Voici la solution de l'exercice sur l'espérance et la production orthogonale.
Nous calculons E( (X-a)²) Donc x- a,
puisque nous allons faire intervenir la Variance de X qui est E( (X- m)²),
on va couper par m, on va écrire X- a = X- m + m- a Nous
calculons E( (x- m + m- a)²)
Nous utilisons la formule de développement du carré, le carré d'une somme, donc ça,
c'est l'espérance de (x- m)² + (m- a)² + le terme double produit, de X- m- a.
On va utiliser le fait que la somme d'un carré
c'est le carré des deux termes plus deux fois le produit.
Donc par la linéarité de l'espérance, nous pouvons écrire que
ceci vaut l'espérance de (x- m) ², donc l'espérance du carré de x- m, +
l'espérance des (m- a) ² mais m et a étant des constantes ne dépendant pas du hasard,
c'est exactement (m- a) ², + l'espérance de (x- n)
(m- a) par linéarité de l'espérance, nous pouvons sortir n- a de l'espérance.
Donc nous avons l'espérance du carré de x- n + n- a carré plus
deux m moins a fois l'espérance de x moins n.
Or, par hypothèse, l'espérance de x,
c'est n.Donc l'espérance de x- n c'est l'espérance de x moins n, ça fait 0.
Donc tout ce qui reste, c'est le premier terme, l'espérance de
du carré de x moins n qui est variance de x, plus n moins a au carré.
Donc nous avons trouvé la formule espérance de x moins a carré,
égal variance de x plus n moins a au carré.
Si nous posons a où a égal 0, on retrouve la formule que l'on utilise en
faisant passer variance d'un côté, et m au carré de l'autre.
Le fait que la variance de x peut s'écrire comme étant l'espérance de x au carré
moins m au carré, donc l'espérance de x au carré moins le carré de l'espérance.
La formule qu'on utilise donc habituellement pour calculer la variance,
alors que la définition de la variance,
c'est bien l'espérance du carré de x moins n.
Ce n'est pas la même chose.
C'est égal, mais l'un c'est la définition,
et l'autre c'est une conséquence qui est un cas particulier de cette formule.