En este curso aprenderemos los fundamentos del diseño de los circuitos digitales actuales, siguiendo una orientación eminentemente práctica. A diferencia de otros cursos más "clásicos" de Circuitos Digitales, nuestro interés se centrará más en el Sistema que en la Electrónica que lo sustenta. Este enfoque nos permitirá sentar las bases del diseño de Sistemas Digitales complejos. Se trata de un curso muy adecuado para estudiantes de primeros cursos de carreras de Ingenierías cercanas a las TIC (Tecnologías de la Información y de las Comunicaciones), y para todas aquellas personas que deseen introducirse en el mundo de los Sistemas Digitales. Por otra parte, este primer curso de Sistemas Digitales es un paso obligado para aquellas personas que deseen posteriormente profundizar en temas como el hardware de computadores y/o los circuitos integrados de aplicación específica, con todas las aplicaciones que ello implica (robótica, biónica, control industrial, etc.). Al acabar el curso serás capaz de: * Diseñar Sistemas Digitales de complejidad media. * Comprender la descripción de Sistemas Digitales mediante lenguajes de alto nivel como VHDL. * Comprender el funcionamiento de los computadores a su nivel más básico (lenguaje máquina), así como su materialización e interpretación a través de sistemas digitales algorítmicos. ACLARACIONES * Puedes realizar el curso de manera gratuita. Con ello puedes acceder a todo los contenidos (vídeos, lecturas, cuestionarios, foros). Sin embargo, no permite la opción de obtener un certificado. * Obtener el certificado implica cumplir una serie de requisitos, entre los cuales, abonar el coste asociado.
Lección L2.3. (2/3) NAND, NOR, XOR, NXOR, TRI-STATE
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Del curso dictado por Universitat Autònoma de Barcelona
Sistemas Digitales: De las puertas lógicas al procesador
150 calificaciones
Universitat Autònoma de Barcelona
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De la lección
Circuitos Combinacionales (I)
<b><font size=4 color=#B22222><b>Clicka en "v Más" para leer cuales son los objetivos de este módulo</b></font> </b><br/><br/><b>TEMA 2:</b><br/>En este módulo estudiaremos los circuitos combinacionales. Lee el "Índice de las lecciones" para más información. <br/><b><i>Para resolver los ejercicios de este módulo necesitarás utilizar VerilUOC_Desktop. El apartado VerilUOC_Desktop de esta misma semana (tema-semana 2) contiene unos vídeos explicativos, una wiki y unas FAQs que te ayudarán a trabajra con estas herramientas</b></i>.
Conoce a los instructores
Elena ValderramaProfessor
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
Jean-Pierre DeschampsProfessor
Lluis TerésProfessor
Centro Nacional de Microelectrónica del CSIC
Merce RullanProfesoraTitular
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
Joaquín Saiz AlcaineIngeniero Informático
Departamento de Microelectrónica y Sistemas Electrónicos. UAB.
David BañeresProfesor Agregado
Estudios de Informática, Multimedia y Telecomunicación. UOC.
Juan Antonio MartínezCollaborator
APSI - UAB
Vamos a ver dos nuevas puertas
lógicas la XOR y la NXOR.
La XOR es una puerta cuyo símbolo veis aquí representado.
Funciona de la siguiente manera.
Cuando las dos entradas toman valores distintos la salida es
uno y cuando las dos entradas toman valores iguales la salida es cero.
A nivel de tabla de verdad, eh, lo tenemos aquí.
Dice cuando las entradas son cero uno o uno cero, es decir,
cuando son distintas entre sí la salida es uno y en caso contrario la salida es cero.
A nivel de operador booleano la XOR se representa por un símbolo como este,
que toma indistintamente los valores de XOR o de O exclusiva,
esto son expresiones sinónimas que utilizaremos indistintamente una u otra.
De manera que a O exclusiva b, esto lo podríamos obtener directamente de la tabla
de verdad, es igual al producto a b barra más a barra b.
La siguiente puerta lógica, la NXOR es similar a esta primera,
pero como veis, este pequeño círculo de aquí nos está,
nos está indicando que funciona justo al contrario.
Es decir, cuando las entradas son iguales,
cuando toman los valores cero cero o uno uno la salida es uno.
Y cuando las entradas son distintas la salida es cero.
Fijaros que esta salida es exactamente la anterior
cambiando ceros por unos y unos por ceros.
No existe un operador para, un operador lógico para esta operación,
simplemente se representa como a O exclusiva b negada y otra vez desde la
tabla de verdad podríamos sacar,
obtener su expresión lógica que es a barra b barra más a por b.
A diferencia de lo que pasaba con las puertas NAND y NOR,
las puertas XOR y NXOR no son módulos universales.
Es decir,
utilizando solo puertas XOR no podemos construir cualquier función booleana.
Y lo mismo ocurre con las puertas NXOR.
La función XOR es asociativa, esto quiere decir que a O exclusiva
b O exclusiva c es igual a a O exclusiva
paréntesis b O exclusiva c y es igual a a O
exclusiva b O exclusiva c sin necesidad de ningún paréntesis.
A nivel de circuitos esto quiere decir que este circuito que vemos aquí que
implementa esta primera expresión booleana es equivalente a este segundo circuito que
implementa esta expresión booleana
y es equivalente a una única puerta XOR de tres entradas.
Esto nos permite definir, eh, la función de la puerta XOR de tres
entradas y en general de una puerta XOR de n entradas.
Aquí tenéis la tabla de verdad de una puerta XOR de tres entradas.
Fijaros que tiene una propiedad, eh, muy curiosa y es que esta, eh,
esta puerta toma el valor uno cuando, fijaros,
el número de entradas igual a uno es un número impar.
Aquí tenemos una entrada igual a uno, una entrada igual a uno,
una y aquí tenemos tres entradas igual a uno.
Es decir, en la puerta XOR la salida z toma el valor uno sí solo sí el
número de unos que hay a la entrada es un número impar.
Y además esta propiedad es generalizable, es decir,
para una puerta XOR en general de n entradas también se cumple que su salida
es uno sí solo sí el número de entradas igual a uno es un número impar.
Las puertas NXOR no son asociativas,
pero como una puerta NXOR de n entradas podemos
implementarla con una puerta XOR de n entradas más un inversor,
y como la XOR sí es asociativa, la puerta NXOR se puede implementar
como un conjunto de puertas XOR de dos entradas más una
última puerta NXOR también de dos entradas.
La tabla de verdad de una puerta NXOR es esta que nos aparece aquí en rojo y,
puesto que es la complementaria de, eh, la función XOR podemos decir que en el caso
de una puerta NXOR la salida toma el valor uno sí solo sí el número de entradas,
perdón el número de, eh, unos en las entradas es un número, en este caso par.
Un comentario que vale la pena hacer aquí,
las puertas lógicas NAND y NOR no son asociativas.
Es decir, en este caso no es cierto que una puerta NAND de tres entradas
se pueda implementar con dos puertas NAND de dos entradas como vemos aquí.
¿De acuerdo?
Vamos a ver a continuación algunos ejemplos de, eh,
utilización práctica de las puertas XOR y NXOR,
y vamos a comenzar con un comparador de igualdad, eh.
Dados dos números x e y de cuatro bits x tres, x dos, x uno, x cero,
y tres, y dos, y uno, y cero queremos diseñar un circuito
al que le entren el número x, el número y y nos saque
una salida z que tome el valor uno sí solo sí x e y son iguales.
Bueno, la manera de mirar si los dos números x e y son iguales simplemente
consiste en ir mirando bit a bit que x cero e y cero coincidan,
x uno e y sub uno coincidan, etcétera, como nos muestra este algoritmo, ¿vale?
¿Cómo podemos hacerlo?
Pues recordar que dijimos que las puertas NXOR de
dos entradas toman el valor uno sí solo sí las entradas son iguales.
Es decir, en general si las entradas son a y b sí solo sí a es igual a b.
Con lo cual, lo que podemos hacer es, eh,
dibujar cuatro puertas NXOR ir entrando a la primera x0 e y0,
la primera pareja a la segunda x1 e y1, etcétera.
De forma que si x cero coincide con y sub cero aquí tendremos un uno.
Si x uno coincide con y sub uno aquí tendremos un uno.
Si x dos e y sub dos coinciden tendremos un uno y lo mismo con x tres e y sub tres.
Si lo que queremos comprobar es que x cero coincide con y cero y x uno coincide con
y uno, etcétera, etcétera, lo que podemos hacer es poner aquí una puerta AND
que sabéis que la salida es uno sí solo sí todas sus entradas son uno.
Es decir, sí solo sí se cumple que estos dos bits son iguales,
estos dos son iguales, estos son iguales y estos también son iguales, eh.
Con lo cual aquí you tenemos un comparador de igualdad para un número de cuatro bits.
Y además fijaros que es perfectamente generalizable porque si los dos números
x e y tuviesen cinco, eh, perdón, sí cinco bits pues
simplemente yo pondría aquí una nueva puerta NXOR al que le
entrara el x sub cuatro e y sub cuatro y esto entraría también a la puerta NAND.
Y si yo tuviese, en general, eh, números de n bit pues
aquí me entraría x n menos uno y n menos uno y su
salida entraría a una puerta NAND.
Como segundo ejemplo vamos a ver cómo utilizar XOR para
generar los llamados bits de paridad.
Y para esto evidentemente,
lo primero que necesitamos saber es qué es esto de los bits de paridad.
En comunicaciones un problema muy frecuente es el siguiente,
tenemos un emisor que me está iniciando una información que recibe un cierto
receptor y el problema es que es posible que entre medio se me introduzcan fallos.
De manera que el receptor reciba una información que no sea la que el
emisor le quería enviar.
Existen distintos protocolos para intentar detectar estos fallos y uno de ellos,
el más sencillo, es el llamado bit de paridad que consiste en lo siguiente.
Dice vamos a imaginarnos que el emisor quiere emitir la información uno uno
cero cero y hacérsela llegar al receptor.
Pues lo que hace el emisor es mirar cuántos unos
tiene el mensaje original y añadirle un cero o un uno de manera
que el mensaje global que envíe el emisor siempre tenga un número par de unos.
Esto sería un
ejemplo de bit de paridad impar, eh perdón de bit de paridad par.
Evidentemente podríamos definir protocolos de paridad impar.
¿Entendido?
Es decir, en este caso el emisor vería que el mensaje original que quiere
enviar tiene dos unos, que es un número par de unos, por lo tanto aquí le añadiría
un cero y sería esto el cero uno uno cero cero lo que enviaría al receptor.
El receptor al recibir el mensaje lo primero que hace es contar el número de
unos y ver si es un número par.
Y sabe que si el número de unos que recibe es impar es que el mensaje es erróneo.
Si por ejemplo el emisor quisiese enviar un uno uno uno cero pues
lo que haría es contar el número de unos, son tres.
Es un número impar de unos, por lo tanto le añade un uno más para que globalmente
el mensaje que envíe tenga cuatro unos, un número par de unos.
Pues el objetivo sería diseñar un circuito que dado una información,
pues en este caso la hemos puesto de ocho bits pero se puede generalizar a cualquier
número de bits nos calcule, nos implemente directamente el bit que hemos
de añadir antes de enviar el mensaje al bit de paridad que hemos dicho.
Y esto es muy sencillo porque recordar que hemos dicho que una puerta OR
exclusiva lo que hace es generar un valor de unos sí solo sí el
número de unos en sus entradas es un número impar.
Perfecto dice, pues esto es lo que queremos.
Queremos una puerta OR exclusiva que me va a generar el bit de paridad
donde cómo entrada tenga estas ocho entradas X0, X1, X2 hasta X7.
Y you está, you tenemos esto you sería el circuito generador del bit de paridad par.
El único problema es que en general en la biblioteca de celdas no
vamos a tener puertas o XOR de ocho entrada o en general de n entradas, ¿no?
De manera que el problema sería cómo construir esta puerta XOR a través
de o mediante puertas XOR de dos entradas.
Y esto también es muy sencillo porque lo que queremos conseguir la OR
exclusiva de X7, X6, X5 hasta X0 y sabemos que,
que esta operación es asociativa,
es decir que yo puedo poner paréntesis aquí y
decir X6,
X7 esto es una puerta XOR a la cual entran X6,
X7, esto es una puerta a la que entran X4, X5, X2,
X3, X1, X0 y además puesto que es asociativa yo
puedo poner paréntesis aquí y aquí y decir que
este paréntesis lo implemento con esta
puerta a la que entran X7 el resultado de X6 o XOR X7
que es este punto y el resultado de X4 OR
exclusiva X5 que ese de aquí y por la misma razón la función global,
la puerta que yo estoy tratando de construir consistirá en la
XOR de estas dos salidas, es decir que siempre
con un árbol de puertas XOR de dos entradas podemos
construir una XOR de cualquier número de entradas y por lo tanto podemos
construir un circuito generador de bit de paridad par.
Y como último ejemplo vamos a ver cómo utilizando puertas XOR podemos simplificar
un circuito que you diseñamos en su día capaz de sumar números de cuatro bits.
Vimos en lecciones anteriores que este sumador de números de cuatro bits de podía
construir utilizando cuatro módulos muy sencillos que llamábamos módulos sumadores
de un bit y que les entraban el bit X sub i e Y sub i de los dos números a sumar,
un acarreo nos generaba la suma y nos generaba un acarreo de salida.
Vimos este circuito básico, el sumador de un bit se podía
implementar con estas puertas lógicas y que las ecuaciones booleanas
de C sub 0 y Z sub i eran estas que veis aquí.
Pues vamos a manipular un poco algebraicamente estas operaciones.
Aquí yo puedo sacar primero factor común del C sub i de estas
dos expresiones y voy a sacar C
sub i barra factor común de estas,
de estos otros dos términos producto.
Esto por definición es la OR exclusiva de x e y,
y esto por definición es la OR
exclusiva negada de x e y.
Y fijaros que aquí tengo otra
vez una variable multiplicado por algo negado más
esta primera variable negada multiplicado por lo que teníamos antes pero sin negar,
es decir esto es otra vez la definición de la OR
exclusiva de C sub i con x OR exclusiva y, ¿vale?
Primer resultado importante.
Y ahora vamos a manipular C0,
C sub 0 para ver cómo podemos simplificarlo.
El C sub 0 voy a hacer lo siguiente.
Primero a este primer término lo voy a multiplicar por x más x barra,
esto lo puedo hacer porque sabes que x más x barra es uno,
multiplicar por uno es dejar el término igual y el segundo término lo
voy a multiplicar por y más y barra pues por la misma razón, ¿de acuerdo?
Bien, voy a hacer estas operaciones.
C sub i x más y C sub i x barra más x c
sub i y más x c sub i y barra más xy.
Recordar que en general a más a por b es igual a a,
es lo que llamamos la ley de absorción.
Y aquí tenemos un caso en el cual tenemos x por y,
y aquí fijaros x por y por C sub i.
Este término queda absorbido por el xy y exactamente lo mismo
tenemos con este otro término xy por C sub i que queda absorbido por el xy.
Y además lo que puedo hacer ahora
es de estos dos términos sacar factor común C sub i con
lo cual tendría C sub i por x barra
y más xy barra más xy,
y esto de nuevo la R exclusiva
de x e y.
¿Vale?
De manera que tenemos que el C0 es C sub i por x OR
exclusiva y más x por y y además anteriormente habíamos definido,
habíamos calculado que Z es igual a C sub i OR exclusiva x OR exclusiva Y.
Dice pues ahora vamos a implementar el circuito utilizando estas dos ecuaciones.
Dice fijaros, por un lado yo tendría las
entradas x e y, aquí tendría el x OR
exclusiva y, y aquí voy a hacer la OR
exclusiva con C sub i de manera que esto es Z,
es C sub i OR exclusiva x OR exclusiva y.
Y para calcular C0 yo he de coger x OR exclusiva y que es este punto de aquí,
lo he de multiplicar por C sub i que lo tengo aquí y
luego he de multiplicar x por y,
x por y,
y sumar estos dos resultados,
esto será C sub out.
Es decir he conseguido implementar estas
dos funciones utilizando uno, dos, tres, cuarto, cinco puertas lógicas en total.
Aquí tenéis la comparación,
la implementación utilizando las puertas XOR y la implementación
que habíamos hecho originalmente que tenía pues tres y cuatro, siete, ocho,
nueve puertas lógicas.
Evidentemente utilizando puertas XOR se llega a un circuito mucho más sencillo.
Y you si queréis verlo todo completo, dice pues el sumador para números de cuatro
bits será coger este módulo, repetirlo uno, dos, tres,
cuatro veces a la primera, al primer acarreo de entrada C sub i,
este C sub i que normalmente será un valor igual a cero
y aquí irán entrando X0 Y0, X1 Y1,
este módulo calculará Z sub 0 y calculará el acarreo Z
sub uno que entrará al siguiente, al siguiente módulo.
Aquí calcularemos Z sub uno, aquí entrarán X2 Y2,
calcularemos Z sub dos y conectaremos los acarreos,
aquí entrarán X3 Y3, se calculará Z sub tres y
el último resultado será el C sub out.
Fijaros que sencillo nos ha quedado el sumador de números de cuatro bits.
Bien, pues esto es todo en cuanto a ejemplos de uso de las puertas XOR y NXOR.
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