Bonjour et bienvenue au cours de thermodynamique. Je m'appelle Miliatis Papalexandris, et je suis professeur à l'Université catholique de Louvain. Mes domaines d'activité sont la mécanique des fluides, et plus précisément, les écoulement diphasiques ainsi que les écoulements réactionnels. Dans cette partie du cours nous présenterons une introduction à la thermodynamique des milieux continus. La structure de notre présentation est la suivante. D'abord nous présenterons les hypothèses fondamentales de la thermodynamique des milieux continus, ensuite nous étudierons la notion d'état thermodynamique local, ainsi que la notion de fonctions d'état extensives réduites, autrement dit de densités. Finalement, nous dériverons la forme générale d'équation de continuité pour une observable extensive. Dorénavant nous sommes intéressés aux processus de systèmes thermodynamiques et plus précisément aux processus hors équilibre. Une autre expression pour ce type de processus est processus irréversibles. Lors d'un processus hors équilibre le comportement d'un système thermodynamique n'est plus homogène. Ceci signifie que les propriétés du système sont susceptibles de changer dans l'espace et dans le temps. Pour cette raison, il est convenable de traiter un système thermodynamique comme un milieu continu. Nous voyons dans cette figure la représentation d'un milieu continu. Ceci est un milieu macroscopique classique qui est constitué d'un très grand nombre de particules microscopiques élémentaires, à temps t, il occupait le volume noté par, V (t), et la surface de l'enceinte est notée par, partielle V (t). Lors d'un processus hors équilibre, le milieu continu peut être déplacé et peut être déformé. Après un instant, delta t, il occupera un autre volume, noté par, V (t + delta t), et il y aura une autre surface de l'enceinte notée par, partielle V (t + delta t). Pour un milieu continu nous définissons les variables d'état comme nous l'avons déjà fait pour les variables d'état de systèmes thermodynamiques dans un état d'équilibre. Alors, pour ces systèmes nous définissons par exemple, la variable d'état, Xi, qui est fonction du temps. Nous écrivons alors, Xi (t). Après un instant, delta t, la valeur de cette variable sera changée, elle est notée par, Xi (t + delta t). Mais étant donné que lors d'un processus hors équilibre le comportement d'un milieu continu n'est plus homogène, l'étude de ce type de processus ne peut pas être basée, seulement aux variables d'état. Alors les paramètres caractéristiques des milieux continus sont nécessairement des champs, c'est-à -dire fonction de la position, x, et du temps, t. Pour cette raison, il est convenable d'introduire la notion de système thermodynamique local. Nous considérons un point de l'espace occupé par le milieu continu au temps, t. Ce point ainsi que son voisinage immédiat, constitue un système thermodynamique local. Ce système local est assez grand pour contenir un grand nombre de particules élémentaires afin d'être insensible aux fluctuations statistiques, mais il est suffisamment petit pour pouvoir être considéré comme infinitésimal. Alors un système thermodynamique local peut être décrit comme un point matériel. Selon ce point de vue, un milieu continu peut être considéré comme l'ensemble des points matériels qui l'occupent. Pour un système thermodynamique local, nous définissons des variables d'état par analogie des variables d'état des milieux continus. Mais maintenant ces nouvelles variables d'état, c'est-à -dire les variables d'état d'un système local, sont nécessairement des champs. Par exemple, nous définissons l'analogue de la variable d'état, Xi, et cet analogue est le champ, xi (x, t). Après un instant, delta t, ce point matériel, ce système thermodynamique local, sera déplacé, et son déplacement est noté par, delta x. De plus, après un instant, delta t, la valeur du champ, xi, sera changée et elle est notée par, xi (x + delta x, t + delta t). Etant donné qu'un milieu continu peut être considéré comme l'ensemble des points matériels qui l'occupent, alors, la valeur de la variable d'état, Xi est donnée comme l'intégrale sur le volume occupé par le milieu du champ, xi. Nous disons alors que le champ, xi, constitue la densité de la variable d'état, Xi. De plus, pour un système thermodynamique local, nous pouvons définir des variables d'état cinématiques, par exemple, la vitesse d'un point matériel est définie comme la limite, delta t, tendant vers zéro, du déplacement, delta x, du point matériel, divisé par delta t. Maintenant nous donnerons la définition des états thermodynamiques. Au niveau global, le premier principe de thermodynamique requiert l'existence d'une fonction d'état que nous appelons quantité de mouvement, et qui est notée par, P (t). D'ailleurs le second principe de thermodynamique requiert l'existence d'une fonction d'état, que nous appelons entropie, et qui est notée par, S (t). L'état thermodynamique d'un système est complètement déterminé par la connaissance de la quantité de mouvement, et d'entropie, et par la connaissance d'un ensemble des N variables d'état extensives, X1, X2, Xn. Il est important de mentionner que ces variables sont globales, c'est-à -dire indépendantes des coordonnées spatiales. Néanmoins elles sont dépendantes du temps. La définition de l'état thermodynamique d'un système local est réalisée de manière tout à fait analogue. L'état thermodynamique local d'un système est caractérisée par, N + 2 champs. Ces champs sont la densité d'entropie, et des quantités de mouvement, et la densité des, N autres variables d'état. Voilà la relation entre l'entropie et sa densité. L'entropie d'un milieu continu est donnée comme l'intégrale sur le volume occupé par le milieu de la densité d'entropie. De plus, la quantité de mouvement d'un milieu continu est donnée comme l'intégrale sur le volume occupé par le milieu de la densité de quantité de mouvement. Et nous avons des relations similaires entre les, N autres variables d'état du milieu continu et leurs densités. Il est important de mentionner que les densités sont des variables extensives réduites. C'est-à -dire elles sont dépendantes de coordonnées spatiales et du temps. Ces densités sont appelées également, champs d'état thermodynamique. Nous considérons maintenant une observable physique extensive, F. Cette observable extensive est fonction des, N + 2 variables d'état du milieu continu. Au niveau local nous avons une situation similaire. Nous considérons une observable extensive réduite, f, et cette observable est fonction des, N + 2 densités des variables d'état, c'est-à -dire, elle est fonction des, N + 2 champs d'état thermodynamiques. Et voilà la relation entre l'observable extensive et l'observable extensive réduite. L'observable extensive est donnée comme l'intégrale sur le volume occupé par le milieu de l'observable extensive réduite. Ceci signifie que l'observable extensive réduite, f, est la densité d'observable extensive, F. Notre objectif est de dériver l'équation de continuité pour l'observable extensive, F (t) ; à cette fin, nous considérons un milieu continu occupé par un volume, V (t), partielle V (t), note la surface de l'enceinte du système, v (x, t), note le champ de vitesse de la matière dans le volume occupé par le milieu, et dS, représente le vecteur d'un élément infinitésimal de la surface de l'enceinte. D'abord, nous élaborons, sur le vecteur d'un élément infinitésimal de S. Nous considérons un milieu continu, ce milieu à un volume noté par, V (t) ; la surface de l'enceinte est noté par, partielle V (t). Sur cette surface nous considérons un élément infinitésimal. L'aire de cet élément infinitésimal est, d S. De plus, nous considérons un vecteur unitaire normal à cet élément infinitésimal. Ce vecteur est noté par, n. Le vecteur, d S, est un vecteur qui est parallèle au vecteur unitaire. Alors, c'est un vecteur normal à l'élément infinitésimal, et son amplitude est égale à l'aire de l'élément infinitésimal. Alors, cette relation sert comme la définition du vecteur de l'élément infinitésimal. Nous considérons la relation entre une observable extensive et sa densité. Vu de cette relation, la variation d'une observable extensive, F, est donnée par cette relation. Selon cette relation, la variation, delta F, d'une observable, F, est la somme de de deux contributions. La première contribution est de la variation temporelle de la densité au sein du volume. Elle s'exprime par l'intégrale sur le volume occupé par le milieu de la variation delta f de la densité. La deuxième contribution est de la variation temporelle du volume infinitésimal local. Elle s'exprime par l'intégrale sur la surface de l'enceinte de la densité f multipliée par la variation temporelle delta dV. D'ailleurs, concernant la variation temporelle delta dV, elle est donnée comme le produit entre deux vecteurs. Le premier vecteur est dS, et le deuxième vecteur est delta x. Delta x représente le déplacement du volume infinitésimal local. Maintenant nous pouvons obtenir une expression pour le taux de variation d'observable F si nous divisons chaque terme de cette équation par delta t et si nous prenons la limite delta t tenant en 0 Nous remarquons que le taux de variation d'une observable extensive est donné comme la limite delta t tenant en 0 de la variation delta f divisée par delta t. Le taux de variation d'une observable extensive, est noté par f dot. De plus, la dérivée temporelle de la densité par rapport au temps est donnée par la limite delta t tenant en 0, de la variation de la densité delta f divisée par delta t. Finalement, la vitesse de volume infinitésimal local est donnée comme la limite delta t tenant en 0, du déplacement du volume infinitésimal divisé par delta t. Maintenant nous divisons chaque terme de cette équation par delta t, et nous prenons la limite delta t tenant en 0 A l'aide des dernières définitions, nous arrivons à cette expression pour le taux de variation d'une observable extensive. Ce résultat est connu sous le nom, théorème de transport de Reynolds. Selon ce résultat, le taux de variation d'une observable extensive, f dot, est la somme de deux contributions. La première contribution s'exprime par l'intégrale sur le volume occupé par le milieu, de la dérivée partielle de la densité par rapport au temps. La deuxième contribution s'exprime par l'intégrale sur la surface de l'enceinte du produit entre la densité f et le champs de vitesse. Ces termes constituent un courant convectif pour l'observable F. Maintenant nous considérons les causes physiques du taux de variation d'une observable extensive F. Il y a des causes physiques. La première cause est l'interaction du milieu continu avec son extérieur. Elle est décrite par le champs densité du courant noté par jf. La deuxième cause est la production ou destruction d'observable extensive F au sein du milieu. Elle est décrite par le champs densité de source pi f. Alors, le taux de variation d'observable extensive f dot est la somme de deux contributions. La première contribution est l'opposé d'intégrale sur la surface de l'enceinte de la densité du courant, et la deuxième contribution est l'intégrale sur le volume occupé par le milieu de la densité de source. Nous remarquons que le signe négatif devant ces terme est introduit pour respecter la convention de signes que nous avons adoptée. Maintenant nous avons deux expressions équivalentes pour le taux de variation d'une observable extensive. Cette expression inclut des intégrales sur la surface de l'enceinte. Ces intégrales peuvent être transformées en intégrales sur le volume occupé par le milieu à l'aide du théorème de la divergence. Et voilà le théorème de la divergence pour une fonction vectorielle g. Selon ce théorème, l'intégrale sur la surface de l'enceinte de la fonction vectorielle g est égale à l'intégrale sur le volume occupé par le milieu, de la divergence de la fonction g. A l'aide de ce théorème de divergence, alors en utilisant ce théorème, les deux relations pour le taux de variation f dot sont mises sur cette forme ainsi que sur cette forme. Maintenant nous pouvons considérer l'égalité de ces deux expressions. Par identification des deux dernières relations, nous arrivons à cette équation. Mais jusqu'à maintenant nous n'avons introduit aucune contrainte sur le volume occupé par le milieu. Ceci signifie que jusqu'à maintenant le volume occupé par le milieu est tout à fait arbitraire. Mais étant donné que le volume occupé par le milieu V de t est arbitraire, la dernière équation est valable seulement si les fonctions qui sont intégrées sont légales. Nous arrivons alors à cette équation. Nous observons que les termes du côté gauche de cette équation sont la dérivée partielle de la densité f par rapport au temps et un terme de divergence. Nous pouvons manipuler un peu ces deux termes. Nous considérons un point matériel x de coordonnées spatiales x, y et z occupées par le système, et f une densité. Etant donné que la densité est fonction de trois coordonnées spatiales et du temps, la différentielle totale de la densité est donnée par cette expression. maintenant si nous divisons cette expression par dt, nous arrivons à cette équation. Et nous remarquons que ces trois termes du côté droit de cette équation, peuvent être mis sous la forme d'un produit intérieur entre deux vecteurs. Alors, nous pouvons réécrire cette équation sous cette forme. Nous remarquons que ce vecteur est identifié comme la vitesse du point matériel. De plus, ce vecteur est identifié comme le gradient de la densité f. Nous arrivons alors à cette expression qui sert comme la définition de la dérivée matérielle ou dérivée Lagrangienne d'une densité. La dérivée matérielle dite densité f, est représentée par f dot, et elle représente le taux de variation de la densité mesurée par un observateur dans le référentiel du point matériel. En introduisant la définition de la dérivée matérielle d'une densité f, et l'identité mathématique suivante concernant la divergence de produit entre une densité et un vecteur, à la dernière équation, nous arrivons finalement à l'équation de continuité pour l'observable extensive F. Voilà l'équation de continuité pour l'observable extensive F. Jusqu'à maintenant nous avons considéré des observables extensives de caractère scalaire. Nous pouvons répéter ce processus pour dériver l'équation de continuité pour une observable extensive du caractère vectorielle. Pour une observable extensive du caractère vectoriel, le résultat est tout à fait similaire, et nous arriverons à cette relation, qui est l'équation de continuité pour l'observable du caractère vectorielle. Nous remarquons que cette quantité représente la densité de courant pour l'observable extensive et cette quantité est du caractère tensorielle. Dans ce cours, un tenseur est considéré comme une matrice de dimension 3 sur 3, puisque cette matrice est une représentation du sous-groupe de rotation du groupe euclidien. De plus, cette quantité pi f représente la densité de source pour l'observable extensive et elle est du caractère vectorielle. Maintenant, à l'aide de ces deux équations, nous pouvons dériver les équations de continuité pour les variables d'état d'un milieu continu. Ces équations impliquent des champs d'état thermodynamiques. Voilà la liste des champs d'état thermodynamiques d'un milieu continu : nous avons la densité de quantité de mouvement p, la densité d'entropie s, les densités de r substances chimiques, n1, n2, nr, et la densité de charge électrique q. De plus, il y a d'autres champs physiques d'intérêt particulier. Voilà une liste d'autres champs physiques d'intérêt particulier. Nous avons la vitesse v, la densité de masse m, la densité d'énergie totale e, et la densité d'énergie interne u. Ces champs physiques sont fonction de champs d'état thermodynamiques. Nous sommes ainsi arrivés à la fin de cette partie du cours de thermodynamique. Dans la prochaine partie du cours, nous utiliserons la forme générale d'équation de continuité pour une observable extensive, pour dériver les équations de continuité des variables d'état des milieux continus, ainsi que les équations de continuité pour d'autres observables extensives d'intérêt particulier. [AUDIO_VIDE]
