Ce cours d'introduction aux probabilités a la même contenu que le cours de tronc commun de première année de l'École polytechnique donné par Sylvie Méléard. Le cours introduit graduellement la notion de variable aléatoire et culmine avec la loi des grands nombres et le théorème de la limite centrale. Les notions mathématiques nécessaires sont introduites au fil du cours et de nombreux exercices corrigés sont proposés. Ce cours propose aussi une introduction aux méthodes de simulations des variables aléatoires comme la méthode de Monte Carlo. Des expériences numériques interactives sont également mises à votre disposition pour vous permettre de visualiser diverses notions.
Espérance et projection orthogonale
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Del curso dictado por École Polytechnique
Aléatoire : une introduction aux probabilités - Partie 1
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De la lección
VARIABLES ALÉATOIRES RÉELLES (2/3)
La notion abordée cette semaine est celle d'espérance d'un variable aléatoire.
Conoce a los instructores
Sylvie MéléardProfesseur de l'Ecole polytechnique
Centre de Mathématiques Appliquées
Jean-René ChazottesDirecteur de Recherche (CNRS) & Professeur chargé de cours
Département de Mathématiques Appliquées
Carl Graham
Département de Mathématiques Appliquées de l'École Polytechnique
[SON]
[AUDIO_VIDE] Bonjour.
Bienvenue au cours d'aléatoire.
Nous sommes dans la séance d'exercice du cours 3.
Nous allons faire un exercice sur l'espérance et la projection orthogonale.
Nous nous donnons X v.a.
réelle de carré intégrable, sur un espace de probabilités grand oméga.
Et nous considérons l'espérance de X que l'on va noter m.
Donc une constante, qui ne dépend pas du hasard.
Première question.
Montrer que l'espérance de (X-a)² peut
s'écrire comme étant la Var(X) + (m- a)².
Je vous rappelle que Var(X) c'est E( (X- m)²).
Préciser ce qu'on obtient pour a = 0.
Qu'est-ce que ça vous rappelle, éventuellement?
Deuxième question.
Utiliser ce que l'on vient de démontrer pour interpréter E(X), notée m ici,
en termes du carré scalaire qui à X qui appartient à L²(Grand Oméga), les v.a.
de carré intégrable sur Grand Oméga, associent E(X²).
C'est une forme quadratique et donc il y un carré scalaire,
et donc il y a une distance qui correspond à ce carré scalaire.
Avant de passer à la correction, je vous propose de réfléchir à cet exercice.
Voici la solution de l'exercice sur l'espérance et la production orthogonale.
Nous calculons E( (X-a)²) Donc x- a,
puisque nous allons faire intervenir la Variance de X qui est E( (X- m)²),
on va couper par m, on va écrire X- a = X- m + m- a Nous
calculons E( (x- m + m- a)²)
Nous utilisons la formule de développement du carré, le carré d'une somme, donc ça,
c'est l'espérance de (x- m)² + (m- a)² + le terme double produit, de X- m- a.
On va utiliser le fait que la somme d'un carré
c'est le carré des deux termes plus deux fois le produit.
Donc par la linéarité de l'espérance, nous pouvons écrire que
ceci vaut l'espérance de (x- m) ², donc l'espérance du carré de x- m, +
l'espérance des (m- a) ² mais m et a étant des constantes ne dépendant pas du hasard,
c'est exactement (m- a) ², + l'espérance de (x- n)
(m- a) par linéarité de l'espérance, nous pouvons sortir n- a de l'espérance.
Donc nous avons l'espérance du carré de x- n + n- a carré plus
deux m moins a fois l'espérance de x moins n.
Or, par hypothèse, l'espérance de x,
c'est n.Donc l'espérance de x- n c'est l'espérance de x moins n, ça fait 0.
Donc tout ce qui reste, c'est le premier terme, l'espérance de
du carré de x moins n qui est variance de x, plus n moins a au carré.
Donc nous avons trouvé la formule espérance de x moins a carré,
égal variance de x plus n moins a au carré.
Si nous posons a où a égal 0, on retrouve la formule que l'on utilise en
faisant passer variance d'un côté, et m au carré de l'autre.
Le fait que la variance de x peut s'écrire comme étant l'espérance de x au carré
moins m au carré, donc l'espérance de x au carré moins le carré de l'espérance.
La formule qu'on utilise donc habituellement pour calculer la variance,
alors que la définition de la variance,
c'est bien l'espérance du carré de x moins n.
Ce n'est pas la même chose.
C'est égal, mais l'un c'est la définition,
et l'autre c'est une conséquence qui est un cas particulier de cette formule.
Une question qui était qu'est-ce que ça vous rappelle?
Pour ceux qui ont fait de la mécanique, c'est la formule de König de la mécanique.
Donc l'interprétation de cette formule vous dit que le moment d'inertie par
rapport à un point a, donc ici le moment d'inertie c'est l'espérance de x moins
a carré, par rapport au point a, le moment d'inertie par rapport à un point a,
s'obtient comme étant la somme du moment d'inertie par rapport au barycentre,
donc de l'espérance de x moins n le tout au carré, enfin l'espérance du carré de
x moins n, et donc la somme de ça, avec le moment d'inertie par rapport au point a,
d'un point situé au barycentre, donc situé ici en m, qui regroupe toute la masse,
donc ici on retrouve bien l'espérance du carré de x moins a donc
c'est la variance de x plus x moins a au carré.
Donc c'est un cas particulier où c'est la formule de König
que nous appliquons aux probabilités.
La deuxième question, c'était d'interpréter l'espérance grâce à cette
formule, donc si x est de carré intégrable, alors on peut définir
l'application qui à a appartenant à r une constante associe l'espérance du carré de
x moins a nous avons vu que ça ça regroupe la variance de x plus n moins a au carré
nous savons que n moins a au carré est positif ou nul et que pour moins a au
carré vaut 0 si et seulement si n moins a est égal à m, donc l'espérance
m de x c'est une unique constante qui réalise le minimum de cette application.
Vous voyez que cette application est minimale pour a égale m,
et que sans ça, pour tout a autre que m il est strictement plus grand.
Donc, l'espérance de x est l'unique argument du minimum sur a appartenant à R,
du carré de x moins a.
Donc c'est quelque chose qui minimise le carré scalaire,
et donc qui minimise la distance correspondant au carré scalaire.
Donc, en terminologie de premier scalaire,
pour un x qui appartient à L deux de grand oméga muni de ce carré scalaire,
l'espérance de x est tout simplement la projection orthogonale
de X sur le sous-espace des variables aléatoires déterministes.
Autrement dit constantes.
Juste pour en revenir à la formule ici, l'orthogonalité se voit sur la ligne où on
a un le terme, le double produit s'annule, c'est dire qu'il y a une orthogonalité.
Donc, l'espérance de x peut s'interpréter comme étant la projection orthogonale
de x sur le sous-espace des variables aléatoires déterministes,
c'est-à-dire les sous variables aléatoires qui ne dépendent pas du hasard,
les constantes par rapport au hasard, donc en quelque sorte l'approximation,
la projection orthogonale, c'est la meilleure approximation dans le sens
du carré scalaire par une constante, par quelque chose qui ne dépend pas du hasard
de la variable aléatoire, de plus, nous pouvons mesurer l'écart type de x,
qui est par définition la racine de la variance de x.
Cela donne la distance entre x et sa projection espérance de x,
et donc mesure la qualité de l'approximation ainsi faite.
Nous approchons une variable aléatoire, quelque chose qui dépend du hasard, par
quelque chose qui ne dépend pas du hasard, on obtient ainsi l'espérance, et la racine
de la variance, l'écart type nous donne l'écart obtenu dans cette approximation.
Alors attention, on ne peut pas définir comme ça l'espérance,
puisque pour définir le carré scalaire, il faut avoir déjà défini l'espérance.
En revanche, cette idée est fructueuse et sera utilisée dans des cours
de probabilité plus avancés, l'idée de faire des projections,
pour avoir des bonnes approximations.
Donc ceci termine l'exercice sur l'espérance et la projection orthogonale.
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