En este primer vídeo os vamos a recordar los conceptos más importantes relacionados con los sistemas de numeración. Consideramos que estos conocimientos son básicos y necesarios para poder seguir el curso de sistemas digitales. Concretamente, en este primer vídeo nos centraremos en el sistema binario de numeración. ¿Cómo se representa la información en las computadoras? Un ordenador, o computador, es una máquina que recibe y procesa datos para convertirlos en información útil. Los datos con los que trabaja pueden ser números, caracteres, audio, vídeo. En definitiva todo se reduce a procesar números que están codificados en forma de cadenas de ceros y unos. La tecnología en la que se basan las computadoras y en definitiva sus componentes físicos, es la responsable de que toda la información con la que trabaja un computador se codifique en un sistema de numeración denominado sistema binario en el que solo utilizamos dos símbolos o estados, el 0 y el 1. ¿Qué sistemas de numeración necesitamos recordar? Existen muchos sistemas de numeración, pero básicamente trabajaremos el sistema decimal, el sistema binario y el sistema hexadecimal. Y lógicamente también las formas de conversión de un sistema de numeración a otro. Sistema decimal. Es un sistema de numeración formado por 10 símbolos o dígitos diferentes. Desde el 0, 1, etc, hasta el dígito 9. Es un sistema de numeración posicional. El orden de los dígitos es importante porque se asocia un peso a cada posición. Por ejemplo, si tenemos el valor 653 asociaremos cada dígito con su peso correspondiente asignando exponentes positivos, del 0 en adelante, y de derecha a izquierda. Por tanto podemos expresarlo de la siguiente manera, 6 por 10 al cuadrado más 5 por 10, más 3 por 10 a la 0, obteniendo por tanto la forma habitual de 6 centenas, 5 decenas, 3 unidades. Sistema binario. Es un sistema de numeración formado por dos símbolos o dígitos diferentes, el 0 y el 1. También es un sistema de numeración posicional. Por ejemplo, si tenemos el valor 1, 1, 0, 1 asociamos de nuevo cada dígito con su peso correspondiente. Por tanto, podemos expresarlo de la siguiente manera, 1 por 2 al cubo, que sería el peso del dígito más significativo. Más 1 por 2 al cuadrado, siguiente valor, más 0 por 2 a la 1, más 1 por 2 a la 0. Si sumamos todos estos valores acabamos obteniendo el valor 13 en decimal. Vamos a proponer como ejercicio el cálculo del valor decimal del siguiente número binario. 1, 0, 1, 0, 0, 1. Vamos a resolver el ejercicio propuesto correspondiente al número binario 1, 0, 1, 0, 0, 1. Como ya hemos indicado deberíamos colocar los pesos correspondientes a cada uno de los diferentes dígitos de nuestro valor, por tanto, la expresión final en decimal corresponderá a las sumas de los valores 1 por 2 a la 5, más 0 por 2 a la 4, más 1 por 2 al cubo, más 0 por 2 al cuadrado, más 0 por 2, más 1 por 2 a la 0 que sería 1. La suma de todos estos valores nos acaba dando el valor final en decimal de nuestro ejercicio propuesto. Sistema binario puro y rango de representación. El sistema binario puro corresponde a números que solo pueden ser positivos. Si utilizamos n bits podremos representar un total de 2<sup>n</sup> valores distintos. Su rango de representación va desde el número 0 hasta el número 2<sup>n</sup> - 1. Por ejemplo, en el caso de disponer de cuatro bits tendremos un total de 16 combinaciones diferentes, 2<sup>n</sup> en este caso, 2<sup>4</sup>, que van desde el valor 0 hasta el valor 15. Concretamente las 16 combinaciones las podemos ver en esta tabla, que como hemos indicado el valor más pequeño sería el valor del 0, 0, 0, 0, 0 en decimal, y el valor más alto sería el valor del 1, 1, 1, 1, y por tanto, 15 en decimal. Si n vale 3 representamos de 0 a 7 y por tanto 8 valores diferentes. Si n vale 4 representamos del 0 al 15 y por tanto hasta 16 valores distintos. Así sucesivamente para diferentes valores de n. ¿Cuántos bits necesitamos para representar en binario el número 48? Sabemos que 48 es superior a 31 y por tanto con 5 bits no tendremos suficiente. La respuesta correcta es que necesitamos 6 bits. La equivalencia de 48 en base 10 a base binaria es el valor 1, 1, 0, 0, 0, 0. Sistema hexadecimal. Es un sistema de numeración formado por 16 dígitos diferentes. Estos dígitos son 0, 1, 2, 3, etc., hasta el dígito 9 y a continuación A, que correspondería al valor 10, B,11, C sería 12, D 13, E 14 y F el valor 15. Vemos en esta tabla la equivalencia entre los valores binarios y los dígitos hexadecimales. El sistema hexadecimal también en un sistema de numeración posicional. Por ejemplo, si tenemos el valor 3 A 9 F, los pesos correspondientes a cada uno de estos dígitos serán, el caso menos significativo corresponde al peso 16<sup>0</sup>, el siguiente sería 9, corresponde al peso 16<sup>1</sup>, A, es decir el valor 10 corresponde al peso 16 al cuadrado, y finalmente el dígito 3 corresponde al peso 16 al cubo. Para calcular el valor decimal de un número hexadecimal tan solo hay que ir sumando los pesos multiplicados por el valor respectivo que tengan en cada posición. Por lo tanto en nuestro ejemplo, 3A9F, procederemos a realizar la multiplicación de 3 por 16 al cubo, correspondiente al peso en el que está ubicado el dígito 3, más 10, correspondiente a la A, por el peso 16 al cuadrado, más 9 por 16, sería esta la multiplicación de este peso por 9, y finalmente más 15 por 16<sup>0</sup>. Cambios de base, de hexadecimal a binario y de binario a hexadecimal. En el sistema hexadecimal, cada dígito se puede representar en binario con 4 bits. Por ejemplo, si tenemos el valor 3A9, podemos obtener la descomposición de cada uno de estos valores hexadecimales a sus correspondientes cuatro bits en binario Concretamente, 9 se corresponde con la representación 1, 0, 0, 1, A, que sería el 10, con 1, 0, 1, 0, y 3 con el valor 0, 0, 1, 1. Para convertir un número de binario a hexadecimal debemos agrupar los bits de cuatro en cuatro, empezando por la derecha, y así obtener el valor resultante en hexadecimal. Por ejemplo, en este caso iremos agrupando de derecha a izquierda, de cuatro en cuatro, los bits de nuestra representación. A partir de este agrupación podemos obtener su correspondiente valor en hexadecimal. Concretamente 0101 corresponde a 5; 1010 corresponde al valor A, y así sucesivamente. Vamos a proponer como ejercicio calcular la representación en hexadecimal de un valor en binario y también calcular la representación en binario de un valor en hexadecimal. Para ello proponemos consultar la tabla de equivalencia entre el valor binario y el valor hexadecimal. Vamos a resolver el ejercicio propuesto. En primer lugar para calcular la representación en hexadecimal de un valor en binario, nos ayudaremos de la tabla en la que vemos la equivalente entre todos los valores en binario y su correspondiente valor hexadecimal. En este primer caso lo que haremos es ir agrupando de derecha a izquierda y de cuatro en cuatro bits los diferentes valores correspondientes a nuestra representación. A partir de esta agrupación podemos obtener la equivalente valor hexadecimal, concretamente 1100 corresponde al valor C de nuestra tabla. Posteriormente el valor 0100 corresponde al valor 4, y así sucesivamente. Para calcular la representación en binario de nuestro valor en hexadecimal procederemos al caso contrario a desarrollar cada uno de los dígitos hexadecimales en sus correspondientes cuatro bits en binario. Concretamente el primer dígito B corresponderá a la agrupación 1011. El siguiente correspondiente es el 2 y por tanto representaremos con cuatro bits el valor 2, siguiente sería el valor F correspondiente a los 4 unos de la representación del 15 y finalmente el valor 5 que con cuatro bits corresponde al valor 0101. Cambios de base, de decimal a binario. El procedimiento que seguiremos es el de ir dividiendo por 2 el número en base decimal y los sucesivos cocientes se dividen de nuevo por 2 hasta obtener un cociente de valor 1. El número en base 2 estará formado por el último cociente y los sucesivos restos obtenidos, siendo este último cociente el bit más significativo de nuestra representación en binario. Veamos un ejemplo, queremos obtener la representación en binario del valor 18 en decimal. Para ello debemos plantearnos colocar el valor 18 como una descomposición de un cierto valor multiplicado por 2, que es la base, más un cierto resto. En nuestro caso concreto en primer lugar este valor será 9 por 2 más 0 de resto. A continuación este valor será el que continuamos dividiendo. Obtenemos que 9 en este caso es 4 por 2 más 1 de resto. Posteriormente el 4 lo descomponemos en 2 por 2 más 0 y finalmente el valor 2 lo hemos descompuesto como 1 por 2 más 0. De esta manera hemos llegado al final. El valor definitivo es la recogida empezando por el primer cociente y recogiendo los restos en orden inverso a su obtención, de manera que nuestro valor final es el valor 10010. Vamos a proponer como ejercicio el cálculo en binario del valor 43 en decimal. Vamos a resolver el valor 43 expresado en decimal cómo será su expresión en binario. Para ello proponemos la descomposición de 43 como 21 por la base 2 más el resto. A partir de aquí este valor será el que de nuevo descompondremos como 10 por 2 más 1, sucesivamente el valor 10 lo descomponemos como 5 por 2 más 0, 5 también de nuevo lo descomponemos como 2 por 2 más 1 y finalmente el valor 2 lo descomponemos como 1 por 2 más 0, siendo este el final. La recogida de los valores será como you hemos indicado en primer lugar el cociente y seguido de los sucesivos restos. De esta manera el valor final que obtenemos es 101011. Suma y resta de números binarios. Las diferentes combinaciones que se pueden producir al sumar dos bits son las siguientes, 0 más 0 vale 0, 0 más 1 vale 1, 1 más 0 vale 1 y 1 más 1 vale 2, se escribe 0 y se produce un acarreo de 1 que se suma a la siguiente etapa. Veámoslo sobre un ejemplo. Queremos realizar la suma de los valores A y B. Procederemos a hacer los cálculos como siempre de derecha a izquierda. El primer caso que encontramos es 1 más 1, se escribe 0 y se produce un acarreo de 1 que se suma a la siguiente etapa. 1 más 0 más 1 vale 2, por tanto se escribe 0 con un acarreo de 1 a la siguiente etapa. 1 más 1 más 1 vale 3, por tanto se escribe 1 y se produce un acarreo de 1 a la siguiente etapa. 1 más 0 más 0 vale 1 y no hay acarreo. 0 más 0 vale 0, no hay acarreo. 1 más 0 vale 1, no hay acarreo. 0 más 1 vale 1, no hay acarreo y finalmente 1 más 0 de no hay acarreo, es 1. El resultado final es 11101100. Veamos ahora las diferentes combinaciones que se pueden producir al restar. 2 bits. La primera situación es 0 menos 0 vale 0. 1 menos 0 vale 1. 1 menos 1 vale 0 y finalmente menos 1 vale menos 1. Se escribe 1 y se produce un acarreo de 1 que se suma al sustraendo de la siguiente etapa. Veámoslo sobre un ejemplo. Queremos realizar la resta de los valores A y B. De nuevo procedemos a hacer los cálculos de derecha a izquierda. La primera situación es 1 - 1, vale 0. Siguiente caso, 0 - 1, se escribe 1 y se produce un acarreo de 1 que se suma al sustraendo de la siguiente etapa. Ahora tenemos 1 - 1, 0, menos 1, se escribe 1 y se produce de nuevo un acarreo de 1 que se suma al sustraendo de la siguiente etapa. La situación ahora es 0 menos 1, se escribe 1 y se produce de nuevo el acarreo de 1 a la siguiente etapa. 0 menos 1 se escribe 1 y se produce un acarreo de 1 que se suma al sustraendo de la siguiente etapa. 1 menos 1 vale 0 y no se produce ningún acarreo. Ahora tenemos la situación de 0 -1, se escribe 1 y se produce un acarreo que se suma al sustraendo de la siguiente etapa. Finalmente, 1 - 1 vale 0. El resultado es 01011110. Proponemos como ejercicio realizar el cálculo de los valores A y B, en este caso realizando la suma, y los valores A y B, restando. Fijémonos que el valor A es distinto para el caso de la resta que para el caso de la suma. Vamos a realizar la suma de los valores A y B propuestos en como ejercicio. En este primer caso como siempre realizaremos la suma de derecha a izquierda y por tanto tendremos el primer caso 1 + 1 se produce el valor de 2 con un acarreo de 1. 1 + 1 + 1 vale 3. Por tanto el 3 se representa como 1 con un acarreo a la siguiente etapa de 1. 1 + 0 + 0 es 1 con acarreo 0. 0 + 1 + 0 es 1 con acarreo 0. 1 y 1 da como resultado 2 y por tanto escribimos 0 con acarreo de 1. 1 + 0 + 0 es 1 con acarreo de 0. 0 + 0 + 1 es 1 con acarreo 0 y finalmente 0 + 1 nos da el valor 1. Vamos a realizar ahora la resta de los mismos valores A y B. De nuevo como siempre empezamos de derecha a izquierda. Primer caso es 1 - 1, por tanto es 0. Siguiente situación sería como si tuviéramos 2 - 1 nos da el valor 1, 2 - 1 es 1, y este 1 se nos produce de acarreo a la siguiente etapa. Ahora de nuevo es como si tuviéramos 2 - 1, nos da el valor 1 con un 1 a la siguiente etapa. 1 - 1 es 0, 1 - 1 vale 0, 0 - 0 nos da 0 y en este caso 2 - 1 nos da el valor 1 con el acarreo final de la última etapa 1 - 1, 0. Por tanto los resultados finales son los que vemos. Como resumen de este vídeo hemos estado presentando cómo se representa la información en las computadoras, qué sistemas de numeración podemos trabajar, principalmente decimal, binario y hexadecimal. También hemos visto en qué consiste el sistema binario puro y el rango de representación. Los cambios de base de diferentes sistemas de numeración y finalmente hemos planteado la suma y la resta de números binarios.
