Il n'empêche que nous allons procéder par intégration par partie, et donc pour faire
attention à ce qu'on fait au moment de l'intégration par partie, nous allons dire
que l'espérance de X c'est la limite quand a tend vers l'infini, de l'intégrale de 0
à a, de x fois 2ex/(2ex- 1)² dx, l'intégration par partie ayant comme but
de faire disparaître le x en le dérivant et puis ensuite de primitiver 2ex/(2ex-
1)² pour pouvoir écrire la formule d'intégration par partie.
Or, primitiver ça c'est essentiellement le calcul qu'on avait déjà fait puisque
on avait déjà remarqué que cette densité c'était la dérivée de grand F.
En utilisant ce qu'on a déjà fait sur grand F, en regardant tout simplement
que l'on décrit très facilement la primitive de cette fonction,
nous avons la formule d'intégration par partie, donc l'intégrale de 0 à a de x,
2ex divisé par (2ex- 1)², c'est a fois donc le terme dit tout intégré
c'est a fois 2ea sur (2ea- 1)² plus le terme qu'on obtient, en fait il
y a 2 moins qui fait une plus, le moins de la formule de l'intégration par partie,
et le fait que si on dérive 1 sur (2 ex- 1) ça fait -2ex sur (2ex- 1)²,
donc il y a 2 fois moins,
ça fait plus, intégrale de 0 à l'infini de la primitive 1 sur 2ex- 1 dx.
On aurait pu faire apparaître f,
mais le terme tout intégré et le terme intégré auraient été légèrement différents
mais on calcule facilement la primitive de la fonction.
Donc nous avons cette formule d'intégration par partie,
le premier terme, vous le voyez bien une fois de plus, il y a aea en haut
et 2e a carré en bas donc ça tend vers 0 quand a tend vers l'infini,
donc le terme tout intégré ne nous posera pas de problème, il y a aussi une borne en
0 qui vaut 0 à cause du a, j'ai pas écrit la borne en 0,
le terme tout intégré en 0, donc il s'agit d'étudier simplement le deuxième terme,
intégrale de 0 à a, de 1 sur 2 ex- 1, dx.
Donc nous voulons calculer l'intégrale de 0 à a, de 1 sur 2 ex- 1, dx.
Là encore on va procéder par changement de variables,
changement de variables élémentaire y = exponentielle de x, donc l'inverse est x =
logarithme népérien de y, donc l'intégrale de 0 à a, de 1 sur 2 ex- 1,
c'est l'intégrale de 1 à exponentielle de a, de 1 / 2y- 1 fois la dérivée
de logarithme, donc 1 / y, dy, formule de changement de variables élémentaires.
Donc ensuite nous voulons primitiver cette fraction rationnelle,
donc il s'agit de l'écrire sous forme d'éléments simples,
un petit calcul élémentaire nous montre que 1 / 2y- 1 sur 1 / y peut s'écrire
comme étant la différence 2 / 2y- 1 et de 1 / y,
donc l'intégrale vaut intégrale de 1 à exponentielle de a,
de 2 / 2y- 1, dy, ensuite nous primitivons les 2 termes en écrivant les logarithmes,
donc ça c'est le logarithme de 2y- 1 moins le logarithme de y pris entre 1 et ea.
Et donc la formule finale c'est que l'intégrale vaut le logarithme
de (2ea- 1)- a.
Donc nous avons calculé l'intégrale, nous avons tous les termes,
donc en définitive, l'espérance de X comme nous
l'avons déjà dit c'est la limite quand a tend vers l'infini de l'intégrale de 0 à
a de x 2ex sur (2ex- 1)² dx, donc c'est 0, je vous rappelle que le premier
terme tout intégré tendait vers 0 plus la limite quand a tend vers l'infini,
du terme que nous avons obtenu ici, donc le logarithme de (2ea- 1)- a.
Donc pour trouver la limite, l'astuce classique c'est de mettre en facteur ea,
donc nous disons que, le 0 on n'en a pas besoin donc c'est la limite quand a tend
vers l'infini du logarithme de ea (2- e- a)- a, là nous utilisons les
propriétés du logarithme, le logarithme d'un produit,
c'est la somme des logarithmes, donc c'est logarithme de ea, autrement dit a,
plus logarithme de (2- e- a), et ensuite il y a -a, le dernier terme.