El segundo tema de la segunda semana lo vamos a dedicar al álgebra de Boole.
Un álgebra de Boole es un conjunto finito de elementos sobre los cuales se
han definido dos operaciones, la operación suma y
la operación producto que cumplen cinco postulados que veremos mas adelante.
En el caso concreto de que el conjunto de elementos finitos se
limite a los valores cero y uno, hablamos de un álgebra de computación.
Y este es el tipo de álgebra que vamos a aprovechar para la síntesis de
sistemas digitales.
Los cinco postulados son los siguientes.
El primero dice que cuando operamos, cuando hacemos sumas o
productos con elementos pertenecientes al conjunto cero uno,
el resultado siempre pertenece a este conjunto cero uno.
El postulado dos nos dice que existe un elemento neutro para la suma que es el
cero tal que cualquier elemento al sumarle cero permanece igual.
Y que existe un elemento neutro para el producto que es el uno tal que al
multiplicar cualquier elemento por uno nos sigue dando el mismo elemento.
El tercer postulado nos dice que para cualquier elemento del conjunto de
cero y uno existe lo que llamaremos el elemento inverso que
representaremos por esta a barra.
Tal que al sumar cualquier elemento con su
elemento inverso nos da el elemento neutro del producto.
A más a barra siempre da uno.
Y al multiplicarlos nos da el elemento neutro de la suma.
A por a barra es cero.
Cuarto postulado, las operaciones con conmutativas y
el quinto postulado nos dice que las operaciones son distributivas.
Que a multiplicado por b más c es lo mismo que a por b más a por c.
A esto estamos acostumbrados.
Pero, también nos dice que a más el producto de b por c
es lo mismo que a más b por a más c.
Estos son los cinco postulados que definen el álgebra de Boole.
La única manera de definir estas operaciones suma y
producto que aquí diríamos suma o lógica y producto lógico para, para,
para ser más preciso, de forma que se cumplan los cinco postulados es esta.
Esta es la única manera de construirlas.
Y si os fijáis esta definición coincide exactamente con la
definición de la puerta AND.
Y esta definición de la suma coincide exactamente con
la definición de la puerta OR.
De manera que lo que estamos diciendo es que si yo cojo dos elementos,
a y b del álgebra de Boole y le voy dando distintos valores dentro
del conjunto cero uno y calculo a más b, los valores que voy a ir obteniendo
van a ser exactamente los mismos que si yo cojo una puerta OR con dos entradas
y le voy dando los distintos valores posibles cero y uno a las entradas,
los valores que obtendré aquí que serán valores de tensión son,
los mismos que los que obtendré al hacer la operación matemática.
Y esto es importante porque si
es cierto que el álgebra de Boole cumple esta propiedad,
por ejemplo, y hay una correlación directa entre operaciones suma lógica,
producto lógico y las puertas AND y OR quiere decir que si yo,
construyo un circuito en el que sumo b
más c y esto lo multiplico por a,
yo construyo un segundo circuito donde hago
el producto de a por b y el producto de a por c.
Quiere decir lo entro a puertas lógicas AND y hago la suma.
Si el álgebra de Boole me dice que estas dos expresiones son iguales lo que me
está diciendo es que este circuito también se comporta exactamente igual que este.
Que estos dos circuitos son equivalentes.
Y la diferencia es que este circuito tiene menos puertas que este.
Es decir, vamos a utilizar el álgebra de
Boole para simplificar nuestros circuitos de conmutación.
Vamos a ver algunas propiedades del álgebra de
Boole que nos van a ser útiles para simplificar los, los circuitos digitales.
La primera propiedad dice simplemente que el elemento inverso a cero es el uno y
que el elemento inverso del uno es al cero.
Esto si recordamos es exactamente lo que hacía la
puerta inversora que cuando entraba un cero nos sacaba un uno.
Y viceversa.
De forma que con esto you podemos completar la equivalencia entre las
operaciones definidas en el álgebra de Boole y las puertas lógicas que vimos.
Una suma booleana, una suma lógica la puedo implementar con una puerta OR.
El producto lógico lo puedo implementar con una puerta AND.
Y dado un elemento hallar su inverso consiste en
pasarlo simplemente por un inversor.
La segunda propiedad es la ley de idempotencia y nos dice que si sumamos
una variable consigo mismo o multiplicamos una variable por sí misma nos queda el,
el resultado nos, no, no nos cambia a más es igual a a y a por es igual a a.
A ver, todas estas propiedades pueden demostrarse utilizando única y
exclusivamente los postulados que hemos visto anteriormente.
E incluso como que a solo puede tomar los valores cero y
uno podíamos demostrarlas de una manera exhaustiva, ¿no?
Diciendo simplemente a ver yo you he definido la operación suma.
Si la a es cero y le aplico la definición de suma que he definido antes,
a más a me da cero y si la a es uno a más a, perdón, me da también uno.
Por lo tanto está claro que para todo valor posible de a,
para todo a perteneciente a cero uno a es igual a a más a.
De todas maneras, a título de ejercicio vamos a hacer
una demostración formal de que a más a es igual a.
Aquí tenemos los postulados.
Y yo lo que quiero demostrar es esto.
Lo que voy a hacer es voy a coger la variable a y decir que en
función del postulado tres, perdón del postulado dos, esto lo
puedo escribir como a más cero porque el cero es el elemento neutro de la suma.
En función del postulado tres esto lo puedo escribir como a más a por a barra.
Porque a por a barra se que es cero.
Y en función de la distributividad, el postulado cinco esto lo
puedo escribir como a más a multiplicado por a más a barra.
Pero a más a barra, el postulado tres,
me está diciendo que toma el valor uno por lo tanto esto es igual a a más a por uno.
Y puesto que el uno es el elemento neutro del
producto voy a seguir por aquí en función del postulado dos.
Puedo decir que esto es igual a a más a y
you tengo demostrado que a es igual a a más a.
Os dejo como ejercicio que demostréis esta segunda parte de,
de la propiedad siguiendo exactamente estos pasos.
Y de todas maneras un poco más adelante os resuelvo el problema.
Bueno la resolución es muy sencilla y
consiste en hacer algo muy parecido a lo que you hemos hecho anteriormente.
dice, voy a coger a y voy a escribirla como a por a más a barra.
Porque en el fondo a más a barra se que es uno en función del postulado tres.
Y el uno es el elemento neutro del producto.
Osea que a por uno es a.
Esto en función de la distributividad, el postulado cinco,
lo puedo escribir como a por a más a por a barra.
Y otra vez a por a barra se que es cero es función del postulado tres.
Por lo tanto esto es igual a a por a más cero.
Puesto que el cero es el elemento neutro de la suma que,
cosa que me dice el postulado dos.
Esto lo puedo escribir como a más a y you queda demostrado que a es igual a a por a.
Vamos por más propiedades.
La ley de involución dice que si yo cojo una variable y
la invierto dos veces es lo mismo que si lo dejo igual.
La cuarta propiedad es que las dos operaciones son asociativas.
La quinta propiedad es la ley de absorción que dice en general que a más
a por cualquier expresión booleana que yo ponga aquí esto siempre es igual a a.
De alguna manera, bueno y, y es fácil de demostrar, ¿no?
Porque yo aquí podría sacar a factor común de a,
perdón de uno más toda esta expresión booleana y se que
uno más cualquier cosa es igual a uno.
Y lo mismo me dice para, para, para el producto, ¿no?
Que a por a más cualquier expresión booleana que yo ponga, esto es igual a a.
Sexta propiedad que no tiene nombre dice que a más a barra por otra vez cualquier
expresión booleana, aquí lo tengo significado por un, por una sola variable,
pero puedo ser cualquier expresión booleana x, y, z, etcétera.
Esto es igual a más esta expresión booleana que yo he puesto.
Y que a por a barra más cualquier expresión que yo
decida poner aquí es igual a por esta expresión.
Las, las propiedades siete y ocho son muy importantes, las vamos a utilizar mucho.
De hecho la ocho simplemente una generalización de las eh,
llamadas leyes de de Morgan que es la propiedad siete.
Y las leyes de de Morgan dicen.
Uno, que es lo mismo sumar dos variables y hallar
su inverso que hallar el inverso de cada una de las variables y multiplicarlas.
Y la ley, la, la segunda ley de de Morgan dice que es lo mismo multiplicar
dos variables e invertirlas que invertir cada una de las variables y hacer la suma.
Y esto eh,
no solo es válido para dos variables sino para cualquier número de variables.
Dice a, bueno de hecho es, es esta generalización.
La suma de n variables invertidas lo mismo que el producto de estas n
variables invertidas.
Y el producto de n variables invertidos es lo mismo que la suma de las n
variables invertidas.
Bueno pues estas son las propiedades que vamos a utilizar
mayoritariamente para simplificar circuitos digitales.
Elena ValderramaProfessor
Jean-Pierre DeschampsProfessor
Lluis TerésProfessor
Merce RullanProfesoraTitular
Joaquín Saiz AlcaineIngeniero Informático
David BañeresProfesor Agregado
Juan Antonio MartínezCollaborator
