[AUDIO_VIDE] Bonjour et bienvenue à ce MOOC de thermodynamique. Cette leçon est consacrée à l'équilibre thermique et au transport de chaleur. On va considérer un système isolé, constitué de deux sous-systèmes simples qui seront séparés par une paroi diatherme, immobile et imperméable. Dans un premier temps, on va déduire la condition d'équilibre thermique et dans un deuxième temps, on va examiner le transfert thermique. On parle aussi de transport de chaleur. Et on va ensuite en déduire la loi de Fourier, d'abord dans sa formulation discrète, c'est-à -dire pour deux sous-systèmes et on passera ensuite à la limite du continu, c'est-à -dire lorsqu'il y a une infinité de sous-systèmes. On considère donc un système isolé constitué de deux sous-systèmes simples. Le sous-système 1 à gauche et le sous-système 2 à droite. Comme le système est isolé, la puissance thermique P Q et la puissance mécanique P W, exercées par l'extérieur sur le système, sont nulles. Les deux sous-systèmes simples sont séparés par une paroi immobile. Ceci implique que la puissance mécanique exercée par le sous-système 1 sur le sous-système 2, qu'on appelle P W 1 2 est nulle. Et de manière analogue, la puissance mécanique exercée par le sous-système 2 sur le sous-système 1, qu'on appelle P W 2 1 est nulle également. Pour caractériser la thermodynamique de ce système, il faut un type de variable d'état extensive, c'est l'entropie. On a deux sous-systèmes qui sont des systèmes simples, par définition un système simple est caractérisé par une seule variable entropie, il faut donc deux variables entropies, une entropie S 1 qui caractérise le sous-système 1 et une entropie S 2 qui caractérise le sous-système 2. L'énergie interne et la température sont des fonctions d'état. Donc l'énergie interne et la température d'un sous-système vont être les fonctions des variables d'état de ce sous-système, en l'occurrence de l'entropie de ce sous-système. U 1 point c'est T 1 S 1 point. Et d'après le premier principe de la thermodynamique, on sait que la cause de la variation temporelle de l'énergie interne du premier sous-système, c'est la puissance thermique exercée par le deuxième sous-système sur le premier sous-système. C'est P Q 2 1. De manière similaire, U 2 point, c'est T 2 S 2 point. D'après le premier principe, on sait que la cause qui provoque la variation temporelle de l'énergie interne du deuxième sous-système, c'est la puissance thermique exercée par le premier sous-système sur le deuxième sous-système. Qui se note P Q 1 2. L'énergie interne est une fonction d'état. C'est donc une fonction de l'ensemble des variables d'état du système. C'est-à -dire des variables d'état du premier sous-système et du deuxième sous-système. Par conséquent, U est une fonction de S 1 et également de S 2. C'est une fonction d'état extensive, ce qui signifie que l'énergie interne du système U est la somme de l'énergie interne du premier sous-système, U 1, et de l'énergie interne du deuxième sous-système, U 2. On peut prendre la dérivée temporelle de cette expression. On a donc que U point est égal à U 1 point + U 2 point. Compte-tenu du premier principe, on peut réécrire U 1 point comme P Q 2 1 et on peut réécrire U 2 point comme P Q 1 2. De plus, le système est isolé, ce qui signifie que d'après le premier principe, la dérivée temporelle d'énergie interne, U point, est nulle. Ce qui nous donne deux identités, premièrement, U 1 point est égal à moins U 2 point. Ce qui signifie que si l'énergie interne d'un des deux sous-systèmes augmente, l'énergie interne de l'autre sous-système va diminuer et vice-versa. Et la deuxième relation, la deuxième identité, c'est que P Q 1 2 est égal à moins P Q 2 1. On va maintenant tenir compte explicitement du fait que l'entropie est une variable d'état extensive. Cela signifie que l'entropie du système S est la somme des entropies des deux sous-systèmes. C'est-à -dire que S est égal à S 1 plus S 2. On prend maintenant la dérivée temporelle de l'entropie, S point c'est S 1 point plus S 2 point. Et on sait que U 1 point est égal à T 1 S 1 point. Donc S 1 point c'est U 1 point sur T 1. U 2 point c'est T 2 fois S 2 point. Donc S 2 point c'est U 2 point sur T 2. On tient compte maintenant explicitement du fait que le système est isolé. Comme on l'a vu, si le système est isolé, U 2 point est égal à moins U 1 point. Par conséquent, S point qui est égal à S 1 point plus S 2 point, c'est 1 sur T 1 moins 1 sur T 2 qui multiplie U 1 point. On va maintenant reformuler cette relation pour l'exprimer explicitement en termes de différentiel. Pour ceci, on va multiplier le membre de gauche et le membre de droite par l'intervalle de temps infinitésimal D T et on va obtenir dans le membre de gauche, la différentielle D S et dans le membre de droite la différentielle D U 1. Ce qui nous permet maintenant de prendre la dérivée partielle de l'entropie par rapport à U 1. Donc, D rond S sur D rond U 1 est égal à 1 sur T 1 moins 1 sur T 2. Afin de déterminer la condition d'équilibre thermique, on va maintenant utiliser la condition d'équilibre du deuxième principe qui stipule que pour un système isolé, l'entropie est maximale à l'équilibre. Ceci implique que la dérivée partielle de l'entropie S par rapport à U 1 est nulle. Compte-tenu de l'expression de la dérivée partielle de S par rapport à U 1, on en conclut que les deux fractions du membre de droite doivent être égales. Ce qui nous donne la condition d'équilibre thermique. Cette condition d'équilibre thermique affirme que la température T 1 du premier sous-système doit être égale à la température T 2 du deuxième sous-système. Par conséquent, le premier et le deuxième principes de la thermodynamique requièrent que les températures des sous-systèmes aient la même valeur à l'équilibre thermique. Avant que le système atteigne un état d'équilibre thermique, il y a un transfert thermique qui a lieu entre ces deux sous-systèmes. Donc avant qu'il atteigne cet état d'équilibre thermique, les températures des deux sous-systèmes sont différentes et donc T 1 n'est pas égal à T 2. Pour examiner ce transfert thermique, on va baser notre analyse sur l'expression de la dérivée temporelle de l'entropie. Cette expression, c'est la suivante, S point est égal à 1 sur T 1 moins 1 sur T 2 fois U 1 point. Comme T 1 est différent de T 2, la différence des termes qui se trouvent ici entre parenthèses, est non nulle. Comme il y a transfert thermique, l'énergie interne du premier sous-système varie, par conséquent U 1 point est non nul, ce qui implique que S point est non nul. On a à faire à un système isolé. Pour un système isolé, d'après le deuxième principe, S point est égal au taux de production d'entropie, pi de S et comme S point est non nul, cela signifie, par le deuxième principe, qu'il est positif. On a donc à faire à un processus irréversible. De plus, le premier principe affirme que U 1 point est égal à P Q 2 1, par conséquent, de l'expression de la dérivée temporelle de l'entropie, on en tire une expression du taux de production d'entropie. L'expression est la suivante : Pi de S est égal à (1 / T1)- (1 / T2) fois P Q (21). Et ce taux de production d'entropie est positif. On doit maintenant distinguer 2 cas de figure. Dans le premier cas de figure, la température T2, du deuxième sous-système, est supérieure à la température T1, du premier sous-système. Par conséquent, la différence des termes, qui se trouvent entre parenthèses dans l'expression du taux de production d'entropie, cette différence est positive. Pour que le taux de production d'entropie soit positif, ceci implique que P Q (21) est positif. Par conséquent, lorsque la température du deuxième sous-système est supérieure à la température du premier sous-système, il y a un transfert thermique qui va du deuxième sous-système vers le premier sous-système. Considérons maintenant le deuxième cas de figure. En deuxième cas de figure, la température T1 du premier sous-système est supérieure à la température T2 du deuxième sous-système. Ce qui signifie que la différence des termes, qui se trouvent ici entre parenthèses dans l'expression du taux de production d'entropie, cette différence est négative. Par conséquent pour que le taux de production d'entropie soit défini positif, il faut que P Q (21) soit lui aussi négatif. P Q (21) est égal à moins P Q (12), ce qui signifie que PQ (12) est positif. Par conséquent, si la température du premier sous-système T1 est supérieure à la température du deuxième sous-système T2, il y aura un transfert thermique qui va du premier sous-système vers le deuxième sous-système. En résumé, le transfert thermique ou le transport de chaleur va du sous-système dont la température est la plus élevée, notons-la T+, vers le sous-système dont la température est la moins élevée, notons-la T-. Ce transfert thermique est un processus irréversible, c'est-à -dire que Pi de S est positif. Le transfert thermique permet au système d'atteindre un état d'équilibre thermique, c'est-à -dire que le système va tendre vers un état d'équilibre thermique. Et à l'équilibre thermique, les températures des 2 sous-systèmes T1 est égale à T2, donc ces 2 températures sont égales. Et donc, dans cette limite, le transfert thermique est nul. On a vu dans une leçon précédente, que pour un système simple, rigide, fermé, avec des parois diathermes, le taux de production d'entropie est nul. C'est le cas des 2 sous-systèmes. Ces 2 sous-systèmes sont des systèmes simples. Donc, Pi de S1 est égal à Pi de S2 et ils sont nuls. Clairement, le taux de production d'entropie de l'ensemble du système, Pi de S, est non nul, il est positif. Ce qui signifie que Pi de S n'est pas égal à (Pi de S1 + Pi de S2), on en conclut donc que le taux de production d'entropie n'est pas une grandeur extensive et ce n'est pas non plus une grandeur intensive. On peut maintenant déduire de cette analyse, la loi de Fourier dans sa formulation discrète. On peut tout d'abord, remettre en forme le taux de production d'entropie, qui alors s'exprime de la manière suivante, Pi de S est égal à (T2- T1) sur (T1 fois T2), le tout fois P Q (21). Et ce taux de production d'entropie est défini positif. Afin de garantir que ce taux de production d'entropie soit défini positif, il faut que la différence entre les températures, dans l'expression du taux de production d'entropie, apparaisse au carré. En d'autres termes, il faut que P Q (21) soit proportionnel à (T2- T1) fois un facteur de proportionnalité qui est positif. Ceci, c'est précisément la loi de Fourier discrète. La puissance thermique exercée par le deuxième sous-système sur le premier sous-système P Q (21) est égale au produit du coefficient de conductivité thermique, qu'on dénote par la lettre kappa, fois l'aire de l'interface entre les 2 sous-systèmes, qu'on dénote A, divisée par une longueur caractéristique, qu'on dénote l, et le tout, fois la différence de température entre les 2 sous-systèmes, c'est-à -dire (T2- T1). En physique, on a souvent à faire à des systèmes dans lesquels la température varie graduellement, linéairement entre une extrémité du système et une autre extrémité du système. Prenons par exemple un barreau métallique. Supposons que l'extrémité gauche soit l'extrémité chaude, dont la température est la plus élevée T+, et que l'extrémité de droite soit l'extrémité froide, dont la température est la moins élevée T-. Pour pouvoir décrire la loi de Fourier de manière continue, on ne peut pas se limiter à 2 sous-systèmes dont les températures sont fixes, on va devoir considérer une infinité de sous-systèmes dont la longueur est une longueur infinitésimale. Donc, on a une variation de température, lorsqu'on va de la droite vers la gauche. Cette variation est linéaire, et pour rendre compte de cette variation, on introduit ce que l'on appelle le gradient de température, nabla T. Ce gradient correspond à une variation de température dans la direction de la température croissante. Le vecteur x chapeau est ici un vecteur unitaire, qui est orienté vers la droite et le gradient de température est, lui, orienté vers la gauche. Par conséquent, étant donné que la longueur du système correspond à la longueur caractéristique l, le gradient de température se note de la manière suivante : nabla T, c'est moins (T+ moins T-), la différence de température entre les extrémités, divisé par l, la longueur du système, fois x chapeau, le vecteur unitaire dans la direction du transfert thermique. On doit maintenant introduire une autre grandeur physique, qui est la densité de courant de chaleur, qu'on va dénoter par un j indice Q. Cette densité de courant de chaleur est définie de la manière suivante. C'est le rapport de la puissance thermique P Q sur l'aire A, qui correspond à l'aire qui est orthogonale au transfert thermique. Et ce transfert thermique a lieu dans la direction du vecteur unitaire x chapeau, qui n'a pas de dimension physique. Par conséquent, si on prend la loi de Fourier discrète, ici, qu'on la divise par A et qu'on la multiplie par x chapeau, on en tire la loi de Fourier dans sa formulation continue, qui est la suivante, la densité du courant de chaleur, à gauche, est égale à moins le coefficient de conductivité thermique, kappa, fois le gradient de température, nabla T.
