Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Calculs de lois
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Del curso dictado por École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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De la lección
VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (3/3)
Nous terminons cette semaine le Cours 3 avec, d'une part, un résultat important permettant de calculer la loi d'une variable aléatoire et, d'autre part, des inégalités très utiles.
Conoce a los instructores
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[MUSIQUE] Donc nous
allons faire un exercice sur des calculs de lois et d'intégrations, en fait.
Donc, juste pour s'entraîner un petit peu à faire des calcul de lois,
et voir différentes façons de faire des calculs de lois, Nous prenons, U,
une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle [0, 1], et nous prenons X,
une variable aléatoire obtenue en prenant le logarithme népérien de,
1 + U sur 2U, et Y obtenu en prenant la partie positive de [X
(1- X)] c'est à dire le maximum entre, [X (1- X)] et zéro.
Première question, calculer la fonction de répartition, F, de X.
Deuxième question, montrer que X a une densité, f, et la calculer.
Troisièmement, troisième question, calculer la loi de Y, et enfin,
quatrièmement, calculer l'espérance E de X, de x.
Donc nous avons quatre questions, qui vont permettre de visiter un peu des calculs
d'intégrations, essentiellement et comment caractériser une loi.
Mais avant de regarder la solution je vous propose de chercher cet exercice.
Donc voici le corrigé de l'exercice sur les calculs de lois.
Je vous rappelle que U est une variable uniforme, et que X,
c'est le logarithme de ,1 + U, sur 2U, une petite remarque évidemment c'est que
U uniforme est plus petit que 1, compris entre [0,
1 ] et donc X est en fait strictement positive, on a X strictement positive,
et donc pour toutes les valeurs, x, négatives, f de x, égale à zéro.
La fonction de répartition va être nulle,
et il suffit de la calculer pour les x positives ou nulles.
F de x, par définition de la fonction de répartition, c'est la probabilité que X
soit plus petite que x, donc puis X est le logarithme de ,1 + U, sur 2U,
en prenant des deux côtés l'exponentielle, qui est une fonction croissante,
nous voyons que c'est la probabilité pour que, 1 + U, sur 2U,
soit plus petit que l'exponentielle de X, une petite manipulation vous
permet d'écrire que c'est aussi la probabilité de du fait que, 1, sur,
2e puissance x- 1, soit plus petitque U, il s'agit de regrouper U pour obtenir ça.
Donc ensuite, U étant uniforme, on connaît sa fonction de répartition,
et donc cette probabilité-là c'est, 1- 1 sur, 2e puissance x,- 1.
Donc, 1 sur, 2e puissance x,- 1, c'est la probabilité pour que U soit
compris entre zéro et, 1 sur, 2e puissance x,- 1, et donc la la probabilité pour que,
1 sur, 2e puissance x,- 1, soit plus petit que U c'est le complémentaire 1- ,1 sur,
2e puissance x,- 1.
Donc une remarque, c'est toujours bien de vérifier que l'on a les propriétés
fondamentales et la fonction de répartition, elle est croissante et F de
zéro égale à zéro, ici, parce que X est positive ou nulle, et que la limite,
quand x tend vers l'infini, de, F de x, vaut 1.
On a ainsi calculé la fonction de répartition de X, F de x, égale,
1 sur 2e puissance x,- 1.
Ceci répond à la première question.
Donc la deuxième question, c'était de calculer,
de montrer que X avait une densité, f, et de calculer, f.
Il suffit de remarquer que, F est C1 sauf en zéro,
il y a une rupture de dérivabilité en zéro, mais c'est pas très important,
donc à partir du moment où F est C1,
sauf en un point, f, ça va être la dérivé de F, sauf éventuellement en ce point.
Donc, f de x, c'est, F prime de x, puisque donc, f de x,
ça va être l'intégrale de zéro à x, de, f de x, de x.
Donc, f, c'est, F prime de x, et donc en dérivant,
par des calculs très simples, pour des, x, positifs ou nuls, c'est, 2e puissance x,
sur, 2e puissance x,- 1, au carré ; et pour les,
x, négatifs, évidemment c'est zéro, pour les, x, strictement négatifs.
Nous avons ainsi calculé, f, la densité.
Alors bien entendu la valeur de la densité en un point ça n'a pas de
signification particulière.
Vous pouvez arbitrairement attribuer la valeur en zéro que vous voulez à, f de x.
Typiquement, comme on considère que, x est positif ou nul, on va avoir tendance à
prendre par continuité la valeur de, 2 sur 2- 1 au carré, donc 2.
Donc ainsi nous avons répondu à la deuxième question, f,
nous avons calculé la densité, donc la loi de X.
Troisièmement, je vous rappelle on regardait, Y, qui était la partie
positive de, [X (1- X)], pour calculer une loi d'une variable aléatoire comme ça, on
pourrait essayer de passer par la fonction de répartition, mais c'est plus simple
d'utiliser la méthode, dite de la fonction muette, il s'agit de prendre une fonction,
h, dans une classe suffisamment grande pour caractériser les lois, par exemple,
une fonction continue, bornée, pour toute fonction continue, bornée, le but c'est
d'écrire l'espérance de, h de Y, de façon à reconnaître quelle est la loi de Y.
Le début du calcul c'est de dire que, l'espérance, de h de Y, c'est l'espérance,
par définition de Y, de, h de la partie positive de [X fois (1- X)],
du maximum entre [X (1- X)] et zéro.
Nous utilisons à ce moment-là le fait que X, a une loi, f, enfin une densité, f,
que nous venons de calculer pour interpréter ça comme étant l'intégrale de
zéro à l'infini, de, h de, la partie positive de [X (1- X)] multiplié par,
f de x, dx, donc évidemment, cette partie positive nous embête un petit peu, c'est
quelque chose qui en particulier n'est pas dérivable, mais c'est très facile
de couper l'intervalle, zéro à l'infini, en intervalle, [0, 1] et l'intervalle [1,
l'infini] où [X (1- X)], partie positive, a une signification claire.
Donc l'espérance de, h de Y, en définitive, c'est l'intégrale de zéro à 1,
de, h, [X (1- X)], f de x, dx, la c'est la partie [0, 1],
[X (1- X)] est positive, plus, h de zéro, intégrale de 1 à l'infini,
de f de x, dx, donc évidemment, quand X est plus grand que 1,
[X (1- X)] est négatif ou nul, et donc la partie positive est nulle.
Je vais faire un petit dessin sur la fonction parce qu'on en aura besoin.
Donc je vais tracer rapidement le graphe de la fonction, qui a X, associe
la partie positive de [X (1- X)] ce qui par définition,
la partie positive c'est tout simplement le, max de X,
(1- x) et de zéro,
un graphe très simple,
Donc en fait [X (1- X)] évidemment quand X est plus grand que 1, c'est négatif,
donc la partie positive est nulle, donc nous avons une courbe,
comme ça, et entre les deux, c'est un petit bout de parabole, qui monte jusque,
à un quart, un demi, fois, un demi,
c'est, un quart, et la courbe donc fait un petit bout de parabole comme ça.
Bon, l'échelle n'est pas très jolie, mais j'ai mis les choses à l'échelle,
donc voilà, la courbe, ça c'est exactement la courbe,
x donne [X (1- X)], partie positive.
Première remarque qu'on fait, c'est qu'évidemment, là,
il y a toute une partie, où la courbe est nulle, et puis,
ici, on peut couper en deux, et remarquer qu'il y a une partie croissante,
et une partie décroissante, en particulier, ça n'est pas une bijection,
mais si on coupe en deux, on va pouvoir avoir des bijections.
Donc tout le calcul qu'on va faire c'est de, analyser la fonction, de regarder là
où elle est constante, égale à zéro, et puis de voir deux intervalles,
cet intervalle-là, où la fonction est croissante, et cet intervalle-là,
où elle est décroissante, et à chaque fois, il s'agira d'écrire,
que c'est une bijection, et d'inverser, donc le dessin est un petit peu compliqué,
mais essentiellement vous voyez que évidemment pour chaque valeur, Y, il
y a deux possibilités, ici, qui correspondent.
X moins, et X plus.
Donc c'est pour ça que pour faire les calculs de changements de
variables nous allons couper en deux l'intervalle.
Donc je vais repasser, une fois qu'on a compris qu'il fallait faire ce dessin,
nous allons repasser au transparent.
Donc maintenant que j'ai montré sur un dessin comment analyser la fonction [X (1-
X)], partie positive, donc nous revenons à ce que nous avons écrit.
L'espérance de, h de Y, c'est intégrale de zéro à 1, de, h de [X (1- X)],
f de x, dx, le bout de parabole positive, plus donc, ensuite,
lorsque X est plus grand que 1 nous avons [X (1- X)], partie positive qui vaut zéro,
donc plus, h de zéro, fois, l'intégrale de 1 à l'infini, de, f de x, dx.
Donc il s'agirait de calculer cette intégrale,
mais on a déjà fait le calcul ; évidemment, l'intégrale de 1 à l'infini
de, f de x, dx, c'est, 1 moins, F de 1, c'est donc, 1 sur 2e- 1.
On pourrait refaire le calcul, mais on l'a déjà fait.
Donc déjà, il y a une partie qui est complètement explicite,
et nous allons nous concentrer sur l'autre partie.
Donc il nous reste à étudier cette intégrale, l'intégrale de zéro à 1,
de, h de [X (1- X)], f d x, dx.
Là nous remplaçons, f, par sa valeur, puisqu'on a commencé à faire des calculs,
donc c'est l'intégrale de zéro à 1 de he de [X (1- X)], multiplié par,
2e puissance x, sur 2e puissance, x- 1, au carré, dx.
Et donc il s'agit de faire les changements de variables,
comme je vous ai expliqué il s'agit de, on va être obligé de couper l'intervalle (0,
1) en deux parties, nous avons fait le dessin déjà, donc ensuite il faut résoudre
Y en fonction de X, enfin Y égale [X (1- X)], ce qui revient au même que de trouver
les racines du binôme, X carré- (X + 1), égale zéro.
Ce qui permet d'obtenir Y en fonction de X, et d'inverser la bijection évidemment,
il y a deux racines, chacune dans un des deux intervalles.
Donc nous allons détailler ça dans le prochain transparent Mais déjà là,
très vite, on s'aperçoit qu'il y a deux racines,
et que ça n'est pas une bijection.
Donc en fait il faut considérer les deux difféomorphismes,
un premier difféomorphisme qui, à x appartenant à l'intervalle (0,
1/2), associe, x (1- x ), appartenant à l'intervalle (0, 1/4),
difféomorphisme croissant, les intervalles étant ouverts,
pour définir les difféomorphismes, et le deuxième difféomorphisme c'est,
x qui appartient à (1/2, 1) associe, x (1 -x) mais qui appartient encore à (0,
1/4), cette fois-ci c'est un difféomorphisme décroissant.
Les inverses correspondent aux deux racines du binôme,
X carré- (X + Y), égale zéro.
Donc les inverses c'est dans le premier cas, y appartenant à (0, 1/4) associe,
1- racine de, 1- 4y, sur 2, qui appartient (0, 1/2) ,et la racine a un nombre
positif parce que, y est compris entre (0, 1/4) donc qui est croissant, évidemment,
et le l'inverse d'une fonction croissante est croissante, et puis la deuxième c'est,
y appartenant à (0, 1/4) associe, 1 + racine de, 1- 4y sur 2,
qui appartient à ]1/2, 1], donc ça c'est l'inverse du difféomorphisme décroissant.
Donc ensuite puisqu'il va falloir dériver l'inverse,
on va calculer tout simplement d/dx de racine de 1- 4y/2,
puisque la constante 1/2 n'intervient plus et puis il y a une question de signe,
donc il se trouve que cette dérivée c'est -1/racine de 1- 4y.
Un petit calcul simple.
Le signe ne sera pas important puisqu'on sait qu'au bout du compte on aura des
choses positives et qu'il faudra en fait prendre des valeurs absolues ou en tout
cas s'occuper des bornes correctement.
Donc à partir de ce moment-là on peut faire la formule de changement de
variables, donc l'intégrale de 0 à 1 de h de x fois (1- x) fois 2ex / (2ex- 1)² dx,
donc en coupant sur les 2 intervalles donc x(1- X) appartient à [0,
1/4], donc c'est l'intégrale sur [0, 1/4] de h(y) de ce qui se passe pour
le premier difféomorphisme plus ce qui se passe sur le second difféomorphisme,
bon je vous laisse lire la formule mais essentiellement on remplace x par
sa valeur en fonction de y, et puis ensuite il s'agit de mettre la dérivée de
1/racine de 1- 4y dy pour faire le changement de variable.
Donc j'ai fait exprès de garder les bornes [0, 1/4], donc il faut faire attention aux
bornes, soit vous faites un changement de variables comme on vous apprend à iii
a mesure où on passe d'un ensemble à un ensemble et dans ce cas-là il y a une
valeur absolue, soit si vous regardez les bornes dans le cas du difféormorphisme
décroissant, les bornes sont inversées, il y a un signe moins, qui vont faire que
en fait ça revient à reprendre les bornes dans le bon sens, et à écrire ça.
Vous remarquez évidemment que dans le premier cas où le difféomorphisme est
croissant il y a déjà un moins qui va faire qu'on va retrouver le plus,
et dans le deuxième cas il y a un plus qui va faire que si on applique la
formule du changement de variables naïves on aura le moins mais on aura
les bornes qui vont s'inverser et donc en
remettant les bornes dans le bon sens on a bien cette formule-là.
De toute façon on ne peut pas se tromper puisqu'à
la fin on aura quelque chose de positif.
Donc j'insiste, attention aux bornes des intervalles aussi lorsque vous faites des
changements de variables.
Donc une fois qu'on a cette formule on a pratiquement fini,
en définitive, rappel de la situation, parce qu'il y avait 2 termes,
donc pour tout h appartenant à l'ensemble assez riche, par exemple l'ensemble des
fonctions continues bornées ce qui suffit à caractériser une loi,
nous avons montré que h de grand Y c'est l'intégrale sur [0, 1/4] de h de Y
fois cette densité que l'on a écrit tout à l'heure, plus h de 0, 1/2e -1.
Donc à ce moment-là il s'agit d'interpréter les choses.
La première partie, on voit bien qu'il s'agit d'une partie à densité.
La deuxième partie, qu'est-ce qui associe à la fonction h, h(0),
quelle mesure fait ça?
C'est la mesure de Dirac, c'est la mesure qui met une masse en 0.
Cette formule s'interprète en disant que la loi de grand Y est
la somme de 2 mesures, d'un terme à densité la mesure de Lebesgue sur [0,
1/4] munie de la densité qui est écrite au-dessus,que je ne décrirai pas parce que
c'est un peu long mais c'est exactement la densité que vous avez la-dessus.
Plus une mesure ponctuelle, une mesure qui ne charge qu'un point,
0, particulièrement, avec une densité
donc qui est la mesure ponctuelle 1/2e- 1 fois la masse de Dirac en 0.
Donc avec ce procédé de parties positives, à partir d'une v.a à densité grand X,
en prenant grand X (1- x), partie positive,
nous avons fait apparaître une masse de Dirac en 0 qui regroupe toute la masse
en fait de X(1- x) au-delà de la valeur 1 pour laquelle le X(1-
x) devient négatif ou nul et donc la masse, la partie positive devient 0.
Il faut faire attention, on peut voir apparaître, même si on part d'une variable
à densité, on peut voir apparaître des masses de Dirac.
Le calcul il suffit d'être capable d'interpréter h(0) comme étant l'intégrale
de h par rapport à la masse de Dirac pour comprendre de quoi il s'agit.
Donc ceci termine la question du calcul de la loi de grand Y.
Maintenant solution de la quatrième question de l'exercice.
Il s'agissait de calculer l'espérance de grand X,
grand X étant une v.a qui a une densité petit f que l'on a calculée.
Donc en faisant à la borne infini l'espérance de grand X peut
s'écrire comme étant l'intégrale de 0 à l'infini de x 2ex/(2ex- 1)² dx,
nous voyons que l'intégrale est convergente, il y a un 2e de x carré
en bas et un 2 de x en haut donc à l'infini ça se comporte bien.
Il n'empêche que nous allons procéder par intégration par partie, et donc pour faire
attention à ce qu'on fait au moment de l'intégration par partie, nous allons dire
que l'espérance de X c'est la limite quand a tend vers l'infini, de l'intégrale de 0
à a, de x fois 2ex/(2ex- 1)² dx, l'intégration par partie ayant comme but
de faire disparaître le x en le dérivant et puis ensuite de primitiver 2ex/(2ex-
1)² pour pouvoir écrire la formule d'intégration par partie.
Or, primitiver ça c'est essentiellement le calcul qu'on avait déjà fait puisque
on avait déjà remarqué que cette densité c'était la dérivée de grand F.
En utilisant ce qu'on a déjà fait sur grand F, en regardant tout simplement
que l'on décrit très facilement la primitive de cette fonction,
nous avons la formule d'intégration par partie, donc l'intégrale de 0 à a de x,
2ex divisé par (2ex- 1)², c'est a fois donc le terme dit tout intégré
c'est a fois 2ea sur (2ea- 1)² plus le terme qu'on obtient, en fait il
y a 2 moins qui fait une plus, le moins de la formule de l'intégration par partie,
et le fait que si on dérive 1 sur (2 ex- 1) ça fait -2ex sur (2ex- 1)²,
donc il y a 2 fois moins,
ça fait plus, intégrale de 0 à l'infini de la primitive 1 sur 2ex- 1 dx.
On aurait pu faire apparaître f,
mais le terme tout intégré et le terme intégré auraient été légèrement différents
mais on calcule facilement la primitive de la fonction.
Donc nous avons cette formule d'intégration par partie,
le premier terme, vous le voyez bien une fois de plus, il y a aea en haut
et 2e a carré en bas donc ça tend vers 0 quand a tend vers l'infini,
donc le terme tout intégré ne nous posera pas de problème, il y a aussi une borne en
0 qui vaut 0 à cause du a, j'ai pas écrit la borne en 0,
le terme tout intégré en 0, donc il s'agit d'étudier simplement le deuxième terme,
intégrale de 0 à a, de 1 sur 2 ex- 1, dx.
Donc nous voulons calculer l'intégrale de 0 à a, de 1 sur 2 ex- 1, dx.
Là encore on va procéder par changement de variables,
changement de variables élémentaire y = exponentielle de x, donc l'inverse est x =
logarithme népérien de y, donc l'intégrale de 0 à a, de 1 sur 2 ex- 1,
c'est l'intégrale de 1 à exponentielle de a, de 1 / 2y- 1 fois la dérivée
de logarithme, donc 1 / y, dy, formule de changement de variables élémentaires.
Donc ensuite nous voulons primitiver cette fraction rationnelle,
donc il s'agit de l'écrire sous forme d'éléments simples,
un petit calcul élémentaire nous montre que 1 / 2y- 1 sur 1 / y peut s'écrire
comme étant la différence 2 / 2y- 1 et de 1 / y,
donc l'intégrale vaut intégrale de 1 à exponentielle de a,
de 2 / 2y- 1, dy, ensuite nous primitivons les 2 termes en écrivant les logarithmes,
donc ça c'est le logarithme de 2y- 1 moins le logarithme de y pris entre 1 et ea.
Et donc la formule finale c'est que l'intégrale vaut le logarithme
de (2ea- 1)- a.
Donc nous avons calculé l'intégrale, nous avons tous les termes,
donc en définitive, l'espérance de X comme nous
l'avons déjà dit c'est la limite quand a tend vers l'infini de l'intégrale de 0 à
a de x 2ex sur (2ex- 1)² dx, donc c'est 0, je vous rappelle que le premier
terme tout intégré tendait vers 0 plus la limite quand a tend vers l'infini,
du terme que nous avons obtenu ici, donc le logarithme de (2ea- 1)- a.
Donc pour trouver la limite, l'astuce classique c'est de mettre en facteur ea,
donc nous disons que, le 0 on n'en a pas besoin donc c'est la limite quand a tend
vers l'infini du logarithme de ea (2- e- a)- a, là nous utilisons les
propriétés du logarithme, le logarithme d'un produit,
c'est la somme des logarithmes, donc c'est logarithme de ea, autrement dit a,
plus logarithme de (2- e- a), et ensuite il y a -a, le dernier terme.
Évidemment les 2 a se simplifient, et puis ensuite e puissance -a tend vers 0 et donc
au bout du compte on trouve que l'espérance de X c'est le logarithme de 2.
Valeur bien définie que nous avons pu calculer l'espérance de X.
Ceci termine la quatrième question de l'exercice,
et termine cet exercice sur des calculs de lois et d'intégrales.
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