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Nouvel exercice, domination stochastique.
Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles,
de fonctions de répartition de grand F de grand X et grand F de grand Y,
on définit le fait que X est dominé stochastiquement par grand Y,
qui est noté X inférieur ou égal stochastique Y comme suit.
X est inférieur ou égal stochastiquement avec grand Y si la fonction de répartition
de X est supérieur à la fonction de répartition de Y.
Autrement dit si pour tout a qui appartient à R grand F
de grand X de petit a est supérieur ou égal à grand F de grand Y de petit a.
Donc la propriété de domination stochastique en fait c'est une propriété
sur les lois des variables aléatoires grand X et grand Y,
puisque ça ne fait intervenir que leurs fonctions de répartition, et elle indique
que les petites valeurs sont plus probables pour grand X que pour grand Y.
Donc il y a une inégalité des fonctions de répartition et bien dans ce sens-là on
indique que les petites valeurs sont plus probables pour grand X que pour grand Y.
Déjà on a défini la notion de domination stochastique.
Donc trois questions: première question, montrer que si grand X est inférieur ou
égal à grand Y presque sûrement alors X est dominé stochastiquement par grand Y.
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Deuxième question, montrer que si X est dominé stochastiquement par
grand Y alors on peut trouver une variable aléatoire X prime de même loi que grand X,
une variable aléatoire grand Y prime de même loi que grand Y
telle que X prime est inférieur ou égal à Y prime.
C'est un peu une réciproque de la question précédente.
Donc sans indication ça serait difficile,
donc l'indication c'est de penser à la simulation des variables aléatoires.
Troisème question, on note F ronde l'ensemble des fonctions croissantes
et telles que l'espérance de f de grand X et l'espérance de f de grand Y
aient un sens dans moins l'infini plus l'infini.
Donc c'est juste pour que les formules aient un sens.
Montrer que X est dominé stochastiquement par grand Y si et seulement si
l'espérance de f de grand X et inférieur ou égal a l'espérance de f de grand Y
pour toute fonction f dans cet ensemble grand F de fonction croissante,
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Donc je vais donner la solution à l'exercice sur la domination stochastique.
La première question est très simple, c'est tout à fait clair, si vous prenez un
petit a réel, évidemment par définition la fonction de répartition de Y
au point petit a c'est la probabilité que grand Y soit inférieur ou égal à petit a.
La fonction de répartition de grand X sur petit a c'est la probabilité
que grand X soit inférieur ou égal à petit a, et la probabilité
que grand Y inférieur ou égal à petit a, puisque on a supposé que grand X était
presque sûrement plus petit que grand Y c'est la même chose que la probabilité
pour que grand X soit inférieur ou égal à grand Y, inférieur ou égal à petit a.
Et cet ensemble est évidemment, l'ensemble en question étant évidemment inclus
dans l'ensemble où X est inférieur ou égal à petit a, la probabilité est plus petite
que la probabilité que X soit inférieur ou égal à petit a, donc nous avons bien
l'inégalité des fonctions de répartition qui était demandée.
Donc ça c'est un exemple facile
si X est plus petit presque sûrement que grand Y il a évidemment
une plus grande probabilité de prendre des petites valeurs que grand Y.
Nous avons ainsi résolu la première question.
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Donc la deuxième question c'est une sorte de réciproque, c'était de montrer
si X était dominé stochastiquement par grand Y alors il existait X prime et Y
prime de même loi que X et Y telle que X prime est plus petit que Y prime.
donc l'indication c'était de se rappeler la simulation,
donc nous allons faire des rappels.
D'abord nous définissons l'inverse généralisé continu à gauche
d'une fonction de répartition grand F par F moins un,
c'est l'application qui a eu appartenant à zéro un ouvert, associe l'infimum
des a appartenant à grand R tel que F de petit a est supérieur ou égal à u.
Donc ça c'est un réel.
C'est facile de vérifier avec cette définiton que comme pour une
inverse normale si on suppose que grand F de grand X de petit a est plus grand que
grand F de Y de petit a pour tout a alors nécessairement pour l'inverse l'ordre
s'inverse, F de X de moins un de petit u est inférieur ou égal à F
de Y de moins un de petit u pour tout u dans zéro un,
il suffit de vérifier avec la définition de F moins 1.
Donc nous avons rappelé la notion d'inverse généralisé
de fonctions de répartition.
Et ensuite deuxième rappel, la simulation.
Si grand U est uniforme sur zéro un, alors F moins un de grand U a pour fonction de
répartition grand F et la constante de répartition caractérise la loi.
Donc en particulier nous pouvons prendre une variable aléatoire grand U uniforme
sur zéro un, et nous pouvons prendre X prime égal Fx moins un de grand U,
qui va donc être égal en loi à grand X et Y prime
qui va être égal à F de Y moins un de grand U d'une même,
de la même variable aléatoire grand U qui va être égal en loi à grand Y.
Donc on prend une seule variable grand U, uniforme sur zéro un,
et avec cette unique variable aléatoire grand U,
on construit X prime et Y prime qui ont la même loi que X et Y.
De par la propriété que nous avons montré au transparent précédent,
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automatiquement X prime sera inférieur ou égal à Y prime.
Donc nous avons ainsi résolu le deuxièmement,
nous avons trouvé X prime et Y prime, tel que X prime est plus petit que Y prime,
X prime de même loi que X, Y prime de même loi que Y.
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Troisième question, donc on va commencer par montrer l'implication.
Si X est dominé stochastiquement par Y alors
il y a une inégalité dans les espérances qu'on nous a demandé de montrer.
Donc une façon de faire c'est d'utiliser le résultat précédent.
On choisit donc un X prime de même loi que grand X,
un Y prime de même loi que grand Y tel que X prime est plus petit ou égal à Y prime.
Donc les fonctions F c'était des fonctions croissantes qui vérifient une fonction
d'intégrabilité en plus.
Donc puisque F est croissant et que X prime est plus petit que Y prime
nous avons F de grand X prime qui sera plus petit que F de grand Y prime.
Donc ensuite en prenant les espérances, puisque X prime a la même loi que grand X,
l'espérance de F de X c'est le même chose que l'espérance de F de grand X prime.
Par une inégalité F de X prime plus petit que F de Y prime,
l'espérance de F de X prime est plus petit que l'espérance de F de Y prime.
Et de nouveau parce que Y prime a la même loi que Y,
l'espérance de F de Y prime est égale à l'espérance de F de Y.
Donc en définitif l'espérance de F de grand X sera plus petit que l'espérance de
F de grand Y pour toute fonction F telle que ses espérances auront un sens.
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Ensuite il faut montrer l'inégalité dans l'autre sens, qui elle est très simple.
La fonction de répartition Fx de a c'est la probabilité pour que F de grand X soit
inférieur ou égal à petit a,
ça peut s'écrire comme étant l'espérance de la fonction indicatrice de moins
l'infini petit a de l'intervalle moins l'infini petit a, a inclus de grand X.
La fonction qui a petit x associe indique la valeur de l'indicatrice de moins
l'infini a de petit x, c'est une fonction qui est décroissante bornée.
qui vaut un jusqu'en petit a et qui vaut zéro ensuite donc elle est décroissante et
bornée donc il n'y a pas de problème d'intégralité.
Et donc évidemment puisque c'est une fonction décroissante les
inégalités sont inverses et donc on a bien le fait que F
de grand X sera plus grand que F de grand Y.
Nous avons ainsi résolu le troisièmement et fini l'exercice.
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Carl Graham
