dont la loi a une densité, donc le couple je l'appelle X,
Y, et la densité s'appelle f(x, y) comme précédemment.
Nous avons vu également précédemment, que dans ce cas, les deux coordonnées X et Y,
du couple de variables aléatoires, avait une loi à densité et je vais noter f
indice X et f indice Y les densités marginales de X et Y.
Maintenant je voudrais définir une notion de loi conditionnelle.
Alors, le problème est très facile à voir.
Je vous rappelle que dans le cas discret on avait défini la loi d'une des
coordonnées, par exemple de Y, sachant que la variable aléatoire
X prenait une valeur xi, donnée, fixée.
Mais nous savons que X est une loi qui admet une densité,
et nous avons vu que pour une loi à densité, eh bien la probabilité d'avoir
X égale une valeur x fixée, est égale à zéro.
Donc en fait, on ne peut pas réaliser des événements aléatoire de la forme
X égale une certaine valeur, précises.
Donc que veut dire le conditionnement par rapport à une telle information?
Donc c'est une question que l'on peut se poser et qu'on va résoudre
par la proposition suivante, qui va nous donner
un élément de réponse à une manière de modéliser le conditionnement.
Alors, on ne peut pas suppose que x est tel que la probabilité d'avoir X égale
x est positive, puisque cela n'est jamais vrai, mais on va considérer un
x tel que la densité de X est strictement positive en x.
Eh bien dans ce cas-là, on peut définir le quotien f(x, y), la densité du couple,
sur la densité marginale de X, donc au point x.
Ceci définit une fonction de y dès lors que j'ai fixé x.
Je vais noter cette fonction sous la forme f indice
Y sachant que X égale x, et je vais appeler cette
quantité-là densité conditionnelle de grand Y sachant X égale x.
Hein, même si vous voyez que la probabilité d'avoir
X égale petit x est nulle, comme on vient de le rappeler précédemment.
Donc c'est un peu un abus de langage,
d'appeler cette fonction densité de conditionnelle de Y sachant X égale x,
néanmoins, c'est cet objet-là qui va nous intéresser.
Alors la proposition nous dit que cette quantité-là définit donc une fonction de
Y, hein, sachant que x est fixé, qui est une densité de probabilité sur r.
Ca veut dire que c'est une fonction positive et d'intégrale un.
Donc je vais maintenant vous justifier pourquoi on s'intéresse à ce quotien,
et aussi justifier le fait qu'on a bien ici, enfin prouver la proposition,
justifier qu'on a bien ici une densité.