Los sistemas basados en reglas también se denominan "Controladores difusos" o "Sistemas de lógica difusa". ¿Lógica difusa? El propósito de este video es explicar en qué consiste ese término de "lógica difusa". En rigor, es lógica proposicional difusa. Vamos a iniciar primero con una presentación, un recuento de los conceptos básicos de la lógica convencional y luego daremos el salto a la lógica difusa. ¿Qué entendemos por lógica? La lógica puede definirse como el estudio de la forma en que razonamos y argumentamos, y es un estudio que puede hacerse desde muchas disciplinas, muchas áreas del conocimiento. Por ejemplo, desde la filosofÃa o desde la matemática. Cuando nos concentramos en el enfoque de la matemática, lo que tenemos es la lógica matemática. Y la lógica matemática es ese estudio de la forma en que argumentamos, pero con el lenguaje y las herramientas de las matemáticas, que son los sÃmbolos y las operaciones. Se formaliza la lógica, se formaliza ese estudio a través de sÃmbolos y operaciones. Y en la lógica matemática hay muchos campos. En particular, el estudio de las proposiciones o de los enunciados es la lógica proposicional. Lo que estudia este campo es cómo expresamos esos enunciados y cómo generamos nuevos enunciados. Es el sistema formal basado en proposiciones, en enunciados y operaciones para construir nuevos enunciados. ¿Qué es una proposición en el ámbito de la lógica matemática? Es un enunciado que tiene esa estructura básica, X es P. Y a partir de allÃ, y un conjunto de operaciones, se construye la lógica proposicional. En el mundo de la lógica matemática también es muy conocido un isomorfismo entre esta área del conocimiento y otras áreas del conocimiento matemático. Por ejemplo, con la lógica proposicional y el álgebra booleana. Son tres áreas del conocimiento matemático ligadas entre sà a través de un isomorfismo. ¿Cómo asÃ? El isomorfismo significa que con un cambio de lenguaje, lo que tengo en uno de estos universos equivale a lo que tengo en otro de esos universos; que hay un comportamiento, desde el punto de vista matemático, equivalente en el mundo de los conjuntos, en el mundo de la lógica proposicional y en el mundo del álgebra booleana. Por ejemplo, si estamos en el mundo de la teorÃa de conjuntos, las operaciones básicas de unión, intersección y complemento tienen un correlato o una forma equivalente en el mundo de la lógica proposicional y otro en el mundo del álgebra booleana. En el mundo de la lógica proposicional, la unión es equivalente a la disyunción en la lógica proposicional o en el álgebra booleana, a la operación "OR". Y si bajamos en cada uno de los renglones de esa tabla, encontramos esas equivalencias. La "intersección" tiene su equivalente en la "conjunción" y en el álgebra booleana, en el "AND". Y el "complemento", en la "negación" y en el operador "NOT". Ese isomorfismo es muy importante para nosotros porque ya sabemos cómo movernos en el mundo de la teorÃa de conjuntos difusos, y gracias a ese isomorfismo vamos a tener una forma de trabajar con la lógica proposicional. Eso significa que si necesitamos hacer una disyunción en la lógica proposicional difusa, lo que utilizaremos será la equivalencia del isomorfismo y los operadores de unión difusa. Pero antes de dar ese paso, presentemos esta equivalencia para cada uno de estos tres casos. El isomorfismo de la unión, la disyunción y el OR se puede visualizar en estas tres tablas. La teorÃa de conjuntos, he escrito aquà la tabla utilizando los grados de pertenencia al conjunto, y la interpretamos. Para que un elemento tenga un grado de pertenencia 1 a la unión, basta con que tenga un grado de pertenencia 1 a cualquiera de los dos conjuntos que forman la unión. Si ustedes hacen la conversión a la lógica proposicional, lo que hay que hacer es convertir el 0 en la indicación F de "Falso" y el 1 en la indicación de la V de "Verdadero". Y si quieren dar el salto al álgebra booleana, el 0 va con el 0, el 1 va con el 1. Y las dos tablas son una traducción utilizando esas equivalencias. Si analizamos en el isomorfismo, la intersección, la conjunción y el operador "AND", tenemos más de lo mismo. La tabla de la teorÃa de conjuntos para la intersección equivale completamente a la de la conjunción en la lógica proposicional y al operador "AND" en el álgebra booleana. Para el complemento, negación y "NOT" también es equivalente; la única diferencia es que este operador opera sobre un conjunto o una proposición o una variable, dependiendo en cada uno de los universos. Son operadores, binarios los anteriores y este es unitario. Unario, también lo podemos llamar. ¿Cómo se utiliza? ¿Cómo se hace práctico ese isomorfismo? Miremos, por ejemplo, estas equivalencias. En lógica proposicional dirÃamos algo asà como "Buenos Aires es una ciudad" y el correlato en teorÃa de conjuntos serÃa el elemento "Buenos Aires" pertenece al conjunto "Ciudades". Las dos cosas son equivalentes en los dos universos, el de los conjuntos y el de la lógica proposicional. O, por ejemplo, esta otra proposición "Todo ser humano es mortal", tiene una equivalencia en el mundo de los conjuntos. El conjunto de los "Humanos" está contenido dentro del conjunto de los "Mortales". Como ven, es posible entonces explotar ese isomorfismo para pasar del mundo de las proposiciones al mundo de los conjuntos. Vamos entonces ahora a intentar pasar del mundo de los conjuntos difusos al mundo de la lógica difusa. Para eso, la clave va a ser la función semántica de las variables lingüÃsticas. Es la que nos va a permitir hacer esa transición de teorÃa de conjuntos a lógica proposicional. Mostrémoslo con un ejemplo. Tenemos una proposición que dice que 65 kilómetros por hora es una velocidad alta. ¿Cómo vamos a hacer la transición entonces a la lógica proposicional difusa? Necesitamos una variable lingüÃstica, por ejemplo, esta que he construido aquà para poder hacer la explicación, y esa proposición "65 kilómetros/hora es una velocidad alta", vamos a interpretarla con el grado de pertenencia del elemento del universo de discurso, 65 kilómetros/hora al conjunto difuso de la etiqueta "Alta", en este ejemplo marcado aquà en rojo, 0,25. Esa es la interpretación que haremos de esa proposición. Y eso nos va a permitir viajar de la teorÃa de conjuntos difusos a la teorÃa de lógica difusa. Utilicemos conectores. Por ejemplo, ¿65 kilómetros por hora es una velocidad "Alta" o "Media"? ¿Qué es eso de alto o medio? Lo interpretamos como el conjunto alto o medio. ¿Cómo lo calculamos? "O" tiene el equivalente en teorÃa de conjuntos con la unión, entonces hacemos la unión de los conjuntos asociados a alto y medio y tenemos un conjunto que representa "Alto o medio". Y ahora la proposición "65 kilómetros por hora es una velocidad alta o media" es el grado de pertenencia a la unión que acabamos de construir. Pero podemos utilizar otra forma con estos conectores en la lógica proposicional. Por ejemplo, dos proposiciones distintas ahora, que son las que ustedes leen ahÃ: "65 kilómetros hora es una velocidad Alta" y "30 kilómetros hora es una velocidad Baja". Tenemos dos proposiciones conectadas por la "y", y el correlato en la teorÃa de conjuntos es la intersección. Buscamos el grado de pertenencia correspondiente a la primera proposición, ¿qué significa que 65 kilómetros hora sea una velocidad Alta?, a un grado de pertenencia 0,25. ¿Qué significa la segunda proposición?, a un grado de pertenencia 0,50. Y al hacer el "y" de esas dos proposiciones, lo que necesitamos es hacer la intersección que utilizarÃamos una T-norma, por ejemplo, el mÃnimo. De esta manera, podremos viajar de la teorÃa de conjuntos difusos a la lógica difusa utilizando la unión, la intersección y el complemento. Es decir, s normas de normas y 1 menos la función de pertenencia para interpretar las conjunciones y las disyunciones. En el próximo video presentaremos la estructura de los controladores difusos y destacaremos en qué punto vamos a utilizarlo. Será en la inferencia difusa. ¿Cómo vamos a utilizar la lógica difusa dentro de los controladores difusos?
