Hemos presentado cual es la estructura de un sistema basado en reglas. Y cómo operan sus distintos bloques cuando hay una entrada y una salida. ¿Qué pasa si ahora tenemos múltiples entradas y múltiples salidas? Si tenemos p entradas, q salidas. O dicho de otra forma, si la entrada es un vector X, y la salida es un vector Y. Marcados con negrita para indicar que adentro de ese vector hay muchas entradas. Comencemos con el caso MISO, múltiples entradas y una sola salida. Y vamos a comenzar por explicar cómo cambia la inferencia difusa, y luego los otros bloques. Recordemos cómo se hace la inferencia con una entrada y una salida. Yo necesito combinar el conocimiento con un hecho, componer el conocimiento y el hecho. Para eso, hago una operación que tÃpicamente es un MAX MIN. Pero que puede ser hecha con un operador Sc, Tc, una composición. Que gráficamente es la extensión del hecho. La intersección del hecho con el conocimiento. La proyección sobre el universo de salida, y de esa manera hago la inferencia. Pero resulta que ahora el conocimiento no es uno, sino es uno por cada regla. Entonces, lo que cambia es el tipo de conocimiento, la relación difusa que hay entre la entrada y la salida para cada regla. Eso lo representamos con el mu sub R, R sub i, para decir, ahora toca pensar regla por aparte. Para obtener la conclusión de cada una de las reglas, la mu súper(i). Okay, y si ahora lo que entra es un vector. Lo que sucede, es que necesitamos aprender a calcular la mu sub D, el hecho, el que viene del difusor. Y a representar el conocimiento, mu sub R, pero con un vector, eso es lo que cambia. En particular necesitamos, entonces, una estrategia para calcular dos grados de pertenencia. Que tienen ahora unos universos distintos en más dimensiones. Porque el mu sub D recibe el vector X, y el mu sub R recibe el vector X y Y también. Entonces, vamos a mirar esos dos problemas por aparte. Comencemos con el papel del difusor para poder calcular ese mu sub D ahora con una X, que es un vector. Es el problema que representamos gráficamente. Recibimos un vector, y el difusor tiene que entregar un grado de pertenencia de ese vector. ¿Cómo lo podemos hacer? La estrategia más utilizada es diseñar un difusor individual para cada entrada. De tal manera que yo puedo obtener grados de pertenencia individuales de las entradas. A cada uno de sus respectivos universos de salida. ¿Y cómo combino toda esa información? Con un operador AND. Porque el grado de pertenencia, al conjunto multidimensional. Se obtiene, dependiendo el grado de pertenencia de la primera dimensión. Y a la segunda dimensión, y etc, etc, etc, hasta la dimensión numero p. Entonces, tengo una forma de calcular ese grado de pertenencia, ahora multidimensional. Utilizando cualquier norma que me represente el AND. Bien, esa es la primera dificultad ahora para hacer la inferencia. La otra dificultad es, ¿cómo representar la regla? La regla difusa, la relación entre antecedente y consecuente. Recordamos, se hace a través de una función de implicación. La más popular, el mÃnimo, pero en general, una función de implicación. ¿Cuál es mi problema ahora? Que uno de los argumentos de esa función de implicación es un grado de pertenencia que viene con un vector (x). Debo calcular el mu sub x, pero ahora X es un vector. Si logro hacerlo, aplico la misma función de implicación de antes, y obtengo el resultado. ¿Cómo lo voy a hacer? De nuevo con el operador AND, ¿y por qué? Porque las reglas ahora son de la siguiente forma. Si la primera entrada es que hay un valor. Y la segunda entrada es, y, etc, etc, etc. La última entrada es, entonces, la relación es de ese estilo. El antecedente se une con operadores AND. Por eso tiene sentido representar la relación difusa con un operador AND de los que tenga. Una T-norma cualquiera de las que me representa la operación AND. Bien, entonces, you tengo resuelto el problema de la inferencia. Necesito representar el hecho con un operador AND. Necesito representar la relación con una implicación. Pero la implicación entre antecedente y consecuente. En el antecedente primero utilizo una relación AND. ¿Qué pasa ahora con la base de reglas? ¿Qué podemos decir de la base de reglas ahora en un sistema de múltiples entradas? Entonces, para abordar ese tema, supongamos el caso en dónde tenemos dos entradas, x sub 1 y x sub 2. Y ahora, representamos esas entradas con unas variables lingüÃsticas. En este ejemplo he escogido, para la variable lingüÃstica x1, tres etiquetas, bajo, medio, y alto. Y solo he escrito las iniciales de esas etiquetas. Para la segunda, cinco etiquetas, muy bajo, bajo, medio, alto, muy alto, de nuevo, solo puse las iniciales. Y en la salida escogà siete, y las iniciales que puse, MMB, son como muy, muy bajo. Muy bajo, bajo, medio, alto, muy alto, muy, muy alto. Muy bien, nuestra base de reglas debe ser completa. Eso significa que debemos contemplar todos los posibles casos en la entrada. Por ejemplo, tenemos que pensar, ¿qué pasa si la entrada es baja y muy baja? Pero también, baja y baja, también baja y media. Todas las posibles combinaciones de las etiquetas de entrada. Podemos representar eso en una tabla. La tabla muestra las etiquetas de x1, B, M, A, bajo, medio, alto. Las etiquetas de x2, muy bajo, bajo, etc, etc, etc. Y en cada celda va a haber una regla, va a representarse una regla. Por ejemplo, en el cruce entre x1 bajo y x2 alto, tendrÃamos la regla, si x1 es bajo y x2 alto, entonces, y viene el consecuente. Lo que ponemos en la tabla es el valor del consecuente, la etiqueta lingüÃstica del consecuente. En el ejemplo escogimos Y es medio, entonces ponemos medio en esa celda. Bueno, la inicial de medio, para hacerlo más fácil. PodrÃamos, entonces, asegurar tener una base de reglas completa, si esta tabla está llena. Si logramos poner el conocimiento adecuado en cada uno de esos cruces. Ahora fÃjense, y este dato es muy importante. Tenemos tres etiquetas en la primera variable x1. Tenemos cinco etiquetas en la segunda variable de entrada. El total de reglas que hay que construir es 15, 3 x 5, porque son todas las posibles combinaciones de etiquetas en la entrada. ¿Qué pasa, entonces, ahora si graficamos el comportamiento de nuestro sistema? Comportamiento entre entrada y salida, pues, ahora you no será una curva, sino una superficie. Y en esta base de reglas que escogimos, noten ustedes que hay una tendencia a ir creciendo. Desde el valor más pequeñito, muy, muy bajo en el cruce de x1 y x2 más pequeño, hasta el valor más alto. Entre x1 y x2 es muy, muy alto. Entonces, el comportamiento del sistema, para cada una de las entradas, es creciente. La base de reglas representa el comportamiento deseado del sistema. ¿Cómo serÃa el comportamiento de un sistema ahora con otra base de reglas? Analicemos esta otra base de reglas para el mismo ejemplo. Noten ustedes que en cada uno de los cuatro puntos de la tabla, está el valor más bajito. En este ejemplo ficticio, digamos, el MMB, muy muy bajo, en cada una de las esquinas. Y el valor más alto de todas las etiquetas que hay aquà es la M, que está justo en la mitad. Les solicito que intenten imaginar cómo creen ustedes que será esa superficie de entrada/salida. ¿Cómo se comportará el sistema? Yo lo he calculado, y lo tengo a continuación. Pero quizás usted quiera hacer una pausa en este video. Para intentar imaginarse el comportamiento de este sistema de dos entradas y una salida antes de ver esta imagen. FÃjense que en cada una de las cuatro puntas está el comportamiento más bajito. Y en la mitad, como una montañita, está el comportamiento más alto que le dimos a este sistema. Bueno, dos entradas, una salida. Pero si son más entradas. Si son más entradas, tengo dos problemas. El primero, es que you no voy a poder graficar el comportamiento entrada/salida, porque me hacen falta dimensiones. NecesitarÃa cuatro dimensiones. Y aun cuando matemática y conceptualmente las puedo imaginar, no tengo cómo graficarlas. Pero el problema más serio tiene que ver con la cantidad de reglas que voy a utilizar. Si yo tengo más entradas, son más las posibles combinaciones de esas entradas que tengo que contemplar. Supongamos, por ejemplo, p entradas, y cada una de esas tiene un numero de etiquetas, el que sea. L sub i, para la primera entrada serÃa L sub 1, para la segunda será L sub 2, etc. ¿Cuántas reglas necesito? R, ¿cómo calculo ese número R? Multiplicando el número de etiquetas de la primera entrada por los de la segunda, por los de la tercera, etc. Lo que tengo es una multiplicatoria. Y ese numerito, el número resultante de esa multiplicatoria, puede crecer muchÃsimo. Para ilustrar cómo puede crecer eso, supongamos que todas las entradas tienen el mismo número de etiquetas, L. La multiplicatoria, entonces, termina siendo L a la p, pues porque todas las Ls son iguales. Y observen ustedes, por ejemplo, un sistema de 3 entradas. 3 entradas, cada una con 2 etiquetas, necesito 8 reglas. Bueno, manejable. Si tengo, ahora, 3 etiquetas, necesito 27 reglas, si tengo 5 etiquetas, 125 reglas. 125 reglas para representar un conocimiento lingüÃstico, empieza a ser you problemático. Puedo imaginarme algoritmos para lograrlo. Pero para representar un conocimiento que está en las personas, 125 reglas va a ser un problema. Ni qué decir de tener 5 entradas, y digamos, 3 etiquetas, 243 reglas. Vámonos a lo grande, 10 entradas, 5 etiquetas, 9 millones de reglas. Esto crece muchÃsimo conforme incremento el número de entradas. Esto es lo que se conoce como la maldición de la dimensionalidad. Los algoritmos que dependen de esta manera exponencial de las entradas, sufren de la maldición de la dimensionalidad. Más dimensiones, esto crece tremendamente, esa es la maldición de la dimensionalidad. Lo que hace en últimas, es que vamos a poder tener solo sistemas basados en reglas con muy poquitas entradas. Porque al incrementar el número de entradas, hay una explosión de la base de reglas. Bien, y ahora compliquemos la cosa más. ¿Qué pasa si tenemos múltiples salidas? Si ahora nuestro sistema entrega un vector Y, ¿cómo lo hacemos? Bueno, realmente, la forma más fácil de hacerlo es no tener uno, sino varios sistemas basados en reglas. Asà que, en paralelo el uno al lado del otro. Cada uno de esos como un sistema independiente completamente del otro, esa es una posibilidad. Aunque realmente, las herramientas que permiten el diseño de sistemas de múltiples salidas suelen hacerlo un poquito diferente. Dicen, bueno, no vamos a hacer sistemas independientes. Sino vamos a hacer un sistema que comparta ciertas cosas, y luego lo especializamos. Entonces, a la entrada, el difusor puede seguir funcionando igual. La máquina de inferencia puede seguir exactamente igual. Pero ponemos un concresor especializado para cada una de las salidas. Entonces, necesitamos tantos concresores como salidas vayamos a tener. Y hay que tener, entonces, también presente que la base de reglas ahora va a estar ampliada. Para tener un consecuente con varias salidas. Entonces, la base de reglas será una tabla un poquito más amplia que si tuviera solo una salida. Y debemos diseñar con cuidado la máquina de inferencia para escoger bien la regla y bien el concresor. Para entregar la salida, pero esto es como la estrategia. Total, que los sistemas basados en reglas tienen unas limitaciones importantes. A la hora de pensar en múltiples entradas y múltiples salidas. La maldición de la dimensionalidad hace que sea muy poco frecuente tener sistemas con más de dos entradas. Lo usual es tener hasta dos entradas, aunque digamos que no son los únicos casos. Y la estructura misma de cómo manejar las distintas salidas, hace que sea preferible tenerlos por separado. Si se necesitan varias salidas, entonces, lo usual en los sistemas basados en reglas. Es tener, a lo sumo, dos, tres entradas y una única salida, gracias.
