[SON] [AUDIO_VIDE] Bonjour, bienvenue dans le cours d'aléatoire de l'Ecole Polytechnique. Nous allons faire un exercice qui s'appelle pièce au mur. Le petit Pierre joue un jeu avec ses petits camarades, chacun lance une pièce de monnaie vers un mur et celui qui la place le plus près du mur gagne, et ramasse toutes les pièces. On utilise un lancer typique de pièces. Soit grand A l'évènement où la pièce s'arrête avant de rebondir sur le mur, grand D la variable aléatoire donnant la distance au mur, donc essentiellement il y a certains lancers où la pièce s'arrête avant de toucher le mur, il y aura une certaine répartition de la distance au mur et il y a d'autres évènements où la pièce va frapper le mur et rebondir auquel cas il y aura une autre distribution, on va tenir compte de ce facteur là. Donc une étude statistique montre qu'il existe des paramètres petit p Sigma strictement positif et to strictement positif tels que la probabilité de grand A l'évènement que la pièce s'arrête avant de rebondir est égal à petit p et que les lois conditionnelles de grand D sachant grand A et la loi conditionnelle sachant A complémentaire donc ces 2 lois conditionnelles sont respectivement de densité 2 sur racine de 2 Pi sigma carré indicatrice de x strictement positif exponentielle de 2 x 2 sur 2 Sigma 2 et 2 sur racine de 2 Pi To 2 indicatrice de x strictement positif exponentielle de moins x2 sur To 2. La seule différence c'est le paramètre Sigma et To qui n'est pas le même, donc première question justifier sans calcul qu'il s'agit bien d'une loi d'intégrale 1, deuxième question, calculer la distance moyenne au mur espérance de grand D, troisième question, calculer la variance var de D. Donc je vous suggère de chercher, ne vous lancez pas dans des calculs, il n'y en a pratiquement pas. Donc voici la solution de pièce au mur, donc dans les densités de lois conditionnelles on reconnait les lois gaussiennes de la loi normale centrée d'espérance 0 et de variance Sigma carré et la loi gaussienne centrée et de variance To carré. Ces densités étant tronquées sur R plus, on ne garde que cette indicatrice de x strictement positif, qui fait qu'on ne garde que la partie sur R plus, et multipliées par 2, les distances étant positives c'est une des raisons pour lesquelles on tronque. donc ces densités gaussiennes classiquement sont paires, puisqu'elles sont centrées, donc leurs intégrales sur R plus valent 1 demi, l'intégrale totale c'est et par symétrie il y a 1 demi d'un côté et 1 demi de l'autre. Le facteur 2 valant 1 demi, c'était 2 sur Sigma carré etc, le facteur 2 fait que ces lois conditionnelles sont bien d'intégrale 1. Nous avons montré que les densités que nous avons données correspondent bien à des lois de probabilité. Ca, ça résout la première question. Donc solution de la deuxième question de l'exercice, nous devions calculer l'espérance, de D, la distance moyenne au mur, l'espérance de D, donc grâce à l'additivité de l'espérance nous disons que l'espérance de D c'est l'espérance de D indicatrice de A plus l'espérance de D indicatrice de A complémentaire puisque l'on connait la probabilité de A, la probabilité de A complémentaire et des lois conditionnelles de D par rapport à A et à a complémentaire donc nous écrivons ça comme étant petit p espérance conditionnelle de D sachant A plus 1 moins p espérance conditionnelle de D sachant A complémentaire. La formule qui donne directement l'espérance de D égal petit p espérance conditionnelle de D sachant A plus 1 moins P espérance de D sachant A complémentaire s'appelant parfois la formule de la probabilité totale en tous cas c'est l'application de la formule de la probabilité totale aux espérances. Donc une fois que nous avons cette décomposition de l'espérance de D en p espérance de D sachant A plus 1, plus 1 moins p espérance de D sachant A complémentaire, il suffit juste d'utiliser les densités conditionnelles que nous avons données pour réécrire ça en termes d'intégrales. Donc en termes d'intégrales, l'espérance de D c'est, nous le multiplions par p, nous le mettons au numérateur 2 1 moins p donc espérance de D c'est 2 p sur racine de 2 p Sigma carré intégrale de 0 à l'infini de x espérance de moins x 2 sur 2 sigma de D x donc on veut l'espérance de D donc on intègre x par rapport à la densité donc plus le deuxième terme donc plus 2 facteur de 1 moins p sur racine de 2 Pi To 2 intégrale de 0 à l'infini de x exponentielle de moins x 2 sur moins To 2 D x. Donc ensuite il suffit de trouver la primitive des fonctions que l'on intègre donc très facilement nous voyons que la primitive c'est moins Sigma carré exponentielle de moins x 2 sur 2 Sigma 2, la deuxième primitive c'est moins To 2 exponentielle de moins x 2 sur 2 To 2, quand vous dérivez ça vous trouvez bien dans le premier cas x exponentielle de moins x 2 sur 2 Sigma 2, dans le deuxième cas x exponentielle de moins x 2 sur 2 To 2. Donc du coup l'espérance de D s'écrit comme étant 2 p sur racine de 2 Pi Sigma carré donc moins Sigma carré exponentielle de moins x 2 sur 2 sigma 2 pris entre 0 et l'infini plus 2 facteur de 1 moins p sur racine de 2 Pi To 2 moins To 2 exponentielle de moins x 2 sur 2 To 2 pris entre 0 et l'infini. en l'infini ça fait 0 et en 1 ça fait évidemment 1 donc ensuite donc en simplifiant par Sigma et par To et aussi en simplifiant le 2 sur racine de 2, nous trouvons que l'espérance de D c'est racine de 2 sur Pi facteur de p Sigma 1 sur Pi To. C'est assez logique que ce soit dans même échelle. Le sigma et To en tout cas dans la même unité que le sigma et To dans les écarts-types. Donc voilà qui résout la deuxième question calcul de la distance moyenne au mur. Troisième question de l'exercice il s'agissait de calculer la variance de D, on utilise la formule classique variance de D c'est l'espérance de D carré moins l'espérance de D le tout au carré. Pour calculer la variance il suffit de calculer l'espérance de D carré. donc l'espérance de D carré comme tout à l'heure il suffit de remplacer pour les formules de tout à l'heure D par D carré et dans les formules intégrales x par x au carré donc nous trouvons que l'espérance de D cas au carré c'est p petit p espérance de D 2 conditionnelle moins A plus 1 moins p espérance de D carré conditionnelle moins A complémentaire et donc en formule intégrale c'est 2 p sur racine de 2 Pi Sigma carré intégrale de 0 à l'infini de x au carré de moins x 2 sur 2 Sigma 2 D x plus 2 facteur de 1 moins p racine de 2 Pi To 2 intégrale de 0 à l'infini de x carré exponentielle moins x 2 sur 2 To 2 D x. Or ici nous reconnaissons essentiellement que, à part le facteur petit p dans le premier cas et le facteur 1 moins p dans le second cas nous allons avoir en fait la variance dans le premier cas d'une loi gaussienne centrée de variance sigma carré [INAUDIBLE] O sigma carré dans le deuxième cas la variance de la loi gaussienne de variance t 2, tout simplement parce que les intégrales ne sont non pas de moins l'infini à l'infini mais de 0 à l'infini mais il y a le facteur 2 que nous avons introduit tout à l'heure pour normaliser, qui compense par symétrie c'est la même chose d'avoir 2 fois 1 sur racine de 2 2 Pi Sigma carré intégrale de 0 à l'infini ou dans ce 2 x 2, moins x 2 sur 2 sigma carré de x ou d'avoir 1 sur racine de 2 Pi sigma carré intégrale de moins l'infini à l'infini est la même chose. Donc en fait le terme en facteur de p dans le premier cas c'est sigma carré et le terme en facteur de 1 moins p dans le second cas c'est To 2. Donc on rappelle donc en voyant que c'est des formules très proches que la formule que l'on obtient pour des gaussiennes. Donc du coup le résultat final c'est l'espérance de t carré c'est p sigma carré plus 1 moins p To 2. Donc une fois qu'on a l'espérance de t carré comme ça, on termine aisément le calcul. Le calcul de variance de D, en faisant variance de D égal espérance de D carré moins espérance de D le tout au carré je vous laisse le faire si ça vous intéresse. En tout cas c'est un calcul immédiat, donc ceci termine le troisièmement de l'exercice.
