Une dernière application du théorème de loi des grands nombres, que nous allons
voir, est une preuve probabiliste d'un résultat d'analyse qui concerne les
polynômes de Bernstein et qui, a priori, n'a rien à voir avec les probabilités.
Nous allons considérer une suite, Xn, de variables aléatoires de Bernoulli,
indépendantes et de paramètre, x appartenant à (0, 1).
Nous savons qu'alors, je vous renvoie au cours 2 pour le vérifier,
la variable aléatoire, X1 + etc.
+ Xn, donc la somme des, n premières variables Xi,
suit la loi binomiale de paramètres, n et x.
Ainsi si f est une fonction continue sur (0, 1),
nous pouvons calculer l'espérance de, f de X1 + X2 etc.,
+ Xn, sur n, et ça va être égal à la somme de, K égale zéro à n,
de f, de k sur n, probabilité d'avoir X1 + X2 etc.
+ Xn égale k.
Et cette probabilité est égale à, nombre de manière de tirer k parmi n,
x puissance k, 1- x puissance (n- k).
Nous savons, par la loi des grands nombres que, Mn, c'est-à-dire,
X1 + etc., Xn, sur n, converge presque sûrement vers
l'espérance commune aux Xi, c'est-à- dire, x.
Puisque, f est continue, il est immédiat de voir que,
f de X1 + X2 etc., + Xn, sur n, converge presque sûrement vers, f de x.
De plus, f étant continue sur l'intervalle, fermé, borné, (0,
1), f est bornée, et la suite de variable aléatoires, f de X1 +X2 etc.
+ Xn, sur n, est donc bornée, par une borne de f.
Donc nous avons une suite de variables aléatoires qui converge, presque sûrement,
vers un nombre réel, hein, donc vers une variable aléatoire intégrable,
et qui de plus est bornée, qui est dominée, donc nous pouvons en déduire,
par le théorème de convergence dominée, que l'espérance
de cette suite de variables aléatoires, va converger vers f de x.
Alors vers f de x,
parce que l'espérance d'un nombre réel, c'est ce nombre lui-même.
Donc la suite des espérances, ici, va converger vers f de x,
et si on la calcule, c'est ce qu'on a vu tout à l'heure, hein, c'est la somme de,
K égale zéro, n, de, f de K, sur n ; ça c'est un nombre, pour k fixé.
Le nombre de tirages de, k parties, parmi n, x k, 1- x, puissance, n- k.
Donc ici, si vous regardez cette quantité-là comme une fonction de x,
vous voyez que c'est un polynôme de degré n, et ce que l'on vient de montrer
c'est que, pour x dans (0, 1) fixé, ce polynôme qu'on appelle
un polynôme de Bernstein, pris en x, converge vers, f de x.
Donc nous avons construit, à partir de la fonction, f, un polynôme
