado, entonces tenemos primero integral entre 120 y 155 de 1 sobre 40 de x, esta integral es x sobre 40 evaluado entre 120 y 155, que es igual a 155 menos 120 sobre 40. La otra integral que queremos hallar es integral entre 120 y 140 de 1 40 evaluado en mi variable aleatoria x, que es x sobre 40 entre los puntos 120 y 140 que es igual a 140 menos 120 sobre 40. Retomando nuestra probabilidad de interés, entonces la probabilidad de que mi variable aleatoria x sea menor a 155 es este desarrollo de acá el cual equivale a 0.875. La probabilidad de que mi variable aleatoria x sea menor a 140 es este desarrollo de acá el cual equivale a 0.5. Y nuestra probabilidad de interés es la resta de estas dos probabilidades, por lo tanto es 0.375. Es decir que el área bajo la curva de esta región sombreada equivale a 0.375. Adicionalmente, esto quiere decir que si una correa you ha funcionado 120.000 kilómetros, la probabilidad de que falle entre 140.000 y 155.000 kilómetros es 0.375. Este ejercicio también lo podemos resolver utilizando la función de distribución acumulada. Recordemos que para una variable aleatoria uniforme, esta distribución acumulada f de mi variable aleatoria x evaluada en un punto x particular dentro de su rango es igual a x menos a sobre b menos a. En caso de nuestro ejercicio, nuestra función sería x menos 120 sobre 160 menos 120. Por lo tanto si queremos calcular esta probabilidad de que mi variable aleatoria x esté entre 140 y 155, lo primero que debemos calcular es la función de distribución acumulada evaluada en el punto 155. Recordemos que para evaluar esta función únicamente debemos hacer 155 menos 120 sobre 160 menos 120, es decir que este punto particular x lo estoy reemplazando dentro de la función únicamente. Al hacer este cálculo la acumulada para 155 es 0.875. Adicionalmente debemos calcular la función de distribución acumulada pero en el punto 140, esta función será entonces 140 menos 120 sobre 160 menos 120. Si realizamos este cálculo obtenemos que esta función es 0.5 evaluada en el punto 140. Por lo tanto nuestra probabilidad inicial, la probabilidad de que mi variable aleatoria x se encuentre entre 140 y 155 la podemos calcular como la probabilidad acumulada, es decir utilizando la función de distribución acumulada evaluada en el punto 155 menos la función de distribución acumulada evaluada en el punto 140. Es decir, que al final utilizamos 0.875 menos 0.5, nuestra probabilidad es 0.375. Observamos que entonces los dos métodos son equivalentes porque al final obtenemos exactamente la misma probabilidad. Otra forma que tenemos de calcular esta misma probabilidad es utilizando el área bajo la curva. Nosotros queremos calcular el área de este rectángulo. Entonces para calcular el área de un rectángulo recordemos que es base por altura. La base de este rectángulo es 155 menos 140 es decir 155 menos 140 multiplicado por la altura de ese rectángulo, y la altura está dada por la función de densidad de probabilidad. La cual es 1 sobre 40. Al realizar este cálculo obtenemos 0.375. Para finalizar nos interesa calcular el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria x. Recordemos que si queremos calcular el valor esperado de x y x sigue una distribución uniforme, la fórmula que utilizamos es a más b sobre 2. Por lo tanto para nosotros será 120 más 160 sobre 2, es decir 140 kilómetros. Ahora para calcular la varianza. Recordemos que para calcular la varianza de una distribución uniforme utilizamos la ecuación b menos a al cuadrado sobre 12. Resolviendo esta ecuación tenemos que es 160 menos 140 al cuadrado sobre 12, esto equivale a 133.33 y recordemos que las unidades de la varianza son unidades al cuadrado, por lo tanto kilómetros cuadrados. [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [AUDIO_EN_BLANCO] [MÚSICA]