En el día de hoy nos vamos a ocupar de dos temas, del cálculo de probabilidades y de algunos métodos o técnicas para contar, en conjuntos finitos, lo que se conoce como técnicas de conteo. Comencemos con el cálculo de probabilidades en experimentos aleatorios cuyo espacio muestral tiene un número finito de elementos. Por ejemplo, el espacio "S1" igual al conjunto que contiene los números uno, dos, tres, hasta 52, que corresponde a seleccionar una carta al azar de una baraja de póquer de 52 cartas. "S2" igual al conjunto que contiene las letras "a, e, i, o, u", que corresponde a seleccionar una vocal al azar de las cinco vocales del abecedario español. Debe ser claro que la probabilidad de seleccionar una carta específica, por ejemplo, la carta número diez, es igual a uno sobre 52. De la misma manera, la probabilidad de seleccionar una vocal específica, por ejemplo, la "u", es igual a uno dividido cinco. Las dos situaciones anteriores son ejemplos de lo que se conoce como espacios de probabilidad equiprobables de tamaño "n", en los que la probabilidad de obtener un resultado elemental específico "s(i)" es igual a la probabilidad de "s(i)", es igual a uno sobre "n" para todo "i". Para este tipo de espacios de probabilidad se tiene que para cualquier evento "B(s)" la probabilidad de "B" es igual al número de casos favorables al evento "B" dividido por el número de casos posibles. Sin embargo, no siempre es fácil contar correctamente tanto los casos favorables como los casos posibles, como se puede observar en los ejemplos que se presentarán a continuación. Para ilustrar los diferentes tipos de arreglos básicos con respecto a los elementos de un espacio finito equiprobable, vamos a utilizar el espacio muestral que contiene los números del cero al nueve, es decir... Utilizando este conjunto, vamos a definir e ilustrar algunos de los arreglos más importantes para el cálculo de probabilidades en conjuntos finitos, como son muestras de tamaño "r" de "S", permutaciones de tamaño "r" de "S", combinaciones de tamaño "r" de "S" y particiones ordenadas de "S". Comencemos con el concepto de muestra. Una muestra de tamaño "r" del conjunto "S" es un arreglo ordenado de "r" elementos de "S". Los siguientes arreglos son muestras distintas de orden cuatro del conjunto "S": cero, tres, cuatro, uno; tres, cuatro, cero, uno; uno, uno, uno, uno; dos, tres, cuatro, cinco; entre otras. Los siguientes arreglos son muestras distintas de orden dos del conjunto "S": cuatro, uno; cero, uno; uno, cero; nueve, nueve; entre otras. El punto de interés, por supuesto, es, ¿cuántos arreglos hay para cada caso? Para la muestra de tamaño cuatro debemos cubrir cuatro posiciones, tal como se presenta en la pantalla. Cada una de ellas con un número cualquiera entre cero y nueve, por lo que tendríamos diez por diez, por diez, por diez posibilidades, es decir, diez a la cuatro igual a 10.000 muestras diferentes de tamaño cuatro. Para la muestra de tamaño dos debemos cubrir dos posiciones tal como se presenta en la pantalla, cada una con un número cualquiera entre cero y nueve, por lo que tendríamos diez por diez posibilidades, igual a diez a la dos, igual a 100 muestras diferentes de tamaño dos posibles. En general, el número de muestras de tamaño "r" de un conjunto de "n" elementos se representa por... y es igual a "n" a la "r".