Lección L2.2 (1/2) Álgebra de Boole

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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona

Sistemas Digitales: De las puertas lógicas al procesador

157 calificaciones

Universitat Autònoma de Barcelona

Sistemas Digitales: De las puertas lógicas al procesador

157 calificaciones

En este curso aprenderemos los fundamentos del diseño de los circuitos digitales actuales, siguiendo una orientación eminentemente práctica. A diferencia de otros cursos más "clásicos" de Circuitos Digitales, nuestro interés se centrará más en el Sistema que en la Electrónica que lo sustenta. Este enfoque nos permitirá sentar las bases del diseño de Sistemas Digitales complejos. Se trata de un curso muy adecuado para estudiantes de primeros cursos de carreras de Ingenierías cercanas a las TIC (Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones), y para todas aquellas personas que deseen introducirse en el mundo de los Sistemas Digitales. Por otra parte, este primer curso de Sistemas Digitales es un paso obligado para aquellas personas que deseen posteriormente profundizar en temas como el hardware de computadores y/o los circuitos integrados de aplicación específica, con todas las aplicaciones que ello implica (robótica, biónica, control industrial, etc.). Al acabar el curso serás capaz de: * Diseñar Sistemas Digitales de complejidad media. * Comprender la descripción de Sistemas Digitales mediante lenguajes de alto nivel como VHDL. * Comprender el funcionamiento de los computadores a su nivel más básico (lenguaje máquina), así como su materialización e interpretación a través de sistemas digitales algorítmicos. ACLARACIONES * Puedes realizar el curso de manera gratuita. Con ello puedes acceder a todo los contenidos (vídeos, lecturas, cuestionarios, foros). Sin embargo, no permite la opción de obtener un certificado. * Obtener el certificado implica cumplir una serie de requisitos, entre los cuales, abonar el coste asociado.

De la lección

Circuitos Combinacionales (I)

<b><font size=4 color=#B22222><b>Clicka en "v Más" para leer cuales son los objetivos de este módulo</b></font> </b><br/><br/><b>TEMA 2:</b><br/>En este módulo estudiaremos los circuitos combinacionales. Lee el "Índice de las lecciones" para más información. <br/><b><i>Para resolver los ejercicios de este módulo necesitarás utilizar VerilUOC_Desktop. El apartado VerilUOC_Desktop de esta misma semana (tema-semana 2) contiene unos vídeos explicativos, una wiki y unas FAQs que te ayudarán a trabajra con estas herramientas</b></i>.

Lección L2.2 (1/2) Álgebra de Boole11:25

Lección L2.2. (2/2) Álgebra de Boole10:15

Conoce a los instructores

Elena Valderrama
Professor
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
Jean-Pierre Deschamps
Professor
Lluis Terés
Professor
Centro Nacional de Microelectrónica del CSIC
Merce Rullan
ProfesoraTitular
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
Joaquín Saiz Alcaine
Ingeniero Informático
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
David Bañeres
Profesor Agregado
Estudios de Informática, Multimedia y Telecomunicación. UOC.
Juan Antonio Martínez
Collaborator
APSI - UAB

El segundo tema de la segunda semana lo vamos a dedicar al álgebra de Boole.

Un álgebra de Boole es un conjunto finito de elementos sobre los cuales se

han definido dos operaciones, la operación suma y

la operación producto que cumplen cinco postulados que veremos mas adelante.

En el caso concreto de que el conjunto de elementos finitos se

limite a los valores cero y uno, hablamos de un álgebra de computación.

Y este es el tipo de álgebra que vamos a aprovechar para la síntesis de

sistemas digitales.

Los cinco postulados son los siguientes.

El primero dice que cuando operamos, cuando hacemos sumas o

productos con elementos pertenecientes al conjunto cero uno,

el resultado siempre pertenece a este conjunto cero uno.

El postulado dos nos dice que existe un elemento neutro para la suma que es el

cero tal que cualquier elemento al sumarle cero permanece igual.

Y que existe un elemento neutro para el producto que es el uno tal que al

multiplicar cualquier elemento por uno nos sigue dando el mismo elemento.

El tercer postulado nos dice que para cualquier elemento del conjunto de

cero y uno existe lo que llamaremos el elemento inverso que

representaremos por esta a barra.

Tal que al sumar cualquier elemento con su

elemento inverso nos da el elemento neutro del producto.

A más a barra siempre da uno.

Y al multiplicarlos nos da el elemento neutro de la suma.

A por a barra es cero.

Cuarto postulado, las operaciones con conmutativas y

el quinto postulado nos dice que las operaciones son distributivas.

Que a multiplicado por b más c es lo mismo que a por b más a por c.

A esto estamos acostumbrados.

Pero, también nos dice que a más el producto de b por c

es lo mismo que a más b por a más c.

Estos son los cinco postulados que definen el álgebra de Boole.

La única manera de definir estas operaciones suma y

producto que aquí diríamos suma o lógica y producto lógico para, para,

para ser más preciso, de forma que se cumplan los cinco postulados es esta.

Esta es la única manera de construirlas.

Y si os fijáis esta definición coincide exactamente con la

definición de la puerta AND.

Y esta definición de la suma coincide exactamente con

la definición de la puerta OR.

De manera que lo que estamos diciendo es que si yo cojo dos elementos,

a y b del álgebra de Boole y le voy dando distintos valores dentro

del conjunto cero uno y calculo a más b, los valores que voy a ir obteniendo

van a ser exactamente los mismos que si yo cojo una puerta OR con dos entradas

y le voy dando los distintos valores posibles cero y uno a las entradas,

los valores que obtendré aquí que serán valores de tensión son,

los mismos que los que obtendré al hacer la operación matemática.

Y esto es importante porque si

es cierto que el álgebra de Boole cumple esta propiedad,

por ejemplo, y hay una correlación directa entre operaciones suma lógica,

producto lógico y las puertas AND y OR quiere decir que si yo,

construyo un circuito en el que sumo b

más c y esto lo multiplico por a,

yo construyo un segundo circuito donde hago

el producto de a por b y el producto de a por c.

Quiere decir lo entro a puertas lógicas AND y hago la suma.

Si el álgebra de Boole me dice que estas dos expresiones son iguales lo que me

está diciendo es que este circuito también se comporta exactamente igual que este.

Que estos dos circuitos son equivalentes.

Y la diferencia es que este circuito tiene menos puertas que este.

Es decir, vamos a utilizar el álgebra de

Boole para simplificar nuestros circuitos de conmutación.

Vamos a ver algunas propiedades del álgebra de

Boole que nos van a ser útiles para simplificar los, los circuitos digitales.

La primera propiedad dice simplemente que el elemento inverso a cero es el uno y

que el elemento inverso del uno es al cero.

Esto si recordamos es exactamente lo que hacía la

puerta inversora que cuando entraba un cero nos sacaba un uno.

Y viceversa.

De forma que con esto you podemos completar la equivalencia entre las

operaciones definidas en el álgebra de Boole y las puertas lógicas que vimos.

Una suma booleana, una suma lógica la puedo implementar con una puerta OR.

El producto lógico lo puedo implementar con una puerta AND.

Y dado un elemento hallar su inverso consiste en

pasarlo simplemente por un inversor.

La segunda propiedad es la ley de idempotencia y nos dice que si sumamos

una variable consigo mismo o multiplicamos una variable por sí misma nos queda el,

el resultado nos, no, no nos cambia a más es igual a a y a por es igual a a.

A ver, todas estas propiedades pueden demostrarse utilizando única y

exclusivamente los postulados que hemos visto anteriormente.

E incluso como que a solo puede tomar los valores cero y

uno podíamos demostrarlas de una manera exhaustiva, ¿no?

Diciendo simplemente a ver yo you he definido la operación suma.

Si la a es cero y le aplico la definición de suma que he definido antes,

a más a me da cero y si la a es uno a más a, perdón, me da también uno.

Por lo tanto está claro que para todo valor posible de a,

para todo a perteneciente a cero uno a es igual a a más a.

De todas maneras, a título de ejercicio vamos a hacer

una demostración formal de que a más a es igual a.

Aquí tenemos los postulados.

Y yo lo que quiero demostrar es esto.

Lo que voy a hacer es voy a coger la variable a y decir que en

función del postulado tres, perdón del postulado dos, esto lo

puedo escribir como a más cero porque el cero es el elemento neutro de la suma.

En función del postulado tres esto lo puedo escribir como a más a por a barra.

Porque a por a barra se que es cero.

Y en función de la distributividad, el postulado cinco esto lo

puedo escribir como a más a multiplicado por a más a barra.

Pero a más a barra, el postulado tres,

me está diciendo que toma el valor uno por lo tanto esto es igual a a más a por uno.

Y puesto que el uno es el elemento neutro del

producto voy a seguir por aquí en función del postulado dos.

Puedo decir que esto es igual a a más a y

you tengo demostrado que a es igual a a más a.

Os dejo como ejercicio que demostréis esta segunda parte de,

de la propiedad siguiendo exactamente estos pasos.

Y de todas maneras un poco más adelante os resuelvo el problema.

Bueno la resolución es muy sencilla y

consiste en hacer algo muy parecido a lo que you hemos hecho anteriormente.

dice, voy a coger a y voy a escribirla como a por a más a barra.

Porque en el fondo a más a barra se que es uno en función del postulado tres.

Y el uno es el elemento neutro del producto.

Osea que a por uno es a.

Esto en función de la distributividad, el postulado cinco,

lo puedo escribir como a por a más a por a barra.

Y otra vez a por a barra se que es cero es función del postulado tres.

Por lo tanto esto es igual a a por a más cero.

Puesto que el cero es el elemento neutro de la suma que,

cosa que me dice el postulado dos.

Esto lo puedo escribir como a más a y you queda demostrado que a es igual a a por a.

Vamos por más propiedades.

La ley de involución dice que si yo cojo una variable y

la invierto dos veces es lo mismo que si lo dejo igual.

La cuarta propiedad es que las dos operaciones son asociativas.

La quinta propiedad es la ley de absorción que dice en general que a más

a por cualquier expresión booleana que yo ponga aquí esto siempre es igual a a.

De alguna manera, bueno y, y es fácil de demostrar, ¿no?

Porque yo aquí podría sacar a factor común de a,

perdón de uno más toda esta expresión booleana y se que

uno más cualquier cosa es igual a uno.

Y lo mismo me dice para, para, para el producto, ¿no?

Que a por a más cualquier expresión booleana que yo ponga, esto es igual a a.

Sexta propiedad que no tiene nombre dice que a más a barra por otra vez cualquier

expresión booleana, aquí lo tengo significado por un, por una sola variable,

pero puedo ser cualquier expresión booleana x, y, z, etcétera.

Esto es igual a más esta expresión booleana que yo he puesto.

Y que a por a barra más cualquier expresión que yo

decida poner aquí es igual a por esta expresión.

Las, las propiedades siete y ocho son muy importantes, las vamos a utilizar mucho.

De hecho la ocho simplemente una generalización de las eh,

llamadas leyes de de Morgan que es la propiedad siete.

Y las leyes de de Morgan dicen.

Uno, que es lo mismo sumar dos variables y hallar

su inverso que hallar el inverso de cada una de las variables y multiplicarlas.

Y la ley, la, la segunda ley de de Morgan dice que es lo mismo multiplicar

dos variables e invertirlas que invertir cada una de las variables y hacer la suma.

Y esto eh,

no solo es válido para dos variables sino para cualquier número de variables.

Dice a, bueno de hecho es, es esta generalización.

La suma de n variables invertidas lo mismo que el producto de estas n

variables invertidas.

Y el producto de n variables invertidos es lo mismo que la suma de las n

variables invertidas.

Bueno pues estas son las propiedades que vamos a utilizar

mayoritariamente para simplificar circuitos digitales.

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